1)

wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;  (0)

2)

przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;  (0)

3)

stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;  (0)

4)

stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;  (0)

5)

stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli $x<y$ oraz $a>1$, to $a^x<a^y$ zaś gdy $x<y$ i $0<a<1$ to $a^x>a^y$;  (0)

6)

posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;  (0)

7)

stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu $|x+4|=5$, $|x-2|<3$, $|x+3|\ge 4$;  (0)

8)

wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;  (0)

9)

stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.  (0)

1)

stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${(a+b)}^2$, ${(a-b)}^2$, $a^2-b^2$, ${(a+b)}^3$, ${(a-b)}^3$, $a^3-b^3$, $a^{\mathrm{n}}-b^{\mathrm{n}}$;  (0)

2)

dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;  (0)

3)

wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;  (0)

4)

rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu $W\left(x\right)=2x^3-\sqrt{3x^2}+4x-2\sqrt{3}$;  (0)

5)

znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;  (0)

6)

dzieli wielomian jednej zmiennej $W\left(x\right)$ przez dwumian postaci $x-a$  (0)

7)

mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;  (0)

8)

dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż: $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$, $\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x+1}$.  (0)

1)

znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;  (0)

2)

stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona): $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})=n$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})=n$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$;  (0)

3)

korzysta ze wzorów na: $a^3+b^3$, ${(a+b)}^n$ i ${(a-b)}^n$.  (0)

1)

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;  (0)

2)

interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;  (0)

3)

rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;  (0)

4)

rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;  (0)

5)

rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;  (0)

6)

rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W\left(x\right)=0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;  (0)

7)

rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)}=0$, gdzie wielomiany $W\left(x\right)$ i $V\left(x\right)$ są zapisane w postaci iloczynowej.  (0)

1)

rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: $W(x)>0$, $W(x)\ge 0$, $W(x)<0$, $W(x)\le 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;  (0)

2)

rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż $\frac{x+1}{x(x-1)}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{2x}{(x-1)(x+1)}$;  (0)

3)

stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;  (0)

4)

rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: $2|x+3|+3|x-1|=13$, $|x+2|+2|x-3|<11$;  (0)

5)

analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.  (0)

1)

rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;  (0)

2)

stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;  (0)

3)

rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci $\left\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ x^2+y^2+cx+dy=f\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ y=c{x}^2+dx+f\end{array}\right.$.  (0)

1)

określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);  (0)

2)

oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;  (1)

3)

odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;  (0)

4)

odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;  (0)

5)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;  (0)

6)

wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;  (0)

7)

szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;  (0)

8)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);  (0)

9)

wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;  (0)

10)

wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;  (0)

11)

wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;  (0)

12)

na podstawie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ szkicuje wykresy funkcji $y=f(x-a)$, $y=f\left(x\right)+b$, $y=-f\left(x\right)$, $y=f(-x)$;  (0)

13)

posługuje się funkcją $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;  (0)

14)

posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.  (0)

1)

na podstawie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ rysuje wykres funkcji $y=\left|f\left(x\right)\right|$;  (0)

2)

posługuje się złożeniami funkcji;  (1)

3)

dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}$ jest monotoniczna w przedziale $\left(-\infty ,-2\right)$.  (0)

1)

oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;  (0)

3)

w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;  (0)

4)

sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;  (0)

5)

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;  (0)

6)

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;  (0)

7)

wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.  (0)

1)

oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu $\frac{1}{n}$, $\sqrt[n]{a}$ oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;  (0)

2)

rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.  (0)

1)

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;  (0)

2)

znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;  (0)

3)

znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;  (0)

4)

korzysta z wzorów ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$;  (0)

5)

stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}·ab·\sin \gamma$;  (0)

6)

oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).  (0)

1)

stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;  (0)

2)

posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;  (0)

3)

wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;  (0)

4)

stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;  (0)

5)

korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;  (0)

6)

rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: $\cos 2x \cos 5x=2\cos 7x+1$, $2{\sin }^{2}x\le 1$.  (0)

1)

wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;  (0)

2)

rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;  (0)

3)

rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;  (0)

4)

korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;  (0)

5)

stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;  (0)

6)

stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;  (0)

7)

stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;  (0)

8)

korzysta z cech podobieństwa trójkątów;  (0)

9)

wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;  (0)

10)

wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;  (0)

11)

stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;  (0)

12)

przeprowadza dowody geometryczne.  (0)

1)

rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;  (0)

2)

posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);  (0)

3)

oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;  (0)

4)

posługuje się równaniem okręgu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$;  (0)

5)

oblicza odległość punktu od prostej;  (0)

6)

znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;  (0)

7)

wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).  (0)

1)

stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;  (0)

2)

znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;  (0)

3)

zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.  (0)

1)

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;  (0)

2)

posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;  (0)

3)

rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;  (0)

4)

rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;  (0)

5)

określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;  (0)

6)

oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;  (0)

7)

wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.  (0)

1)

zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;  (0)

2)

wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.  (0)

1)

zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;  (0)

1)

oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;  (0)

2)

stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.  (0)

1)

oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;  (0)

2)

stosuje skalę centylową;  (0)

3)

oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;  (1)

4)

oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;  (1)

5)

oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.  (0)

1)

oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;  (0)

2)

stosuje schemat Bernoulliego.  (0)

1)

oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);  (0)

2)

stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;  (0)

3)

stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;  (0)

4)

oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;  (0)

5)

stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;  (0)

6)

rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.  (0)