Przeczytaj

Warto przeczytać

Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu $\vec{L}$ bryły sztywnej (lub punktu materialnego) pozostaje stały, gdy moment $\vec{M}$ siły wypadkowej działającej na to ciało jest zerowy. Rozpatrując ruch ciała, do którego nie jest przyłożony zewnętrzny moment siły, wiemy, że w każdej chwili ruchu moment pędu ma stały kierunek oraz stałą wartość, tj. $L = \text{const}$ .

W „lejku grawitacyjnym” ciałem poruszającym się ruchem obrotowym jest moneta, którą potraktować możemy jako punkt materialny. Moneta ta wypuszczana jest pod pewnym kątem do powierzchni lejka, aby poruszała się po spirali w stronę jego środka – w momencie wypuszczenia moneta ma moment pędu o wartości

L = r p = r m v = r m ω r = m ω r^{2}

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu, możemy obliczyć, jaka będzie prędkość liniowa tej monety, gdy znajdzie się bliżej środka (tj. gdy zmniejszy się jej odległość od osi obrotu). Skoro w obu tych sytuacjach momenty pędu są równe,

L_{1} = L_{2}

r_{1} m v_{1} = r_{2} m v_{2}

zatem

v_{2} = v_{1} \frac{r_{1}}{r_{2}}

Analogicznie możemy obliczyć, jak zmieni się jej prędkość kątowa. Z zachowania momentu pędu wynika wprost

m ω_{1} r_{1}^{2} = m ω_{2} r_{2}^{2}

wobec tego

ω_{2} = ω_{1} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}

Dla przykładu przyjmijmy, że promień zmniejszył się o połowę, czyli $r_{2} = \frac{1}{2} r_{1}$ . Wtedy prędkość liniowa i kątowa na „ciaśniejszej orbicie” wyniosą odpowiednio:

v_{2} = v_{1} \frac{r_{1}}{r_{2}} = v_{1} \frac{r_{1}}{\frac{1}{2} r_{1}} = 2 v_{1}

ω_{2} = ω_{1} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = ω_{1} \frac{r_{1}^{2}}{{(\frac{1}{2} r_{1})}^{2}} = 4 ω_{1}

Sytuację taką ilustruje Rys. 1.:

RN0YFssmoxhSH

Rys. 1. Prędkości liniowe ciała w zależności od odległości od osi obrotu.

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Zwróć uwagę, że prędkość liniowa tej monety wzrosła dwukrotnie, a prędkość kątowa czterokrotnie, mimo że nie została ona dodatkowo rozpędzona. Zmiana prędkości nie wynika z przyłożenia do monety zewnętrznej siły (np. dodatkowego popchnięcia jej), ale wyłącznie z zasady zachowania momentu pędu.

Zasada ta spełniona jest oczywiście nie tylko dla punktów materialnych, ale także dla brył sztywnych. Wtedy zapisujemy ją jako

\vec{L} = I \vec{ω} = const.

zatem w dowolnych dwóch konfiguracjach, różniących się momentem bezwładności

I_{1} \vec{ω_{1}} = I_{2} \vec{ω_{2}}

Otrzymujemy stąd związek

ω_{2} = ω_{1} \frac{I_{1}}{I_{2}}

Możemy wyobrazić sobie, że zamiast monety wprawiamy w lejku w ruch kulkę o masie m i promieniu r. Jak będzie się zmieniał jej moment bezwładności, gdy będzie zmieniać się jej odległość d od środka lejka? Zgodnie z twierdzeniem SteineraTwierdzenie Steineratwierdzeniem Steinera:

I = \frac{2}{5} m r^{2} + m d^{2}

Zatem jej prędkość kątowa będzie związana ze zmianami odległości środka masy kulki od osi obrotu następująco:

ω_{2} = ω_{1} \frac{I_{1}}{I_{2}} = ω_{1} \frac{\frac{2}{5} m r^{2} + m d_{1}^{2}}{\frac{2}{5} m r^{2} + m d_{2}^{2}} = ω_{1} \frac{\frac{2}{5} r^{2} + d_{1}^{2}}{\frac{2}{5} r^{2} + d_{2}^{2}}

W tym momencie warto zwrócić uwagę, że dla $r = 0$ powyższy wzór sprowadzi się do wyprowadzonej wcześniej postaci opisującej ruch punktu materialnego. W dużych odległościach od osi obrotu, gdy $r \ll d$ , można zastosować takie przybliżenie. Jeśli np. mamy kulkę o promieniu 5 cm, a odległość od osi obrotu wynosi 50 cm, to składnik $\frac{2}{5} r^{2}$ będzie zaniedbywalnie mały w porównaniu z $d_{2}^{2}$ . Jednakże, im bliżej osi obrotu, tym bardziej składnik $d_{2}^{2}$ będzie malał, co zilustrowano na Rys. 2. W odległości powyżej 30 cm modelem bryły sztywnej i punktu materialnego dają wyniki różniące się o mniej niż 1%. Ale przy odległości $d = 2 r$ jest to już 10% różnicy, a gdy $d= r$ prawie 40%.

RkUgDykYKIDmY

Rys. 2. Zmiana prędkości obrotowej w zależności od odległości od osi obrotu - dla modelu bryły sztywnej oraz punktu materialnego. Przyjęto początkową prędkość kątową ω1 = 2 rad ⋅ s-1. — Rys. 2. Zmiana prędkości obrotowej w zależności od odległości od osi obrotu - dla modelu bryły sztywnej oraz punktu materialnego. Przyjęto początkową prędkość kątową ω₁ = 2 rad ⋅ s^-1.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Omówiliśmy przykłady, które można zaobserwować w życiu codziennym, ale opisana wyżej zasada „lejka grawitacyjnego” ma również zastosowanie w astronomii. Jeśli na przykład do Ziemi lub Słońca zbliża się jakieś ciało niebieskie, to mija je po bardzo rozciągniętej orbicie, a nie po okręgu – znaczy to, że w pewnym momencie ciało to znajduje się bliżej, a w innym dalej od przyciągającego go obiektu. W efekcie, skoro porusza się po ciaśniejszej orbicie, zmniejsza się jego moment bezwładności. Aby zachowany był moment pędu, ciało to musi zwiększyć swoją prędkość liniową. Faktycznie obserwujemy takie zachowanie ciał niebieskich, w tym Ziemi w ruchu po elipsie wokół Słońca.

Słowniczek

Twierdzenie Steinera

(ang. Steiner's theorem) – Jeśli przez $I_0$ oznaczymy moment bezwładności bryły względem pewnej osi przechodzącej przez środek masy tej bryły, a w odległości $d$ od tej osi ustawimy oś równoległą, to moment bezwładności bryły względem tej nowej osi będzie dany przez

I = I_{0} + M d^{2},

gdzie $M$ to masa bryły. Sformułował je szwajcarski geometra, Jakob Steiner.

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Warto przeczytać

Słowniczek