Dzielenie z resztą

Dzielenie z resztą

Basia stwierdziła, że liczby 12 nie można podzielić przez 5. Zosia się z nią nie zgodziła i twierdzi, że można. Kto ma rację Basia czy Zosia? A może obie mają rację? Przekonajmy się.

  • Argumenty Basi

R1HaiU8B9HFpa1
Animacja na przykładzie kasztanów pokazuje, w jaki sposób można podzielić liczbę dwanaście.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1HaiU8B9HFpa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja na przykładzie kasztanów pokazuje, w jaki sposób można podzielić liczbę dwanaście.

A spróbuj z 12 kasztanów ułożyć prostokąt z pięciu rzędów kasztanów. Nie da się!

  • Argumenty Zosi

Dzielić można też tak:

R1ML0GB7NCYai1
Na rysunku 12 kasztanów. Podzielono je na 5 rzędów po dwa kasztany w każdym. Zostały 2 kasztany. Działanie: 12 dzielone przez 5 =2 reszty 2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sądząc po argumentach, Basia najwyraźniej miała na uwadze podzielność liczby 12 przez 5. Liczba jest podzielna przez 5, gdy dzieli się przez 5 bez reszty, zatem liczba 12 nie jest podzielna przez 5. Rację natomiast miała Zosia, co również ładnie zobrazowała. Liczbę 12 można podzielić przez 5, ale w wyniku dzielenia pozostanie reszta 2.

Przykład 1
RhJjUrF9tfZKk1
Animacja na przykładzie kasztanów pokazuje dzielenie liczby jedenaście z resztą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RhJjUrF9tfZKk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja na przykładzie kasztanów pokazuje dzielenie liczby jedenaście z resztą.

R1HQCD8q4I21j1
Ćwiczenie 1
Na rysunku 15 kasztanów. Podzielono je na 3 rzędy po cztery kasztany w każdym. Zostały 3 kasztany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnRGMpjBzUwi8
Ćwiczenie 1
Mamy piętnaście kasztanów i chcemy je ułożyć w rzędach po cztery kasztany w każdym. Ile kasztanów będzie się znajdowało w jednej kolumnie? Uzupełnij poniższe obliczenia oraz odpowiedź. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiednią liczbę lub słowo. Obliczenia: Uzupełnij obliczenia:1. sześciu, 2. trzy, 3. piętnaście, podzielić na, cztery, 4. trzy, 5. dwanaście, podzielić na, cztery, 6. trzy, 7. trzy, 8. dwa, 9. czterech, 10. cztery=1. sześciu, 2. trzy, 3. piętnaście, podzielić na, cztery, 4. trzy, 5. dwanaście, podzielić na, cztery, 6. trzy, 7. trzy, 8. dwa, 9. czterech, 10. cztery r 1. sześciu, 2. trzy, 3. piętnaście, podzielić na, cztery, 4. trzy, 5. dwanaście, podzielić na, cztery, 6. trzy, 7. trzy, 8. dwa, 9. czterech, 10. cztery.
Odpowiedź: W jednej kolumnie mogą znajdować się 1. sześciu, 2. trzy, 3. piętnaście, podzielić na, cztery, 4. trzy, 5. dwanaście, podzielić na, cztery, 6. trzy, 7. trzy, 8. dwa, 9. czterech, 10. cztery kasztany oraz 1. sześciu, 2. trzy, 3. piętnaście, podzielić na, cztery, 4. trzy, 5. dwanaście, podzielić na, cztery, 6. trzy, 7. trzy, 8. dwa, 9. czterech, 10. cztery pozostaną poza rzędami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5gHMrsS5DIFf1
Ćwiczenie 2
Na rysunku 27 kasztanów. Podzielono je na 5 rzędów po pięć kasztanów w każdym. Zostały 2 kasztany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rs8eO2lqQG5X8
Ćwiczenie 2
Mamy dwadzieścia siedem kasztanów i chcemy je ułożyć w pięciu rzędach. Ile kasztanów będzie znajdowało się w jednym rzędzie? Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Uzupełnij obliczenia Tu uzupełnij podzielić naTu uzupełnij=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij. Oznacz to, że w każdym rzędzie znajduję się po Tu uzupełnij kasztanów i Tu uzupełnij kasztany pozostają poza rzędami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcgXd2N2DJIYi1
Ćwiczenie 3
Na rysunku 23 kasztany. Podzielono je na 4 rzędy po pięć kasztanów w każdym. Zostały 3 kasztany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROa56SvlDqOWG
Ćwiczenie 3
Mamy dwadzieścia trzy kasztany i chcemy je ułożyć w rzędach po pięć kasztanów w każdym. Ile kasztanów będzie się znajdowało w jednej kolumnie? Uzupełnij luki w poniższych obliczeniach oraz odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Obliczenia: Tu uzupełnij podzielić naTu uzupełnij=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij. Odpowiedź: Oznacza to, że w każdej kolumnie znajdują się Tu uzupełnij kasztany i Tu uzupełnij pozostają poza kolumnami i rzędami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4

Basia zebrała kasztany w parku, chce z nich ułożyć prostokąt o jak największej ilości kolumn, po dwa kasztany w każdej.

Ry5wfwbiNQpwH
Na rysunku 9 kasztanów. Podzielono je na 2 rzędy po cztery kasztany w każdym. Został 1 kasztan.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Basia zebrała 9 kasztanów w parku, chce z nich ułożyć prostokąt o jak największej ilości kolumn, po dwa kasztany w każdej.

RGDnDLQZfmVaG
Dopasuj do rysunku jedno z obliczeń. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. osiem, podzielić na, trzy, równa się, dwa reszta dwa, 2. siedem, podzielić na, pięć, równa się, jeden reszta dwa, 3. piętnaście, podzielić na, siedem, równa się, dwa reszta jeden, 4. dziewiętnaście, podzielić na, pięć, równa się, trzy reszta cztery, 5. dziewięć, podzielić na, cztery, równa się, dwa reszta jeden
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 5

Basia zbierała kasztany w parku, chce z nich ułożyć prostokąt z pięciu kolumn.

RGDGXwSxe2qBD1
Na rysunku 7 kasztanów. Podzielono je na 1 rząd pięciu kasztanów. Zostały 2 kasztany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Basia zebrała w parku 7 kasztanów, chce z nich ułożyć prostokąt z pięciu kolumn.

RHXrNyEbhHVKn
Dopasuj do rysunku jedno z obliczeń. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. osiem, podzielić na, trzy, równa się, dwa reszta dwa, 2. siedem, podzielić na, pięć, równa się, jeden reszta dwa, 3. piętnaście, podzielić na, siedem, równa się, dwa reszta jeden, 4. dziewiętnaście, podzielić na, pięć, równa się, trzy reszta cztery, 5. dziewięć, podzielić na, cztery, równa się, dwa reszta jeden
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 6

Basia zbierała kasztany w parku, chce z nich ułożyć prostokąt z pięciu kolumn.

RCYFUTsNSQk6s1
Na rysunku 19 kasztanów. Podzielono je na 3 rzędy po pięć kasztanów w każdym. Zostały 4 kasztany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Basia zebrała 19 kasztanów w parku, chce z nich ułożyć prostokąt z pięciu kolumn.

RGoDibFsIRnfj
Dopasuj do rysunku jedno z obliczeń. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. dziewiętnaście, podzielić na, trzy, równa się, dwa reszta dwa, 2. siedem, podzielić na, pięć, równa się, jeden reszta dwa, 3. piętnaście, podzielić na, siedem, równa się, dwa reszta jeden, 4. dziewiętnaście, podzielić na, pięć, równa się, trzy reszta cztery, 5. dziewięć, podzielić na, cztery, równa się, dwa reszta jeden
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7

Basia zbierała kasztany w parku, chce z nich ułożyć prostokąt z trzech kolumn.

RdFRPCFTOr4rG1
Na rysunku 8 kasztanów. Podzielono je na 2 rzędy po trzy kasztany w każdym. Zostały 2 kasztany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Basia zebrała 9 kasztanów w parku, chce z nich ułożyć prostokąt z trzech kolumn.

Rcvrw06cu0fqI
Dopasuj do rysunku jedno z obliczeń. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. osiem, podzielić na, trzy, równa się, dwa reszta dwa, 2. siedem, podzielić na, pięć, równa się, jeden reszta dwa, 3. piętnaście, podzielić na, siedem, równa się, dwa reszta jeden, 4. dziewiętnaście, podzielić na, pięć, równa się, trzy reszta cztery, 5. dziewięć, podzielić na, cztery, równa się, dwa reszta jeden
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Spójrz, ile może wynosić reszta z dzielenia przez 3.

10:3=3 r 1; 13:3=4 r 1 ,
11:3=3 r 2; 14:3=4 r 2,
12:3=4 r 0; 15:3=5 r 0.

Reszta musi być zawsze mniejsza od liczby, przez którą dzielimy.

2
Ćwiczenie 8

Zaznacz, na którym rysunku poprawnie wykonano dzielenie z resztą? Zaznacz prawidłową odpowiedź.

RUYxbEFkl4WVU
Wysłuchaj nagrania abstraktu, ułóż do niego pytania i zadaj je koledze.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1I7H2GXG8t37
Zaznacz odpowiedzi zawierające poprawnie wykonane dzielenie z resztą. Możliwe odpowiedzi: 1. dziesięć, podzielić na, pięć, równa się, dwa r dwa, 2. trzynaście, podzielić na, trzy, równa się, dwa r cztery, 3. jedenaście, podzielić na, dwa, równa się, trzy r pięć, 4. jedenaście, podzielić na, pięć, równa się, dwa r jeden, 5. dziesięć, podzielić na, trzy, równa się, trzy r jeden
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 3
RDZAoLJ0bgHxJ1
Animacja na przykładzie cukierków pokazuje dzielenie liczby czternaście z resztą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RDZAoLJ0bgHxJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja na przykładzie cukierków pokazuje dzielenie liczby czternaście z resztą.

2
Ćwiczenie 9
R12B8x4S7qIls
Na rysunku 15 cukierków. Podzielono je na 4 grupy po 3 cukierki. Zostały 3 cukierki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ayp4hdGJXg7
Ćwiczenie 9
Pani w sklepie ze słodyczami pakuje cukierki w zestawy po trzy każdy. Ile zestawów jest w stanie wykonać , jeżeli ma trzynaście cukierków do dyspozycji. Uzupełnij poniższe obliczenia oraz odpowiedź. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiednią liczbę. Obliczenia: 1. trzynaście, 2. pięć, 3. cztery, 4. jeden, 5. jeden, 6. cztery, 7. trzy podzielić na1. trzynaście, 2. pięć, 3. cztery, 4. jeden, 5. jeden, 6. cztery, 7. trzy=1. trzynaście, 2. pięć, 3. cztery, 4. jeden, 5. jeden, 6. cztery, 7. trzy r 1. trzynaście, 2. pięć, 3. cztery, 4. jeden, 5. jeden, 6. cztery, 7. trzy.
Odpowiedź: Oznacza to, że można wykonać 1. trzynaście, 2. pięć, 3. cztery, 4. jeden, 5. jeden, 6. cztery, 7. trzy zestawy oraz 1. trzynaście, 2. pięć, 3. cztery, 4. jeden, 5. jeden, 6. cztery, 7. trzy cukierek zostanie nie wykorzystany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 10
R1amiHNDACvFC
Na rysunku 21 cukierków. Podzielono je na 4 grupy po 5 cukierków. Został 1 cukierek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRDXRLIso3kDB
Ćwiczenie 10
Pani w sklepie ze słodyczami pakuje cukierki w zestawy po pięć każdy. Ile zestawów jest w stanie wykonać , jeżeli ma dwadzieścia jeden cukierków do dyspozycji. Uzupełnij luki w poniższych obliczeniach oraz odpowiedzi, wpisując odpowiednią liczbę. Obliczenia: Tu uzupełnij podzielić naTu uzupełnij=Tu uzupełnij r Tu uzupełnij. Odpowiedź: Można wykonać Tu uzupełnij zestawy cukierków, przy czym Tu uzupełnij cukierek zostanie nie wykorzystany.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R14GociPXiByI2
Ćwiczenie 11
Sześć osób zamierza podzielić się po równo piętnastoma obwarzankami. Ile obwarzanków zostanie, gdy już się podzielą? Uzupełnij poniższe obliczenia oraz odpowiedź. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiednią liczbę. Obliczenia: 1. trzy, 2. siedem, 3. trzy, 4. sześć, 5. trzynaście, 6. piętnaście, 7. dwanaście, 8. dziesięć, 9. dwa, 10. siedemnaście podzielić na 1. trzy, 2. siedem, 3. trzy, 4. sześć, 5. trzynaście, 6. piętnaście, 7. dwanaście, 8. dziesięć, 9. dwa, 10. siedemnaście równa się 1. trzy, 2. siedem, 3. trzy, 4. sześć, 5. trzynaście, 6. piętnaście, 7. dwanaście, 8. dziesięć, 9. dwa, 10. siedemnaście reszty 1. trzy, 2. siedem, 3. trzy, 4. sześć, 5. trzynaście, 6. piętnaście, 7. dwanaście, 8. dziesięć, 9. dwa, 10. siedemnaście.
Odpowiedź: Zostaną 1. trzy, 2. siedem, 3. trzy, 4. sześć, 5. trzynaście, 6. piętnaście, 7. dwanaście, 8. dziesięć, 9. dwa, 10. siedemnaście obwarzanki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXOvsBZT2b0A02
Ćwiczenie 12
Kolumna wojska zamierza maszerować czwórkami. Nie jest to niestety możliwe, ponieważ jest dwadzieścia dwa żołnierzy. Oznacza to, że ostatni rząd kolumny będzie niepełny. Ilu żołnierzy będzie liczył ostatni rząd tej kolumny? Uzupełnij poniższe obliczenia oraz odpowiedź. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiednią liczbę lub słowo. Obliczenia: dwadzieścia dwa, podzielić na, cztery, równa się 1. sześć, 2. trzy, 3. trzech, 4. czterech, 5. cztery, 6. dwa, 7. dwóch, 8. pięciu, 9. pięć, 10. siedem, 11. dwa, 12. jeden r 1. sześć, 2. trzy, 3. trzech, 4. czterech, 5. cztery, 6. dwa, 7. dwóch, 8. pięciu, 9. pięć, 10. siedem, 11. dwa, 12. jeden
Odpowiedź: W ostatnim rzędzie będzie 1. sześć, 2. trzy, 3. trzech, 4. czterech, 5. cztery, 6. dwa, 7. dwóch, 8. pięciu, 9. pięć, 10. siedem, 11. dwa, 12. jeden żołnierzy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMjRvPZKNXuSt2
Ćwiczenie 13
Klasa czwarta a liczy dwadzieścia siedem osób. Uczniowie próbowali ustawić się parami, ale im się to nie udało. Ile osób zostało bez pary? Uzupełnij poniższe obliczenia oraz odpowiedź. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiednią liczbę lub wyrażenie. Obliczenia: dwadzieścia siedem, podzielić na, dwa, równa się 1. dwanaście, 2. jeden uczeń, 3. jeden, 4. trzy, 5. dwa, 6. dwóch uczniów, 7. czternaście, 8. czterech uczniów, 9. trzech uczniów, 10. trzynaście r 1. dwanaście, 2. jeden uczeń, 3. jeden, 4. trzy, 5. dwa, 6. dwóch uczniów, 7. czternaście, 8. czterech uczniów, 9. trzech uczniów, 10. trzynaście
Odpowiedź: Bez pary zostanie 1. dwanaście, 2. jeden uczeń, 3. jeden, 4. trzy, 5. dwa, 6. dwóch uczniów, 7. czternaście, 8. czterech uczniów, 9. trzech uczniów, 10. trzynaście.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RRMzk8ZyOFHiT3
Ćwiczenie 14
Klasa czwarta b liczy osiemnaścieosób W ilu rzędach mogą ustawić się uczniowie, tak aby w każdym rzędzie było po tyle samo osób? Wpisz odpowiednie liczby w kolejności rosnącej w puste pola. Odpowiedź: Uczniowie mogą się ustawić w Tu uzupełnij,Tu uzupełnij,Tu uzupełnij,Tu uzupełnij,Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij rzędach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlkSMyt0ttAF03
Ćwiczenie 15
Na wycieczkę szkolną wybierają się dziewięćdziesiąt cztery osoby - nauczyciele i uczniowie. W każdym z autobusów firmy Zebra zmieszczą się maksymalnie czterdzieści czteryosoby. Ile autobusów trzeba zamówić? Uzupełnij poniższe obliczenia oraz odpowiedź. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz odpowiednią liczbę lub słowo. Obliczenia: dziewięćdziesiąt cztery, podzielić na, czterdzieści cztery, równa się 1. pięć, 2. sześć, 3. dwa, 4. dwa, 5. osiem, 6. trzy, 7. cztery, 8. jeden, 9. cztery, 10. trzy r 1. pięć, 2. sześć, 3. dwa, 4. dwa, 5. osiem, 6. trzy, 7. cztery, 8. jeden, 9. cztery, 10. trzy
Odpowiedź: Na wycieczkę szkolną trzeba zamówić 1. pięć, 2. sześć, 3. dwa, 4. dwa, 5. osiem, 6. trzy, 7. cztery, 8. jeden, 9. cztery, 10. trzy autobusy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
31
Ćwiczenie 16
Rs4xtNdR0XICO
Uzupełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie wartości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgnJ2Ehl4NV1B
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.