Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film edukacyjny

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie przedstawia pokrojonego arbuza.

Cechy podobieństwa trójkątów

Źródło: Kelly Sikkema, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

Niekiedy, obserwując dwie lub więcej rzeczy, jesteśmy skłonni o nich powiedzieć, że są podobne. O dwóch jednojajowych bliźniakach z pewnością powiemy, że są podobni, a niekiedy nawet nazwiemy ich identycznymi. Nazywając obiekty podobnymi mamy zwykle na myśli jakąś cechę tych obiektów; w przypadku dwóch osób może to być ich wygląd zewnętrzny, ale może to być też jakaś cecha charakteru. W matematyce pojęcie podobny jest używane do określenia pewnych cech figur geometrycznych. Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy mają ten sam kształt. Oczywiście nie jest to ścisła definicja figur podobnych, ale określenie to dość dobrze oddaje pojęcie figur podobnych.

W tym materiale zajmiemy się podobieństwem najprostszych wielokątów, czy podobieństwem trójkątów.

Twoje cele

- Poznasz cechy podobieństwa trójkątów.

- Będziesz układał odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości brakujących boków trójkątów podobnych.

- Wykorzystasz poznane cechy do sprawdzania, czy dane trójkąty są podobne.

- Zastosujesz trójkąty podobne do przeprowadzania dowodów geometrycznych.

Przeczytaj

Na początek podamy definicję podobieństwa.

Definicja: Podobieństwo o skali

Podobieństwem o skali nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny na tę samą płaszczyznę (mówimy wówczas o podobieństwie płaszczyzny) lub przestrzeni na tę samą przestrzeń (mówimy wówczas o podobieństwie przestrzeni), w którym

,

gdzie:

i  – są dwoma dowolnymi punktami,

i  – obrazami tych punktów w przekształceniu .

Wtedy definicja figur podobnych mogłaby być sformułowana następująco:

Definicja: Figury podobne

Figury nazywamy podobnymi wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem drugiej w pewnym podobieństwie. Relację podobieństwa figur oznaczamy symbolem „”. Zatem fakt, że figura jest podobna do figury możemy zapisać krótko

Skalę tego podobieństwa nazywamy wtedy skalą podobieństwa figury do figury

Przykładami figur podobnych są:

- dowolne dwa odcinki,

- dowolne dwa okręgi,

- dowolne dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków (trójkąty równoboczne, kwadraty, pięciokąty foremne, itd.)

Podana definicja nie daje nam jednak dobrego narzędzia do badania podobieństwa figur. Ponieważ każdy wielokąt można poddać tzn. triangulacji, czyli podzielić ten wielokąt na trójkąty (można to zrobić zawsze tak, żeby wszystkie wierzchołkami tych trójkątów były wierzchołkami tego wielokąta – o tym orzeka twierdzenie o triangulacji wielokąta), więc trójkąty możemy traktować jak „cegiełki”, z których zbudowane są wielokąty. Z tego powodu wystarczy umieć rozstrzygać, czy dane trójkąty są podobne.

Wniosek o tym, że dwa trójkąty są podobne możemy wyciągnąć z każdego z następujących trzech warunków, zwanych cechami podobieństwa trójkątów:

Twierdzenie: Cecha „bok – bok – bok” podobieństwa trójkątów

Jeżeli długości trzech boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli , to .

Twierdzenie: Cecha „bok – kąt – bok” podobieństwa trójkątów

Jeżeli długości dwóch boków trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta i kąty miedzy tymi bokami w obu trójkątach są równe, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli i , to .

Twierdzenie: Cecha „kąt – kąt – kąt” podobieństwa trójkątów

Jeżeli trzy kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim trzem kątom drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku

Możemy to twierdzenie zapisać w postaci:

Jeżeli i  i , to .

Przykład 1

Rozstrzygnij, czy trójkąt o bokach długości , , jest podobny do trójkąta o bokach długości , , .

Rozwiązanie

Stosunek długości najkrótszych boków tych trójkątów jest równy .

Stosunek długości najdłuższych boków jest równy , a stosunek długości pozostałych boków jest równy .

Wszystkie trzy stosunki są równe, więc z cechy bbb wynika, że te trójkąty są podobne.

Skala podobieństwa pierwszego z nich do drugiego jest równa , natomiast skala podobieństwa drugiego z nich do pierwszego jest równa .

Przykład 2

Długości boków trójkąta są równe: , i . W trójkącie dane są: , , . Rozstrzygnij, czy te trójkąty są podobne.

Rozwiązanie

Obliczymy najpierw długość boku trójkąta .

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy

czyli .

Stąd .

Teraz, mając już długości wszystkich boków obu trójkątów możemy obliczyć stosunki długości odpowiednich boków.

Ponieważ , więc z cechy bbb wnioskujemy, że trójkąty i  są podobne.

Przykład 3

Przekątne i  trapezu o podstawach i  przecinają się w punkcie .

Uzasadnij, że trójkąty i  są podobne.

Rozwiązanie

Kąty i  są naprzemianległe oraz kąty i  są naprzemianległe.

Proste i  są równoległe, gdyż czworokąt jest trapezem, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych wynika, że oraz .

Kąty i  są wierzchołkowe, więc .

Zatem z cechy kkk wynika, że trójkąty i  są podobne.

Przykład 4

Przekątne i  trapezu , którego podstawy i  mają długości i , przecinają się w punkcie .

Wykaż, że stosunek pola trójkąta do pola trapezu jest równy .

Dowód

Krok 1

Uzasadnij, że stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy , czyli .

Uzasadnienie Kroku 1

Trójkąty i  mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka . Oznaczając tę wysokość literą otrzymujemy

.

Krok 2

Uzasadnij, że prawdziwa jest równość .

Uzasadnienie Kroku 2

Z własności, której prawdziwość uzasadniliśmy w kroku 1. wynika, że i .

Stąd wynika równość .

Krok 3

Uzasadnij, że trójkąty i  są podobne.

Uzasadnienie Kroku 3

Proste i  są równoległe. Kąty i  są naprzemianległe oraz kąty i  są naprzemianległe, więc oraz .

Kąty i  są wierzchołkowe, więc .

Zatem z cechy kkk wynika, że trójkąty i  są podobne.

Krok 4

Uzasadnij, że .

Uzasadnienie Kroku 4

Trójkąty i  są podobne, a skala ich tego podobieństwa jest równa stosunkowi odpowiednich długości w tych trójkątach, więc jest równa .

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych figur, więc .

Krok 5

Uzasadnij, że .

Uzasadnienie Kroku 5

Kąty i  są wierzchołkowe, więc . Oznaczmy miarę tych kątów przez .

Z podobieństwa trójkątów i , co wykazaliśmy w kroku 3., wynika, że . Stąd .

Mnożąc obie strony tej równości przez otrzymujemy równość .

Stąd i ze wzoru na pole trójkąta z sinusem otrzymujemy .

Krok 6

Uzasadnij, że .

Uzasadnienie Kroku 6

Z równości i  wykazanych w krokach 2. i 5. otrzymujemy kolejno

,

.

Stąd i z równości , której prawdziwość wykazaliśmy w kroku 4. wynika, że , skąd dostajemy .

Krok 7

Uzasadnij, że .

Uzasadnienie Kroku 7

Słownik

skala podobieństwa figur

jeżeli figura jest obrazem figury w podobieństwie o skali , to liczbę nazywamy skalą podobieństwa tych figur (dokładniej skalą podobieństwa figury do figury )

Film edukacyjny

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym filmem edukacyjnym, aby utrwalić swoją wiedzę o trójkątach podobnych.

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej podobieństw trójkątów.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D9byaFl2rOtwiera się w nowym oknie

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej podobieństw trójkątów.

Polecenie 2

Kacper wyszedł z domu na spacer kierując się na azymut . Szedł przez minut. Następnie ruszył na południe od kierunku wchodniego. Szedł minut. Wrócił do domu najkrótszą drogą. Przez cały czas poruszał się z niezmienioną prędkością. Wiktoria ruszyła na zachód od kierunku północnego. Szła minut. Następnie obróciła się o  w lewo i szła przez minut, wróciła do domu najkrótszą drogą. Całą drogę szła z niezmienioną prędkością. Zastanówmy się, czy drogi, które przebyli Kacper i Wiktoria tworzą trójkąty podobne.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na każdym z rysunków , i  przedstawiono parę trójkątów.

Na którym rysunku przedstawione trójkąty są podobne? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Tylko na i .

- Tylko na .

- Na , i .

- Tylko na i .

Ćwiczenie 2

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

Liczby , , są długościami boków trójkąta . Trójkątem podobnym do trójkąta jest trójkąt o bokach długości    .

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Dane są trójkąty: o bokach długości , i ; trójkąt o bokach , i  oraz trójkąt o bokach , i . Wynika stąd, że:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- .

- .

- .

Ćwiczenie 4

Prosta jest równoległa do prostej oraz , i  jak na rysunku poniżej.

Zaznacz poprawną odpowiedź. Długość odcinka jest równa:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- .

- .

- .

- .

Ćwiczenie 5

Proste i  zostały przecięte prostymi równoległymi , i  jak na rysunku poniżej.

Prawdziwe są proporcje: , , .

Uzupełnij każdą z proporcji tak, żeby była prawdziwa, przeciągając brakującą zmienną w proporcji do prawej kolumny tabeli.

, , , , , , , , , , ,

Proporcja

Brakująca zmienna w proporcji

Ćwiczenie 6

Długość boku trójkąta jest równa . Na bokach i  tego trójkąta leżą punkty odpowiednio i  takie, że , i , jak na rysunku.

Oblicz długość boku trójkąta .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawione są dwa prostokąty i  o wspólnym wierzchołku . Bok prostokąta jest razy dłuży od jego boku , a bok prostokąta jest razy dłuży od jego boku .

Udowodnij, że .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Dany jest równoległobok . Prosta przechodząca przez wierzchołek przecina przekątną tego równoległoboku w punkcie , bok w punkcie i przedłużenie boku w punkcie jak na rysunku poniżej.

Wykaż, że .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Cechy podobieństwa trójkątów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

- kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

- zna cechy podobieństwa

- układa proporcje, aby wyznaczyć długości brakujących boków trójkątów podobnych

- wykorzystuje poznane cechy do sprawdzania, czy dane trójkąty są podobne

Strategie nauczania:

- konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

- dyskusja

- rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

- praca indywidualna

- praca w grupach

- praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

- Nauczyciel rysuje na tablicy kilka trójkątów różnej wielkości, dwa spośród nich są proporcjonalne. Pyta uczniów, które ich zdaniem są podobne.

Faza realizacyjna:

- Nauczyciel, z pomocą uczniów, wskazuje cechy podobieństwa trójkątów

- Nauczyciel, z pomocą uczniów, rozwiązuje Przykład 1

- Nauczyciel pokazuje uczniom dowód z Przykładu 4

- Uczniowie zapoznają się z filmem edukacyjnym

- Uczniowie pracując w grupach analizują Przykłady 2 i 3. Wybrani uczniowie referują rozwiązania.

Faza podsumowująca:

- Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

- Cechy podobieństwa trójkątówOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może wykorzystać medium w sekcji „Film edukacyjny” do pracy przed lekcją. Uczniowie zapoznają się z jego treścią i przygotowują do pracy na zajęciach w ten sposób, żeby móc samodzielnie pracować podczas lekcji.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film edukacyjny

Sprawdź się

Dla nauczyciela