Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie przedstawia betonowe sześcienne kostki.

Kąty między ścianą a odcinkiem w czworościanie

Źródło: Christian Fregnan, dostępny w internecie: www.unsplash.com, domena publiczna.

Potrzeba wyznaczania kątów pomiędzy obiektami przestrzennymi pojawia się w wielu dziedzinach życia. Takimi dziedzinami mogą być architektura czy sztuka. W tym materiale rozwiniesz umiejętność wyznaczania kątów pomiędzy odcinkiem a płaszczyzną.

Bottrop, Niemcy

Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

- Wskażesz kąty pomiędzy ścianą a odcinkiem w czworościanie.

- Obliczysz miary kątów pomiędzy odcinkiem a ścianą w czworościanie i zastosujesz swoje umiejętności w zadaniach.

- Rozwiniesz umiejętność stosowania twierdzenia Vivianiego oraz własności czworościanu foremnego.

Przeczytaj

Przypomnijmy, jakie może być wzajemnie położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni. Prosta może być równoległa do płaszczyzny. Powiemy wtedy, że kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną jest równy . Prosta może być również prostopadła do płaszczyzny, czyli kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną wynosi . W trzecim przypadku prosta przecina płaszczyznę pod innym kątem niż prosty. Aby wyznaczyć miarę takiego kąta, wyznaczamy rzut prostokątny prostej na płaszczyznę oraz wyznaczamy kąt pomiędzy prostą a tym rzutem.

Wyznaczanie kąta pomiędzy odcinkiem a płaszczyzną w czworościanie sprowadza się do wyznaczenia kąta nachylenia prostej zawierającej dany odcinek do tej płaszczyzny.

Przykład 1

Wyznaczymy miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian czworościanu foremnego.

Rozwiązanie:

Przyjrzymy się czworościanowi foremnemu.

Zauważmy, że ze względu na symetrie czworościanu foremnego nie ma znaczenia, którą krawędź będziemy rozważać. Przyjrzymy się krawędzi . Krawędź ta zawarta jest w ścianach i , czyli prosta jest równoległa do płaszczyzny i . Stąd miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian i  są równe .

Pozostały do rozpatrzenia kąty pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian i . Ponownie, ze względu na symetrie czworościanu foremnego, kąty te są przystające. Rzutem prostokątnym krawędzi na płaszczyznę jest odcinek zawarty w wysokość trójkąta .

Rozważmy kąt . Wysokość trójkąta równobocznego jest równa , czyli . Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy .

Z tablic funkcji trygonometrycznych odczytujemy , czyli miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian i  wynoszą około .

Przykład 2

Wyznaczymy miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Rozwiązanie:

Przyjrzymy się ostrosłupowi prawidłowemu trójkątnemu, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Zauważmy, że ze względu na symetrię ostrosłupa prawidłowego nie ma znaczenia, którą krawędź boczną będziemy rozważać. Przyjrzymy się krawędzi .

Krawędź ta zawarta jest w ścianach i , czyli miary kątów pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian i  wynoszą .

Pozostały do rozpatrzenia kąty pomiędzy krawędzią a każdą ze ścian i . Rzutem prostokątnym krawędzi na płaszczyznę jest odcinek zawarty w wysokości trójkąta . Rzut prostokątny wierzchołka  na płaszczyznę zawiera się w wysokości trójkąta . Stąd rzut krawędzi na płaszczyznę zawarty jest w prostej .

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa , czyli . Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy .

Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy .

Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta , otrzymujemy:

.

Zatem i , czyli miara kąta pomiędzy krawędzią a płaszczyzną podstawy wynosi około . Natomiast miara kąta pomiędzy krawędzią a ścianą jest równa około .

Przykład 3

Dany jest czworościan , w którym wysokość ma długość . Kąty pomiędzy tą wysokością a ścianami , i  wynoszą odpowiednio , i . Wyznaczymy odległości spodka wysokości od ścian , i .

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć odległość punktu od płaszczyzny należy wyznaczyć rzut prostokątny tego punktu na tę płaszczyznę. Oznaczmy go przez . Odcinek jest więc rzutem prostokątnym odcinka na płaszczyznę . Stąd kąt jest kątem pomiędzy wysokością a płaszczyzną .

Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy:, czyli . W analogiczny sposób wyznaczamy odległości punktu od każdej ze ścian i , które wynoszą odpowiednio i .

Przykład 4

Dany jest czworościan , w którym wysokość ma długość . Odległość spodka wysokości od ściany wynosi . Wyznaczymy odległość punktu od prostej .

Rozwiązanie:

Niech będzie rzutem prostokątnym odcinka na płaszczyznę , a  rzutem prostokątnym punktu na prostą . Wtedy punkty , i  leżą na jednej prostej, gdyż płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny .

Ponieważ , więc kąt na miarę a kąt ma miarę . Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy . Z podobieństwa trójkątów i  (cecha kkk) otrzymujemy: , czyli .

Ciekawostka

W czworościanie foremnym suma odległości dowolnego punktu wewnątrz tego czworościanu od jego czterech ścian jest równa wysokości czworościanu.

Weźmy dowolny punkt wewnątrz czworościanu foremnego . Suma objętości czterech czworościanów , , i  jest równa objętości czworościanu . Odległość punktu od ścian , , i  oznaczmy , , i , odpowiednio. Odległości te są wysokościami czworościanów , , i , odpowiednio.

Jeżeli oznacza pole ściany czworościanu a  jego wysokość, to:

czyli

Słownik

rzut prostokątny punktu na płaszczyznę

punkt, w którym prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do tej płaszczyzny przecina tę płaszczyznę

kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

kąt ostry zawarty między prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę

Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją 3D, która przedstawia kąty pomiędzy wysokością czworościanu a jego ścianami bocznymi.

Film nawiązujący do treści materiału kątów między ścianą a odcinkiem w czworościanie.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1AlIn71tOtwiera się w nowym oknie

Film nawiązujący do treści materiału kątów między ścianą a odcinkiem w czworościanie.

Polecenie 2

Korzystając z powyższej animacji, uzasadnij twierdzenie Vivianiego, które stwierdza, że dla dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego suma odległości tego punktu od boków trójkąta jest stała i równa wysokości tego trójkąta.

Pokaż odpowiedź

Polecenie 3

Uzasadnij, że w każdym czworościanie , w którym podstawa  jest trójkątem równobocznym o boku długości oraz wysokość czworościanu ma długość suma tangensów kątów pomiędzy wysokością a ścianami , i  jest stała.

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń.

Rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę jest punkt przecięcia     do tej płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt z tą płaszczyzną.

Prosta leżąca na danej płaszczyźnie tworzy z tą płaszczyzną kąt o mierze    .

Prosta prostopadła do płaszczyzny tworzy z tą płaszczyzną kąt o mierze    .

Kątem pomiędzy prostą a płaszczyzną nazwiemy kąt ostry pomiędzy tą prostą a     na tę    .

płaszczyznę     prostej prostopadłej          prostą          rzutem prostopadłym tej prostej          prostej równoległej     płaszczyzny prostopadłej

Ćwiczenie 2

Sinus kąta pomiędzy wysokością a ścianą boczną w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy i długości krawędzi bocznej wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

Dany jest czworościan , w którym kąt pomiędzy ścianami i  jest kątem prostym. Trójkąty i  są trójkątami równoramiennymi o wspólnej podstawie o długości .

Wiedząc, że długość krawędzi wynosi  oraz objętość czworościanu jest równa , uporządkuj w odpowiedniej kolejności etapy wyznaczania tangensa kąta pomiędzy krawędzią a płaszczyzną podstawy .

- Poziom 1:Objętość czworościanu: , czyli .

- Poziom 2:Z trójkąta prostokątnego : .

- Poziom 3:Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy .

Ćwiczenie 4

Dany jest czworościan foremny . Na wysokości czworościanu wyznaczono punk  taki, że stosunek długości odcinka do odcinka wynosi . Wyznacz sinus kąta pomiędzy odcinkiem a płaszczyzną podstawy .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 5

Dany jest czworościan , w którym trójkąt jest trójkątem równobocznym o boku długości . Miary kątów pomiędzy wysokością opuszczoną z wierzchołka  a ścianami , i  wynoszą , i , odpowiednio. Oblicz objętość tego czworościanu.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

W czworościanie podstawa jest trójkątem równobocznym o boku długości . Objętość tego czworościanu wynosi , a jeden z kątów pomiędzy wysokością czworościanu opuszczoną z wierzchołka  a ścianą boczną czworościanu ma miarę . Wyznacz długości pozostałych krawędzi tego czworościanu.

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 7

Dany jest czworościan , w którym , , , a wysokość czworościanu . Oba kąty pomiędzy wysokością a ścianami i  mają miarę . Wyznacz kąt pomiędzy wysokością a ścianą .

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 8

Dany jest czworościan , w którym jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym . Krawędź o długości  jest prostopadła do ściany . Krawędź jest nachylona do ściany pod kątem . Wykaż, że suma odwrotności kwadratów długości krawędzi i  jest stała dla danych i .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Adrian Karpowicz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Kąty pomiędzy ścianą a odcinkiem w czworościanie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum lub technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3) Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- wskazuje kąt pomiędzy ścianą a odcinkiem w czworościanie;

- oblicza miary kątów pomiędzy ścianą a odcinkami w czworościanie z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa, własności trójkąta równobocznego, funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, własności trójkątów podobnych;

- stosuje własności czworościanu foremnego;

- stosuje twierdzenie Vivianiego dla trójkąta równobocznego.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm

- konektywizm

Metody i techniki nauczania:

- dyskusja;

- burza mózgów;

- pokaz multimedialny.

Formy pracy:

- praca w parach;

- praca indywidualna;

- praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu;

- projektor multimedialny;

- e–podręcznik.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie zapoznają się z treściami zamieszczonymi w zakładce „Przeczytaj”.

2. Nauczyciel prowadzi dyskusję z uczniami na temat materiału zamieszczonego w sekcji Przeczytaj. Zostają wyjaśnione wszelkie wątpliwości, jakie pojawiły się podczas lektury tego tekstu. Nauczyciel stara się, aby sami uczniowie nawzajem wyjaśniali swoje wątpliwości.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prezentuje animację 3D, w której przedstawiony jest kąt pomiędzy wysokością a ścianą boczną czworościanu. Uczniowie samodzielnie rozwiązują Polecenie 2 i Polecenie 3.

2. Uczniowie w grupach 4-osobowych rozwiązują zadania od 5 do 7.

3. Uczniowie przedstawiają rozwiązania tych zadań na forum klasy.

Faza podsumowująca:

- Nauczyciel podsumowuje temat lekcji, wyjaśnia ewentualne pytania dotyczące omawianego materiału.

Praca domowa:

Rozwiązać zadania 1–4 i 8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

CzworościanOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Animacja 3D może zostać wykorzystana na lekcji o kątach między odcinkami i płaszczyznami w ostrosłupach.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela