Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Schemat interaktywny

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie przedstawia różnokolorowe wałki do włosów.

Objętość walca

Źródło: Alberto Bobbera, dostępny w internecie: www.unsplash.com, domena publiczna.

Wiele przedmiotów codziennego użytku ma kształt walca. W przepisach kulinarnych często odmierzamy odpowiednie ilości składników, używając do tego szklanki w kształcie walca. Właściwa ilość dodanych składników jest ściśle powiązana z objętością takiej szklanki. W materiale omówimy, jak obliczyć objętość walca. Bazując na wiedzy teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

- Określisz wzór na objętość walca.

- Obliczysz promień podstawy walca, gdy dana jest jego objętość oraz wysokość.

- Wyznaczysz wysokość walca, gdy dana jest jego objętość oraz promień podstawy.

- Wykorzystasz poznany wzór do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przeczytaj

Przypomnijmy definicję walca.

Definicja: Walec

Walcem nazywamy bryłę obrotową, która powstaje przez obrót prostokąta wokół osi zawierającej jeden z jego boków.

Już wiesz

Pole powierzchni całkowitej walca o promieniu podstawy i wysokości obliczamy ze wzoru

.

Objętość walca

Niech będzie długością promienia podstawy walca, a  jego wysokością.

Wówczas objętość walca obliczamy ze wzoru

.

Ponieważ podstawa walca jest kołem, zatem objętość walca obliczamy ze wzoru

.

Przykład 1

Wiadomo, że pole powierzchni całkowitej walca wynosi , a promień podstawy walca ma długość . Obliczymy objętość tego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Ponieważ promień podstawy walca  a pole powierzchni całkowitej walca obliczamy ze wzoru , to do wyznaczenia długości wysokości walca rozwiązujemy równanie:

, czyli .

Wobec tego objętość walca wynosi:

.

Przykład 2

Obliczymy, o ile procent zwiększyła się objętość walca, w którym promień podstawy oraz wysokość zwiększono o .

Rozwiązanie

Jeżeli jest długością promienia podstawy walca a  jego wysokością, to objętość walca wyraża się wzorem:

.

Jeżeli długości promienia podstawy oraz wysokości walca zwiększymy o , wówczas wielkości te będą wynosiły odpowiednio , oraz , .

Zatem objętość walca będzie wynosiła .

Wobec tego objętość walca zwiększyła się o:

.

Przykład 3

Śruba wykonana z mosiądzu ma kształt bryły przedstawionej na poniższym rysunku. Obliczymy masę tej śruby, jeżeli wiadomo, że stopu waży . W obliczeniach przyjmiemy, że .

Rozwiązanie

Zauważmy, że bryła z rysunku zbudowana jest z dwóch walców.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

– długość promienia mniejszego walca,

– długość promienia większego walca,

– długość wysokości mniejszego walca,

– długość wysokości większego walca.

Z rysunku odczytujemy, że:

,

,

,

.

Zatem objętość bryły wynosi:

.

Zatem masa tej śruby wynosi:

.

Przykład 4

Prostokąt o boku długości i przekątnej długości obracamy wokół osi przechodzącej przez środki dłuższych boków. Obliczymy objętość otrzymanego walca.

Rozwiązanie

Narysujmy prostokąt oraz otrzymany walec, jak na poniższych rysunkach.

Jeżeli przez oznaczymy długość drugiego boku prostokąta, to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

.

Jeżeli jest długością promienia podstawy walca, to , a wysokość walca .

Zatem objętość walca jest równa:

.

Przykład 5

Obliczymy objętość walca z poniższego rysunku.

Rozwiązanie

Z rysunku odczytujemy, że promień podstawy .

Do wyznaczenia długości wysokości wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:

.

Wobec tego objętość bryły z rysunku wynosi:

.

Słownik

walec

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta wokół osi zawierającej jeden z jego boków

objętość bryły

ilość sześcianów jednostkowych, jakimi można wypełnić daną bryłę

Schemat interaktywny

Polecenie 1

Zapoznaj się ze schematem interaktywnym, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

Schemat interaktywny umożliwia obserwacje zmiany wartości objętości całkowitej walca w zależności od wprowadzonego obwodu koła będącą podstawą walca oraz wysokości h lub wprowadzonej długości średnicy koła będącego podstawą walca oraz jego wysokości h. Przykład pierwszy gdy d równa się dwa oraz h równa się jeden to . Przykład drugi gdy L równa się 5, a gdy h równa się 4 to .

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DTtRtgN6sOtwiera się w nowym oknie

Polecenie 2

Oblicz objętość walca, otrzymanego w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku, jeżeli długości boków oraz przekątna tego prostokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy .

Pokaż rozwiązanie

Polecenie 3

Zbuduj algorytm obliczający objętość walca, mając dane:  – długość średnicy podstawy walca i  – długość wysokości walca lub  – obwód koła, które jest podstawą walca i  – długość wysokości walca.

Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Jeżeli objętość walca obliczamy ze wzoru , gdzie jest długością promienia podstawy walca, a  jego wysokością, to:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego walca. Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Objętość walca wynosi .

- Pole podstawy walca wynosi .

- Objętość walca wynosi .

- Pole podstawy walca wynosi .

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

Wiadomo, że średnica podstawy walca i wysokość walca pozostają w stosunku a iloczyn ich długości wynosi .

Promień podstawy walca jest równy    .

Wysokość walca ma długość    .

Pole podstawy walca wynosi    .

Objętość walca jest równa    .

Ćwiczenie 5

Na rysunkach i  przedstawiono walce.

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

Własności walca z rysunku :

Własności walca z rysunku :

Przenieś element.wysokość walca ma długość

Przenieś element.wysokość walca ma długość

Przenieś element.objętość walca wynosi

Przenieś element.objętość walca wynosi

Przenieś element.pole podstawy walca wynosi

Przenieś element.pole podstawy walca wynosi

Ćwiczenie 6

Z walca o promieniu podstawy wycięto walec o promieniu podstawy i tej samej wysokości, jak na rysunku. Oblicz objętość powstałej bryły.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

W sześcian o polu powierzchni całkowitej równym wpisano walec. Oblicz objętość tego walca.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Wyznacz promień podstawy walca o objętości równej , jeżeli powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Tomasz Wójtowicz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Objętość walca

Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

X. Stereometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- określa wzór na objętość walca;

- oblicza promień podstawy walca, gdy dana jest jego objętość oraz wysokość;

- wyznacza wysokość walca, gdy dana jest jego objętość oraz promień podstawy;

- wykorzystuje poznany wzór do rozwiązywania problemów matematycznych.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm;

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- dyskusja;

- praca z ekspertem;

- metoda krokodyla;

- liga zadaniowa;

- burza mózgów.

Formy pracy:

- praca indywidualna;

- praca w grupach;

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- zasoby multimedialne zawarte w e-materiale;

- tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda;

- komputery z dostępem do internetu dla uczniów.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel przedstawia uczniom temat zajęć: „Objętość walca” i ustala z nimi kryteria sukcesu.

2. Uczniowie metodą burzy mózgów przypominają pojęcia związane z tematem lekcji.

Faza realizacyjna:

1. Przed lekcją nauczyciel wyłania wśród uczniów ekspertów, którzy zapoznają się z materiałem zawartym w sekcji „Przeczytaj”. Na lekcji uczniowie pracują w grupach pod kierunkiem ekspertów. Eksperci proponują grupom rozwiązywanie zadań, które przygotowali w domu (zadania oparte na przykładach z sekcji „Przeczytaj”). W razie problemów – służą pomocą, wyjaśniają niezrozumiałe elementy.

2. Uczniowie zapoznają się indywidualnie z treścią sekcji „Schemat interaktywny”. Zapisują ewentualne pytania dotyczące napotkanych trudności, po czym następuje dyskusja, w trakcie której nauczyciel wyjaśnia niezrozumiałe elementy z materiału.

3. Uczniowie w kolejnym kroku rozwiązują samodzielnie ćwiczenia numer 1 i 2 w sekcji „Sprawdź się”. Po ustalonym czasie wybrani uczniowie przedstawiają odpowiedzi, a reszta klasy wspólnie ustosunkowuje się do nich. Nauczyciel w razie potrzeby koryguje odpowiedzi, dopowiada istotne informacje, udziela uczniom informacji zwrotnej.

4. Uczniowie rozwiązują indywidualnie ćwiczenia 3-5 na czas (od łatwiejszego do trudniejszych). Uczeń, który poprawnie rozwiąże ćwiczenie jako pierwszy, otrzymuje ocenę za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy i omawiane krok po kroku.

5. Uczniowie rozwiązują indywidualnie ćwiczenia nr 6, 7 i 8 w sekcji „Sprawdź się” metodą krokodyla. Krokodylem jest nauczyciel, który „czeka nieruchomo na brzegu rzeki” i „ożywia się” tylko w przypadku, gdy uczeń nie może sobie poradzić z zadaniem.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel omawia z uczniami ewentualne problemy z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Na koniec zajęć uczniowie rozwijają zdanie: Na dzisiejszych zajęciach nauczyłem się…

Praca domowa:

1. Uczniowie opracowują FAQ (minimum 3 pytania i odpowiedzi prezentujące przykład i rozwiązanie) do tematu lekcji („Objętość walca”).

Materiały pomocnicze:

- Bryły obrotowe - walecOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

- Nauczyciel może wykorzystać medium w sekcji „Schemat interaktywny” do pracy przed lekcją. Uczniowie zapoznają się z jego treścią i przygotowują do pracy na zajęciach w ten sposób, żeby móc samodzielnie rozwiązać zadania dotyczące obliczania objętości walca.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Schemat interaktywny

Sprawdź się

Dla nauczyciela