Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Jak w obliczeniach wykorzystać związek między prędkością kątową a prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym?

Źródło: dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/diabelski-m%c5%82yn-jazda-3869397/ [dostęp 14.05.2022 r.], domena publiczna.

Czy to nie ciekawe?

Rozpatrując ruch po okręgu, często dysponujemy jednym z trzech parametrów: prędkością kątową, prędkością liniową lub przyspieszeniem dośrodkowym. W tym materiale wykorzystamy związek pomiędzy tymi wielkościami podczas analizy realnych zagadnień fizycznych.

Twoje cele

- poznasz relacje wiążące prędkość kątową z prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym;

- zastosujesz związek między prędkością kątową, liniową i przyspieszeniem dośrodkowym podczas rozwiązywania problemów fizycznych w ruchu po okręgu;

- wykorzystasz związek między prędkością kątową, prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym w zadaniach rachunkowych.

Przeczytaj

Warto przeczytać

Rys. 1. Derwisze obracający się podczas tańca.

Źródło: dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/derwisze-persie-islam-religia-4422194/ [dostęp 14.05.2022 r.], domena publiczna.

Prędkość kątowa

definiowana jest jako przyrost położenia kątowego w czasie .

Wykorzystując wielkość charakterystyczną dla ruchu po okręgu (Rys. 1.), jaką jest okres

definiujący czas pełnego obiegu ciała po okręgu, możemy zapisać prędkość kątową w postaci

gdzie

jest kątem pełnym wyrażonym w radianach. Zwróćmy uwagę, iż obustronne pomnożenie powyższego wyrażenia przez długość promienia okręgu , po którym porusza się ciało, skutkuje wyrażeniem w postaci:

Wyrażenie w liczniku po prawej stronie określa długość obwodu okręgu, wyrażoną w metrach. Podzielenie tej wielkości przez czas pełnego obiegu zawiera informację o średniej prędkości liniowej ciała w ruchu po okręgu. Związek pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową możemy zatem przedstawić w postaci

Jest to ważna informacja, ponieważ pozwala na określenie relacji wiążącej prędkość kątową z wartością przyspieszenia dośrodkowego

. Związek ten wyprowadzimy z definicji przyspieszenia dośrodkowego,

Wykorzystując związek pomiędzy prędkością kątową oraz liniową,

, możemy zapisać przyspieszenie dośrodkowe w postaci

Przeanalizujmy dwa przykłady, w których wykorzystamy związek między prędkością kątową, prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym do obliczeń.

Przykład 1.

Wyobraźmy sobie zegarek analogowy, na tarczy którego znajdują się dwie wskazówki: godzinowa i minutowa. Załóżmy, że wskazówka minutowa jest dwukrotnie dłuższa niż godzinowa. Przez

oznaczmy długość wskazówki godzinowej, przez – minutowej. Wyznaczmy stosunek prędkości liniowych punktów znajdujących się na końcach grotów wskazówek.

Dane:

– długość wskazówki godzinowej

– długość wskazówki minutowej

Szukane:

Rozwiązanie:

1. Wykonajmy rysunek pomocniczy (Rys. 2.):

Rys. 2. Długości wskazówek oraz ich prędkości kątowe.

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

2. Wyznaczmy prędkości kątowe wskazówek godzinowej i minutowej. Wartości prędkości kątowych poszczególnych wskazówek nie są podane wprost w treści zadania, ale wiemy, że

i

gdzie:

jest okresem wskazówki godzinowej, natomiast - okresem wskazówki minutowej.

3. Wyznaczmy prędkości liniowe punktów, znajdujących się na końcach grotów wskazówek. W tym celu wykorzystamy związek pomiędzy prędkością kątową i liniową,

Promienie konieczne do wyznaczenia prędkości liniowych stanowią w tym przypadku długości poszczególnych wskazówek, zatem:

4. Określmy stosunek prędkości liniowych, wykorzystując uzyskane zależności:

Ale z danych zadania wiemy, że

Wiemy również, jaki jest okres obiegu tarczy zegara przez wskazówkę godzinową i minutową,

zatem

Wykorzystując relacje między długościami wskazówek oraz pomiędzy długościami okresów, znajdujemy stosunek prędkości liniowych:

Odpowiedź: Szukany stosunek prędkości liniowych jest równy

.

Zwróćmy uwagę, że w treści zadania prędkości kątowe wskazówek nie zostały podane wprost, ale znaliśmy okres ich obiegu.

Przykład 2.

Satelita geostacjonarny to satelita krążący po orbicie kołowej wokół Ziemi w płaszczyźnie równika. Jego cechą charakterystyczną jest to, że stale znajduje się on nad tym samym punktem nad powierzchnią planety. Sprawia to, że jego prędkość kątowa (w ruchu wokół Ziemi) jest taka sama jak prędkość kątowa Ziemi w ruchu dobowym. Wyznaczmy przyspieszenie dośrodkowe satelity geostacjonarnego krążącego wokół Ziemi na wysokości

= 35 786 km nad równikiem.

Dane:

= 35 786 km – wysokość satelity geostacjonarnego nad równikiem.

Szukane:

1. Wykonajmy rysunek pomocniczy (Rys. 3.):

Rys. 3. Satelita geostacjonarny

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

2. Wyznaczmy prędkość kątową satelity geostacjonarnego. Wiemy, że

gdzie

jest okresem obiegu orbity przez satelitę geostacjonarnego (dokładniejsza wartość to 23 godziny 56 minut i 4 sekundy - dokładnie tyle, ile trwa doba gwiazdowa).

3. Określmy prędkość liniową, z jaką satelita porusza się po orbicie kołowej wokół Ziemi.

W tym celu wykorzystamy związek pomiędzy prędkością kątową i prędkością liniową:

Zwróćmy uwagę, że promień

w powyższym wzorze jest odległością pomiędzy satelitą a środkiem jego orbity kołowej, znajdującym się w środku Ziemi. Musimy zatem uwzględnić również promień Ziemi = 6400 km. W analizowanym przypadku prędkość liniowa, z jaką porusza się satelita geostacjonarny, wyrażona jest wzorem:

4. Wyznaczmy szukane przyspieszenie dośrodkowe.

Skorzystajmy z definicji przyspieszenia dośrodkowego:

Zamieńmy jednostki wszystkich wielkości, wykorzystywanych w końcowym wzorze, na jednostki podstawowe.

Podstawmy uzyskane wartości do wzoru:

Odpowiedź: wartość przyspieszenia dośrodkowego satelity geostacjonarnego, krążącego na wysokości 35 786 kilometrów nad powierzchnią Ziemi, wynosi

0,22 m/sIndeks górny 22.

Rozwiązując problemy fizyczne związane z relacjami wiążącymi prędkość kątową z prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym, pamiętajmy, by:

- jeżeli to możliwe, wykonać rysunek pomocniczy;

- zastanowić się, czy w zadaniu poruszony został przypadek charakterystyczny, który definiuje wartość prędkości kątowej; może to być np.: charakterystyczna długość okresu, częstotliwość wiążąca się z prędkością kątową relacją

; jeżeli tak nie jest, najczęściej wartość prędkości kątowej podana jest wprost;

- w obliczeniach wykorzystywać jednostki podstawowe układu SI.

Słowniczek

Prędkość kątowa

(ang. angular velocity) wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Prędkość liniowa

(ang. linear velocity) jest wektorem stycznym do okręgu w każdym punkcie chwilowego położenia ciała (ponieważ prędkość jest styczna do toru w każdym ruchu krzywoliniowym). Prędkości w każdym punkcie łuku mają jednakową wartość, ale jako wektory są różne.

Film samouczek

Jak w obliczeniach wykorzystać związek między prędkością kątową a prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym

Po obejrzeniu filmu będziesz w stanie przeanalizować sposób rozwiązania zadania, z zakresu ruchu po okręgu, z wykorzystaniem związku między prędkością kątową a prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym.

Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rc19jngoua8ju

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.

Polecenie 1

Odrzutowiec leci po prostoliniowym torze. W pewnej chwili skręca, przez chwilę poruszając się po łuku okręgu w płaszczyźnie poziomej. Promień łuku jest taki, że pilot i odrzutowiec doznają przyspieszenia o wartości 1 g w kierunku do środka kołowego toru. Co by się musiało stać, żeby pilot doznał przyspieszenia większego niż g?

Uzupełnij

Pokaż odpowiedź

Polecenie 2

Koło zamachowe o promieniu 20 cm obraca się z przyspieszeniem dośrodkowym 900 cm/sIndeks górny 22. Z jaką szybkością wirują punkty na obwodzie koła?

Uzupełnij

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wskaż prawidłowe wzory.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Ćwiczenie 2

Licznik rowerowy zmierzył prędkość jazdy roweru i wskazał 25km/h. Wyznacz okres obrotu kół roweru, jeśli są to koła o średnicy 24 cali? Wynik podaj z dokładnością do 0,1 Hz; do obliczeń przyjmij przybliżenie .

Odp.:                Hz

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Wyznacz prędkość liniową drewnianej kulki, która jest obracana na nitce o długości = 30 cm, z częstotliwością = 4 Hz. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 m/s.

Odp.:                m/s

Ćwiczenie 4

Motocyklista pokonuje ze stałą szybkością wiraż na torze żużlowym. Na którym wykresie poprawnie oddano przyrost położenia kątowego Δα w czasie Δt?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 5

Wyznacz wartość przyspieszenia dośrodkowego samochodu wyścigowego, jeżdżącego po torze w kształcie okręgu. Wiadomo, że w czasie t = 10 min samochód pokonuje n = 4 pełne okrążenia toru o promieniu R = 1 km. Wynik podaj z dokładnością od 0,01 m/sIndeks górny 2, przy założeniu że .

Odp.:                m/sIndeks górny 2

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Na skraju okrągłej tarczy o promieniu R = 60 cm znajduje się mrówka, nieruchoma względem tarczy. W pewnej chwili tarcza zaczyna się obracać wokół własnej osi symetrii. Wskutek tego mrówka porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, doznając przyspieszenia dośrodkowego, równego aIndeks dolny d = 2,4 m/sIndeks górny 2. Wyznacz prędkość kątową, z jaką obraca się tarcza.

Odp.:                rad/s

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Podczas treningu astronauci umieszczani są w wielkiej i szybko obracającej się karuzeli (wirówce). Długość ramienia takiej karuzeli wynosi R = 10 m. Przeciążenia, jakich doznają astronauci, osiągająwartość 5 g, gdzie g jest wartością przyspieszenia ziemskiego. Wyznacz maksymalną częstotliwość obrotu wirówki. Przyjmij . Wynik podaj z dokładnością do 0,01 Hz.

Odp.:                Hz

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Wyznacz wartość przyspieszenia dośrodkowego samolotulecącego ze stałą prędkością v = 800 km/h wzdłuż równika, w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu Ziemi. Wynik podaj z dokładnością do 0,001 m/sIndeks górny 2. Przyjmij długość promienia Ziemi R = 6400 km, oraz . Wysokość, na jakiej znajduje się samolot zaniedbaj, jest ona pomijalnie mała w stosunku do długości promienia Ziemi.

Odp.:                m/sIndeks górny 2

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 9

Wykres przedstawia zależność prędkości kątowej śmigła samolotu od czasu. Jego prędkość kątowa rozpoczyna się od wartości 30 rad/s i liniowo zmniejsza się do 0 rad/s w ciągu 5 sekund. Zinterpretuj takie nachylenie prostej.

Wykres przedstawia zależność prędkości kątowej śmigła samolotu daną w radianach na sekundę, od czasu w sekundach. Prędkość kątową na osi pionowej przedstawiono od zera do 45 co 5 radianów na sekundę. Czas na osi poziomej przedstawiono od zera do 5,5 co 0,5 sekundy. Wspomniana zależność oznaczona jest niebieskim odcinkiem od 30 radianów na sekundę dla czasu zero sekund, do zera radianów na sekundę dla czasu 5 sekund. Jest to zależność malejąca.

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Uzupełnij

Pokaż odpowiedź

Dla nauczyciela

Imię i nazwisko autora:

Bartłomiej Klus

Przedmiot:

Fizyka

Temat zajęć:

Powtórzenie z ruchu jednostajnego po okręgu

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.

Zakres rozszerzony

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:

4) przeprowadza obliczenia liczbowe posługując się kalkulatorem;

19) wyodrębnia zjawisko z kontekstu, nazywa je oraz wskazuje czynniki istotne i nieistotne dla jego przebiegu.

II. Mechanika. Uczeń:

9 ) stosuje do obliczeń związki między promieniem okręgu, prędkością kątową, prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. wskazuje relacje wiążące prędkość kątową z prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym;

2. analizuje sposoby wykorzystania związku między prędkością kątową a prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym do problemów fizycznych w ruchu po okręgu;

3. wykorzystuje związek między prędkością kątową a prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym w zadaniach rachunkowych.

Strategie nauczania:

IBSE (Inquiry-Based Science Education - nauczanie/uczenie się przez odkrywanie/dociekanie naukowe)

Metody nauczania:

burza mózgów, pokaz multimedialny, analiza pomysłów

Formy zajęć:

praca w grupach, praca indywidualna

Środki dydaktyczne:

film samouczek obrazujący związek między prędkościami kątową i liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym; zestaw zadań

Materiały pomocnicze:

e-materiał: „Jak w obliczeniach wykorzystać związek między prędkością kątową a prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym”

PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Wprowadzenie zgodnie z treścią w części pierwszej „Czy to nie ciekawe?”.

Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie wiadomości o parametrach w ruchu jednostajnym po okręgu. Nauczyciel zbiera informacje na temat stanu wiedzy uczniów i ewentualnie prostuje nieścisłości.

Uczniowie, z pomocą nauczyciela, zapoznają się z relacjami między prędkością kątową, prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym.

Faza realizacyjna:

Uczniowie zapoznają się z treścią e-materiału oraz samouczkiem.

Uczniowie w grupach rozwiązują zadania 1-7 z zestawu ćwiczeń. Nauczyciel pełni rolę doradcy, obserwuje pracę uczniów i w razie potrzeby udziela wskazówek i podpowiedzi.

Nauczyciel podsumowuje pracę grup, prosząc o krótkie relacje, by wszyscy uczniowie poznali obie zależności.

Faza podsumowująca:

Uczniowie odnoszą się do postawionych sobie celów lekcji, ustalają które osiągnęli, a które wymagają jeszcze pracy, jakiej i kiedy. W razie potrzeby nauczyciel dostarcza im informację zwrotną kształtującą.

Praca domowa:

Uczniowie utrwalają wiedzę i poszerzają rozumienie czytając tekst e-materiału i ponownie oglądając samouczek oraz rozwiązując zadanie 8 z zestawu ćwiczeń.

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium

Multimedium bazowe może zostać wykorzystane przez uczniów przed lekcją i stanowić podstawę do dyskusji - na lekcji - na temat związku między prędkością kątową, liniową i przyspieszeniem dośrodkowym.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela