Spis treści

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne

Z tego materiału dowiesz się:

- co to jest pierwiastek kwadratowy,

- co to jest pierwiastek sześcienny,

- co to jest liczba podpierwiastkowa,

- jak obliczać pierwiastki z niektórych liczb.

Zacznijmy od przypomnienia definicji potęgowania i obliczenia kwadratów (drugich potęg) niektórych liczb.

Definicja: Potęga liczby

Potęgą liczby

o wykładniku naturalnym  nazywamy iloczyn  czynników, z których każdy jest równy liczbie .

Ćwiczenie 1

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Uzupełnij zapisy takimi liczbami niedodatnimi, aby ich kwadraty miały podaną wartość. Przeciągnij w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- Liczba jest kwadratem liczby    .

- Liczba jest kwadratem liczby    .

- Liczba jest kwadratem liczby    .

- Liczba jest kwadratem liczby    .

- Liczba jest kwadratem liczby    .

- Liczba jest kwadratem liczby    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Szukanie liczby nieujemnej na podstawie danego jej kwadratu nazywa się obliczaniem pierwiastka kwadratowego z danej liczby nieujemnej.

Definicja: Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej

nazywamy taką liczbę nieujemną , której kwadrat jest równy liczbie . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem .

Pierwiastek kwadratowy nazywany jest również pierwiastkiem stopnia drugiego.

Mówimy, że liczba

w wyrażeniu to liczba podpierwiastkowa.

Jeśli

i , to , wtedy i tylko wtedy, gdy .

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczamy pierwiastek kwadratowy z danej liczby.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RGxExVCs33Au2

Pierwiastki kwadratowe i szescienne liczb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczamy pierwiastek kwadratowy z danej liczby.

Przykład 1

Obliczymy pierwiastki podanych liczb.

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

, bo

Pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych nie określamy, ponieważ nie znamy takich liczb, które podniesione do kwadratu mają wartość ujemną.

Przykład 2

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczyć wartości pewnych wyrażeń zawierających drugie potęgi i pierwiastki kwadratowe.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R9pkScxwMMlOS

Własności pierwiastków na przykładzie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczyć wartości pewnych wyrażeń zawierających drugie potęgi i pierwiastki kwadratowe.

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby nieujemnej

zachodzą równości:

, , .

Na przykład:

Przykład 3

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczyć wartości pewnych wyrażeń zawierających trzecie potęgi i pierwiastki sześcienne.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RCWFiRNv1HvAd

Własności pierwiastków na przykładzie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczyć wartości pewnych wyrażeń zawierających trzecie potęgi i pierwiastki sześcienne.

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby

zachodzą równości:

, , .

Na przykład:

.

Ćwiczenie 3

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Szukanie liczby na podstawie danego jej sześcianu nazywa się obliczaniem pierwiastka sześciennego z danej liczby.

Definicja: Pierwiastek sześcienny

- Pierwiastkiem sześciennym z liczby

nazywamy taką liczbę , której sześcian jest równy liczbie . Pierwiastek ten oznaczamy symbolem .

- Pierwiastek sześcienny nazywany jest również pierwiastkiem stopnia trzeciego.

- wtedy i tylko wtedy, gdy .

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczamy pierwiastek sześcienny z danej liczby.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RjZ2rzQyP5QC3

Pierwiastki kwadratowe i szescienne liczb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób obliczamy pierwiastek sześcienny z danej liczby.

Przykład 4

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

- , bo

Ważne!

Dla dowolnej liczby

zachodzi równość .

Na przykład

, ,

czyli

.

Przykład 5

Nie zawsze jest możliwe podanie takiej liczby, której druga lub trzecia potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej. Zastanówmy się, ile jest równy

. Zgodnie z pojęciem pierwiastka kwadratowego, jest to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy .

Szukaną liczbą nie jest

, ponieważ , ani , ponieważ .

Zatem

jest większy od i mniejszy od .

Spróbujmy dokładniej przybliżyć wartość

poprzez wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby. Obliczmy kwadraty liczb od do .

.

Ponieważ

.

Postępując podobnie, czyli obliczając kwadraty liczb od

do , otrzymamy:

.

Ponieważ

, to .

Obliczając kwadraty liczb od

do , otrzymamy:

.

Ponieważ

, to:

.

Postępując w podobny sposób, wyznaczymy kolejne cyfry po przecinku, które występują w rozwinięciu dziesiętnym liczby

.

Otrzymujemy

.

W rozwinięciu dziesiętnym liczby

nie powtarza się żadna grupa cyfr i jest ich nieskończenie wiele. Nie można zapisać liczby w postaci liczby wymiernej.

Zatem liczba

ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jest ona przykładem liczby niewymiernej. Jej wartość podawana jest najczęściej w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku i wynosi: .

Animacja przedstawia na kilku przykładach w jaki sposób możemy obliczać wartości pierwiastków z liczb wymiernych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RftzLeY528YNv

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne liczb na przykładzie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia na kilku przykładach w jaki sposób możemy obliczać wartości pierwiastków z liczb wymiernych.

Zapamiętaj!

Liczba niewymierna to liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka

, gdzie , są liczbami całkowitymi i .

Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Przykład 6

- Przykładami liczb, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe, są:

- Przykładami liczb niewymiernych są pierwiastki kwadratowe z liczb dodatnich, które nie są kwadratami liczb wymiernych i pierwiastki sześcienne z liczb, które nie są sześcianami liczb wymiernych. Na przykład:

, , , , , , , , , .

Do obliczeń stosuje się ich przybliżenia, najczęściej z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku, które otrzymujemy na przykład za pomocą kalkulatora.

.

Ćwiczenie 4

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Oblicz w pamięci, a następnie wpisz wyniki w pola poniżej w takiej samej kolejności.

- , , ,

,         ,         ,

- , , ,

,         ,         ,

- , , ,

,         ,         ,

- , , , ,

,         ,         ,         ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Oblicz w pamięci, a następnie wpisz wyniki w pola poniżej w takiej samej kolejności.

- , , ,

,         ,         ,

- , , ,

,         ,         ,

- , , ,

,         ,         ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Oblicz w pamięci pierwiastek i przyporządkuj mu prawidłowy wynik.

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Oblicz pierwiastki, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Oblicz, a następnie wpisz wyniki w pola poniżej w takiej samej kolejności.

- , , , ,

,         ,         ,         ,

- , , , ,

,         ,         ,         ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Które z podanych liczb są wymierne, a które niewymierne? Przeciągnij elementy do odpowiadających im grup.

liczby wymierne

liczby niewymierne

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Przenieś element.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Zaznacz wszystkie liczby niewymierne.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Uzupełnij nierówności, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Uzupełnij zdania liczbami tak, aby były prawdziwe.

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

- Bok kwadratu o polu ma długość          .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Oblicz i wstaw do tabeli długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa podanej wartości.

Objętość sześcianu

Długość krawędzi sześcianu

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Przeciągnij w to miejsce odpowiednie treści

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Pole powierzchni kwadratowego dywanu jest równe . Ile taśmy wykończeniowej należy kupić na obszycie brzegów tego dywanu? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

- Poziom 1:

- Poziom 2:

- Poziom 3:

- Poziom 4:

- Poziom 5:

- Poziom 6:

- Poziom 7:

- Poziom 8:

- Poziom 9:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Oblicz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Oblicz i wpisz wartość podanego wyrażenia arytmetycznego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.