Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

Zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu bryły sztywnej (lub punktu materialnego) pozostaje stały, gdy moment siły wypadkowej działającej na to ciało jest zerowy. Rozpatrując ruch ciała, do którego nie jest przyłożony zewnętrzny moment siły, wiemy, że w każdej chwili ruchu moment pędu ma stały kierunek oraz stałą wartość, tj. .

W „lejku grawitacyjnym” ciałem poruszającym się ruchem obrotowym jest moneta, którą potraktować możemy jako punkt materialny. Moneta ta wypuszczana jest pod pewnym kątem do powierzchni lejka, aby poruszała się po spirali w stronę jego środka – w momencie wypuszczenia moneta ma moment pędu o wartości

L=rp=rmv=rmωr=mωr2.

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu, możemy obliczyć, jaka będzie prędkość liniowa tej monety, gdy znajdzie się bliżej środka (tj. gdy zmniejszy się jej odległość od osi obrotu). Skoro w obu tych sytuacjach momenty pędu są równe,

L1=L2,

to

r1mv1=r2mv2,

zatem

v2=v1r1r2.

Analogicznie możemy obliczyć, jak zmieni się jej prędkość kątowa. Z zachowania momentu pędu wynika wprost

mω1r12=mω2r22,

wobec tego

ω2=ω1r12r22.

Dla przykładu przyjmijmy, że promień zmniejszył się o połowę, czyli r2=12r1. Wtedy prędkość liniowa i kątowa na „ciaśniejszej orbicie” wyniosą odpowiednio:

v2=v1r1r2=v1r112r1=2v1,
ω2=ω1r12r22=ω1r12(12r1)2=4ω1.

Sytuację taką ilustruje Rys. 1.:

RN0YFssmoxhSH
Rys. 1. Prędkości liniowe ciała w zależności od odległości od osi obrotu.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Zwróć uwagę, że prędkość liniowa tej monety wzrosła dwukrotnie, a prędkość kątowa czterokrotnie, mimo że nie została ona dodatkowo rozpędzona. Zmiana prędkości nie wynika z przyłożenia do monety zewnętrznej siły (np. dodatkowego popchnięcia jej), ale wyłącznie z zasady zachowania momentu pędu.

Zasada ta spełniona jest oczywiście nie tylko dla punktów materialnych, ale także dla brył sztywnych. Wtedy zapisujemy ją jako

L=Iω=const.,

zatem w dowolnych dwóch konfiguracjach, różniących się momentem bezwładności

I1ω1=I2ω2.

Otrzymujemy stąd związek

ω2=ω1I1I2

Możemy wyobrazić sobie, że zamiast monety wprawiamy w lejku w ruch kulkę o masie m i promieniu r. Jak będzie się zmieniał jej moment bezwładności, gdy będzie zmieniać się jej odległość d od środka lejka? Zgodnie z twierdzeniem SteineraTwierdzenie Steineratwierdzeniem Steinera:

I=25mr2+md2

Zatem jej prędkość kątowa będzie związana ze zmianami odległości środka masy kulki od osi obrotu następująco:

ω2=ω1I1I2=ω125mr2+md1225mr2+md22=ω125r2+d1225r2+d22

W tym momencie warto zwrócić uwagę, że dla powyższy wzór sprowadzi się do wyprowadzonej wcześniej postaci opisującej ruch punktu materialnego. W dużych odległościach od osi obrotu, gdy , można zastosować takie przybliżenie. Jeśli np. mamy kulkę o promieniu 5 cm, a odległość od osi obrotu wynosi 50 cm, to składnik  25r2 będzie zaniedbywalnie mały w porównaniu z d22. Jednakże, im bliżej osi obrotu, tym bardziej składnik d22 będzie malał, co zilustrowano na Rys. 2. W odległości powyżej 30 cm modelem bryły sztywnej i punktu materialnego dają wyniki różniące się o mniej niż 1%. Ale przy odległości jest to już 10% różnicy, a gdy prawie 40%.

RkUgDykYKIDmY
Rys. 2. Zmiana prędkości obrotowej w zależności od odległości od osi obrotu - dla modelu bryły sztywnej oraz punktu materialnego. Przyjęto początkową prędkość kątową ω1 = 2 rad ⋅ s-1.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Omówiliśmy przykłady, które można zaobserwować w życiu codziennym, ale opisana wyżej zasada „lejka grawitacyjnego” ma również zastosowanie w astronomii. Jeśli na przykład do Ziemi lub Słońca zbliża się jakieś ciało niebieskie, to mija je po bardzo rozciągniętej orbicie, a nie po okręgu – znaczy to, że w pewnym momencie ciało to znajduje się bliżej, a w innym dalej od przyciągającego go obiektu. W efekcie, skoro porusza się po ciaśniejszej orbicie, zmniejsza się jego moment bezwładności. Aby zachowany był moment pędu, ciało to musi zwiększyć swoją prędkość liniową. Faktycznie obserwujemy takie zachowanie ciał niebieskich, w tym Ziemi w ruchu po elipsie wokół Słońca.

Słowniczek

Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera

(ang. Steiner's theorem) – Jeśli przez  oznaczymy moment bezwładności bryły względem pewnej osi przechodzącej przez środek masy tej bryły, a w odległości  od tej osi ustawimy oś równoległą, to moment bezwładności bryły względem tej nowej osi będzie dany przez

I = I 0 + M d 2   ,

gdzie  to masa bryły. Sformułował je szwajcarski geometra, Jakob Steiner.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida