Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Aplet

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia ścianę pokrytą ostrosłupami.

Kąty między odcinkami w czworościanie

Źródło: Ying Chih, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

Nie tylko matematyków interesują miary kątów w czworościanie. Wiadomo, że cząsteczka metanu ma kształt czworościanu foremnego, w którym atomy wodoru znajdują się w wierzchołkach, a atom węgla znajduje się w punkcie przecięcia wysokości czworościanu foremnego.

Interesujące jest pytanie, jaki kąt tworzą wiązania atomowe pomiędzy atomem węgla i dwoma atomami wodoru?

Twoje cele

- Obliczysz miary kątów pomiędzy odcinkami w czworościanie.

- Obliczysz objętości czworościanu.

Przeczytaj

Znasz już kąty pomiędzy odcinkami, pomiędzy odcinkiem i płaszczyzną oraz pomiędzy dwiema płaszczyznami w ostrosłupie. Poniżej przedstawimy przykłady wyznaczenia kątów pomiędzy odcinkami w czworościanie.

Najpierw zajmiemy się czworościanem foremnym, czyli takim ostrosłupem, w którym podstawa i ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Przypomnijmy, że wysokość trójkąta równobocznego o boku długości wynosi . Wysokości w tym trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który dzieli wysokości w stosunku .

Przypomnijmy, że korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można wyprowadzić wzór na wysokość czworościanu foremnego , gdzie to długość krawędzi czworościanu.

Jednym z pierwszych pytań, jakie można sobie zadać, jest pytanie o kąt pomiędzy krawędzią boczną a krawędzią podstawy lub kąt pomiędzy dwiema krawędziami bocznymi. Jednak w przypadku czworościanu jest to pytanie o kąty w trójkątach, które są ścianami bocznymi czworościanu. W szczególności w czworościanie foremnym mamy do czynienia z trójkątami równobocznymi, więc kąty te są równe Ciekawsze będą pytania o kąty pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu, czy kąt pomiędzy wysokościami czworościanu.

Przykład 1

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu foremnego.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

Wysokość czworościanu wynosi oraz wysokość podstawy jest równa . Ponadto . Kąt jest kątem pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy:

.

W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych sprawdzamy, że .

Przykład 2

Wyznaczymy cosinus kąta pomiędzy wysokością czworościanu foremnego a wysokością ściany bocznej.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

Wysokość czworościanu wynosi oraz wysokość ściany . Kąt jest kątem pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy:

W czworościanie foremnym wysokości przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla dowolnego czworościanu (zastanów się nad przykładem czworościanu, którego wysokości nie przecinają się w jednym punkcie). Zanim przejdziemy do wyznaczenia miary kąta, jaki tworzą wysokości czworościanu foremnego (kąta utworzonego przez wiązania atomu węgla z atomami wodoru), obliczymy, w jakim stosunku punkt przecięcia wysokości dzieli te wysokości.

Przykład 3

Wyznaczymy stosunek, na jaki dzieli każdą z wysokości czworościanu foremnego punkt ich przecięcia.

Rozwiązanie

Poprowadźmy wysokości z wierzchołków i . Punkt przecięcia wysokości oznaczmy przez .

Wiemy, że wysokość czworościanu wynosi , a wysokość trójkąta równobocznego . Stąd . Ponadto . Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy

,

czyli

.

Ponieważ

,

więc

.

Punkt przecięcia wysokości w czworościanie foremnym dzieli te wysokości w stosunku .

Ciekawostka

Stosunek, w jakim punkt przecięcia wysokości czworościanu foremnego dzieli każdą z nich, można wydedukować bez odwoływania się do trygonometrii. Czworościan foremny dzielimy na cztery identyczne czworościany: , , i . Objętość każdego z takich czworościanów jest równa jednej czwartej objętości czworościanu . Ponieważ podstawami wszystkich czterech czworościanów są przystające trójkąty, więc wysokość czworościanów , , i  jest równa jednej czwartej wysokości czworościanu . Stąd i , czyli .

Ciekawostka

Jeśli w czworościan foremny wpiszemy kulę, to jej promieniem jest odcinek . Promieniem kuli opisanej na czworościanie foremnym jest odcinek .

Przykład 4

Dany jest czworościan foremny . Niech  będzie punktem przecięcia się wysokości tego czworościanu. Wyznaczymy miarę kąta .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia takie jak na rysunku.

Ponieważ punkt przecięcia wysokości czworościanu dzieli je w stosunku , więc . Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta , otrzymujemy:

.

Sprawdzamy w tablicach funkcji trygonometrycznych, że , więc .

Obliczyliśmy – kąty między wiązaniami w cząsteczce metanu mają miarę około .

Przykład 5

W czworościanie dane są długości krawędzi , , . Kąt płaski pomiędzy krawędzią i  wynosi . Natomiast kąty płaskie pomiędzy krawędziami i  oraz i  mają miarę . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego czworościaniu.

Rozwiązanie

Sporządźmy rysunek pomocniczy do tego zadania.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta :

.

Ponieważ trójkąty i  są przystające (cecha ), więc

.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta :

.

Wyznaczamy pola trójkątów:

.

Pole całkowite wynosi:

.

Słownik

czworościan

ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt; każda z czterech ściań czworościanu może być uważana za jego podstawę

kąt płaski

część płaszczyzny ograniczonej dwiema półprostymi o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi

Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem przedstawiającym czworościan. Przyjrzyj się uważnie kątom pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami. Oceń ich miary i zakres, z którego pochodzą. Poruszając myszką na ilustracji, możesz obserwować poszczególne kąty w czworościanie z różnej perspektywy. Zastanów się, jakimi funkcjami trygonometrycznymi zaznaczonych kątów można opisać zależności krawędzi bocznych od wysokości.

Aplet przedstawia czworościan ABCD. Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej AD, a wysokością czworościanu DE ma miarę . Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej BD, a wysokością czworościanu DE ma miarę . Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej CD, a wysokością czworościanu DE ma miarę .

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DE3ix7WIeOtwiera się w nowym oknie

Polecenie 2

Długość wysokości czworościanu wynosi . Kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami , i  mają miarę , i , odpowiednio. Wyznacz sumę odległości punktu od wierzchołków trójkąta .

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Polecenie 3

W czworościanie dane są długości jego krawędzi , i . Kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami ,  i  mają miarę , i , odpowiednio. Uzasadnij, że

.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń.

W czworościanie foremnym trzy kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami mają     miary.

W czworościanie, który nie jest foremny, trzy kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami     miary.

W czworościanie kąt pomiędzy wysokością czworościanu a krawędzią boczną ma miarę mniejszą od    .

W czworościanie foremnym kąt pomiędzy krawędziami bocznymi ma miarę    .

czworościan, w którym kąt pomiędzy krawędziami bocznymi jest kątem prostym.

różne     Istnieje     równe          Nie istnieje          mogą mieć różne     mają równe     mają różne

Ćwiczenie 2

Wpisz poprawną odpowiedź.

W czworościanie krawędź boczna jest dwukrotnością wysokości .

Kąt pomiędzy wysokością , a krawędzią boczną wynosi         .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 3

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym długość krawędzi podstawy wynosi . Krawędzie boczne tego czworościanu mają długość . Jakie miary mają kąty pomiędzy wysokością czworościanu a krawędziami bocznymi ?

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Czy istnieje czworościan, którego trzy kąty pomiędzy krawędziami bocznymi mają odpowiednio miary , i ?

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 5

W czworościanie krawędź jest prostopadła do krawędzi i . Wiedząc, że krawędzie , , i  mają taką samą długość, wyznacz kąt pomiędzy krawędziami i .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Objętość czworościanu jest równa , a pole jego podstawy wynosi . Kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami , i  mają miarę , i , odpowiednio. Suma długości krawędzi bocznych tego czworościanu wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

W czworościanie o podstawie dane są długości krawędzi , i . Wyznacz, dla jakiego kąta pomiędzy krawędziami i  oraz kąta pomiędzy krawędzią a wysokością czworościanu objętość tego czworościanu będzie największa. Oblicz tą objętość.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Dany jest czworościan foremny . Niech  będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka , a punkt  środkiem odcinka . Wyznacz sinus kąta .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Adrian Karpowicz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Kąty pomiędzy odcinkami w czworościanie.

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum lub technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- wskazuje kąty pomiędzy odcinkami w czworościanie,

- oblicza miary kątów pomiędzy odcinkami w czworościanie z zastosowaniem Twierdzenia Pitagorasa, własności trójkąta równobocznego, funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, Twierdzenia cosinusów oraz Twierdzenia sinusów,

- stosuje własności czworościanu foremnego,

- analizuje różnice pomiędzy czworościanem foremnym a czworościanem, który nie jest foremny,

- oblicza objętość czworościanu z zastosowaniem trygonometrii.

Metody i techniki nauczania:

- rozmowa nauczająca,

- burza mózgów,

- pokaz.

Formy pracy:

- praca w parach,

- praca indywidualna,

- praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

- komputer z dostępem do internetu,

- projektor multimedialny,

- e-podręcznik.

Przebieg lekcji:

Faza przed lekcją:

1. Przed lekcją uczniowie zapoznają się z materiałem z sekcji Przeczytaj. Zapisują swoje uwagi do tekstu.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prowadzi rozmowę z uczniami na temat materiału zamieszczonego w sekcji Przeczytaj.

2. Zostają wyjaśnione wszelkie wątpliwości, jakie pojawiły się podczas lektury tego tekstu.  Nauczyciel tak prowadzi rozmowę, aby uczniowie nawzajem wyjaśniali sobie swoje wątpliwości.

Faza realizacji:

1. Nauczyciel prezentuje aplet z GeoGebry, w którym przedstawione są kąty pomiędzy wysokością a krawędzią boczną czworościanu.  Uczniowie zastanawiają się w parach nad rozwiązaniem Polecenia 2 i Polecenia 3. Wybrane osoby prezentują rozwiązania.

2. Uczniowie samodzielnie wykonują zadanie 1-3. Następnie na forum klasy są omawiane rozwiązania.

3. Cała klasa zastanawia się nad rozwiązaniem zadania 7 i 8. Pomysły prezentowane są na forum klasy. Przedstawione zostają rozwiązania tych zadań

Faza podsumowująca:

1. Podsumowanie tematu lekcji. Omówienie ewentualnych pytań dotyczących omawianego materiału.

Praca domowa:

Rozwiązać ćwiczenia 4-6 w sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

- Czworościan foremnyOtwiera się w nowym oknie

- Kąty pomiędzy płaszczyznami i prostymi oraz pomiędzy płaszczyznami w ostrosłupie prawidłowym czworokątnymOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Aplet może być wykorzystany podczas omawiania budowy i własności ostrosłupów.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Aplet

Sprawdź się

Dla nauczyciela