Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją malejącą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$, z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1OlDaZu9TqWj

Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą podobną do paraboli, której lewe ramię skierowane jest do góry i przechodzi na przykład przez punkty $\left(-2,10\right)$ i $\left(-1,3\right)$. Prawe ramię skierowane jest w dół i przebiega na przykład przez punkty $\left(1,1\right)$ i $\left(2,-6\right)$.Punkt łączący ramiona ma współrzędne $\left(0,2\right)$.

Ustalimy, czy  funkcja $f$ jest funkcją malejącąfunkcja malejącafunkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Obserwując wykres funkcji zauważamy, że wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji $f$.

Odczytajmy z wykresu (odpowiednio go przedłużając) wartości funkcji dla argumentów: $-2$, $1$.

$f\left(-2\right)=10$

$f\left(1\right)=1$

Z nierówności $-2<1$ wynika nierówność $f\left(-2\right)>f\left(1\right)$.

Możemy wybrać inną parę argumentów. Np. $-1$ i $2$ i podobnie odczytać z wykresu wartości funkcji.

$f\left(-1\right)=3$

$f\left(2\right)=-6$

Z nierówności $-1<0$ wynika nierówność $f\left(-1\right)>f\left(2\right)$.

Stąd przypuszczenie, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą. Ponieważ na rysunku jest tylko fragment wykresu funkcji, więc nie możemy jednoznacznie ustalić monotoniczności funkcji.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-5, 2\right), \left(-4, 1\right), \left(-3, 0\right), \left(-2, -3\right), \left(1, -5\right), \left(2, -8\right)\right\}$.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Z nierówności $-5<-4$ wynika nierówność $\left(f\left(-5\right)=2\right)>\left(f\left(-4\right)=1\right)$.

Z nierówności $-3<2$ wynika nierówność $\left(f\left(-3\right)=0\right)>\left(f\left(2\right)=-8\right)$.

Podobnie, analizując pozostałe pary punktów, zauważamy, że większej wartości argumentu odpowiada mniejsza wartość funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Analizując tabelkę opisującą funkcję $f$ zauważamy, że im większy jest argument funkcji tym mniejsza jest jej wartość. Np.

• z nierówności $-4<0$ wynika nierówność $\left(f\left(-4\right)=8\right)>\left(f\left(0\right)=4\right)$;

• z nierówności $1<5$ wynika nierówność $\left(f\left(1\right)=2\right)>\left(f\left(5\right)=-3\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją malejącąfunkcja malejącafunkcją malejącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f\left(x\right)=-2x+3$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Korzystając z definicji wykażemy, że funkcja $f$ jest malejąca.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=-2x+3$, $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=-2x_1+3$

$f\left(x_2\right)=-2x_2+3$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(-2x_1+3\right)-\left(-2x_2+3\right)=-2x_1+3+2x_2-3=-2x_1+2x_2=$

$=-2·\left(x_1-x_2\right)$

Na podstawie założeń ustalimy znak otrzymanego iloczynu.

$x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

Zatem iloczyn $-2·\left(x_1-x_2\right)>0$.

Stąd $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

• $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in \left(-\infty , 0\right)$,

• $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in \left(0, \infty \right)$,

• $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$.

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Ad. a)

Założenie: $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $x_1,x_2\in \left(-\infty , 0\right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=\frac{5}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_1}-\left(\frac{5}{x_2}\right)=\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}=\frac{-5x_1+5x_2}{x_1·x_2}=\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1<0$ oraz $x_2<0$

Zatem $\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}>0$, stąd $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(-\infty , 0\right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$.

Ad. b)

Założenie: $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $x_1,x_2\in \left(0, \infty \right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=\frac{5}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_1}-\left(\frac{5}{x_2}\right)=\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}=\frac{-5x_1+5x_2}{x_1·x_2}=\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1>0$ oraz $x_2>0$

Zatem $\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}>0$, stąd $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(0, \infty \right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(0, \infty \right)$.

Ad. c)

W poprzednich podpunktach wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$ oraz w przedziale $\left(0, \infty \right)$. Sprawdzimy, czy jest malejąca w sumie przedziałów.

Weźmy dwa argumenty funkcji $f$ należące do zbioru $\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$,

$x_1=-5$ oraz $x_2=5$

I obliczmy wartości funkcji dla tych argumentów:

$f\left(-5\right)=-1$ oraz $f\left(5\right)=1$.

Okazuje się, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Stąd funkcja $f$ nie jest malejąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$.

funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleje wartość funkcji