Szkoła ponadpodstawowa Matematyka

E-materiały przeznaczone do nauki w szkołach lub do samodzielnej pracy ucznia.
view_comfy
view_list

I.

Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.  (2)

I.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.  (0)

1)

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;  (11)

2)

interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;  (2)

3)

rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;  (2)

4)

rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;  (9)

5)

rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;  (3)

6)

rozwiązuje równania wielomianowe postaci W ( x ) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;  (3)

7)

rozwiązuje równania wymierne postaci V ( x ) W ( x ) = 0, gdzie wielomiany W ( x ) V ( x ) są zapisane w postaci iloczynowej.  (6)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:  (6)

Zakres rozszerzony 1)

rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W ( x ) > 0, W ( x ) 0 , W ( x ) < 0 , W ( x ) 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;  (4)

Zakres rozszerzony 2)

rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż x + 1 x ( x 1 ) + 1 x + 1 2 x ( x 1 ) ( x + 1 ) ;  (5)

Zakres rozszerzony 3)

stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;  (2)

Zakres rozszerzony 4)

rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: 2 | x + 3 | + 3 | x 1 | = 13, | x + 2 | + 2 | x 3 | < 11;  (2)

Zakres rozszerzony 5)

analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.  (6)

1)

określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);  (5)

2)

oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;  (6)

3)

odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;  (7)

4)

odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;  (8)

5)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;  (7)

6)

wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;  (1)

7)

szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;  (2)

8)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);  (3)

9)

wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;  (1)

10)

wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;  (1)

11)

wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;  (1)

12)

na podstawie wykresu funkcji y = f ( x ) szkicuje wykresy funkcji y = f ( x − a ) , y = f ( x ) + b, y = − f ( x ) , y = f ( − x ) ;  (12)

13)

posługuje się funkcją f ( x ) = ax, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;  (7)

14)

posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.  (9)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:  (3)

Zakres rozszerzony 1)

na podstawie wykresu funkcji y = f ( x ) rysuje wykres funkcji y = | f ( x ) |  (6)

Zakres rozszerzony 2)

posługuje się złożeniami funkcji;  (2)

Zakres rozszerzony 3)

dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja f ( x ) = x − 1 x + 2 jest monotoniczna w przedziale ( − ∞ , − 2 ) .  (2)

1)

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;  (3)

2)

znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;  (3)

3)

znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;  (1)

4)

korzysta z wzorów sin2 α + cos2 α =1, tgα=sin αcos α;  (2)

5)

stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 12×a×b×sinƳ  (6)

6)

oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).  (4)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:  (1)

Zakres rozszerzony 1)

stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;  (0)

Zakres rozszerzony 2)

posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;  (6)

Zakres rozszerzony 3)

wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;  (4)

Zakres rozszerzony 4)

stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;  (4)

Zakres rozszerzony 5)

korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;  (3)

Zakres rozszerzony 6)

ozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: 4 cos 2x cos 5x = 2 cos 7x +1 , 2 sin2x≤1.  (0)

1)

wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;  (24)

2)

rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;  (13)

3)

rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;  (11)

4)

korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;  (12)

5)

stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;  (11)

6)

stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;  (1)

7)

stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;  (5)

8)

korzysta z cech podobieństwa trójkątów;  (10)

9)

wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;  (5)

10)

wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;  (20)

11)

stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;  (8)

12)

przeprowadza dowody geometryczne.  (32)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.  (2)

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida