Założenie: $x_1,x_2\in \left.⟨0, \infty \right)$, $x_1<x_2$.

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Dowód:

Różnica wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2$.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(5-2{x_1}^2\right)-\left(5-2{x_2}^2\right)=5-2{x_1}^2-5+2{x_2}^2=$

$=-2·\left({x_1}^2-{x_2}^2\right)=-2·\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)>0$

• $x_1-x_2<0$, z założenia;

• $x_1+x_2>0$, suma dwóch liczb dodatnich.

Z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨0, \infty \right)$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji;

$2-x\ge 0$

$x\le 2$

$D_f=\left(-\infty , 2\right.⟩$

Założenie: $x_1,x_2\in \left(-\infty , 2\right.⟩$, $x_1<x_2$.

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Dowód:

Różnica wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2$.

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\sqrt{2-x_1}-\sqrt{2-x_2}=\frac{\left(\sqrt{2-x_1}-\sqrt{2-x_2}\right)\left(\sqrt{2-x_1}+\sqrt{2-x_2}\right)}{\sqrt{2-x_1}+\sqrt{2-x_2}}=$

$=\frac{-\left(x_1-x_2\right)}{\sqrt{2-x_1}+\sqrt{2-x_2}}>0$

• $x_1-x_2<0$, z założenia;

• $\sqrt{2-x_1}+\sqrt{2-x_2}>0$, suma dwóch liczb dodatnich.

Z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty , 2\right.⟩$.