Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Grafika przedstawia tło składające się z ułożonych kolejno cyfr.

Ciąg geometryczny – zadania na dowodzenie

Źródło: Gerd Altmann z Pixabay, domena publiczna.

Legenda głosi, że pewnego razu chiński filozof Gongsun Long ( p.n.e) przekraczał granicę między dwoma chińskimi miastami. Celnicy zażądali od niego myta za białego konia, na którym podróżował.

Wówczas on przeprowadził wywód, w którym udowodnił, że biały koń nie jest koniem.

Bowiem słowo koń odnosi się do kształtu nazywanej rzeczy, natomiast słowo biały do jej koloru. Nazwa kształtu nie jest nazwą koloru, dlatego można powiedzieć, że biały koń nie jest koniem.

Czy to rozumowanie przekonało również Ciebie, że biały koń nie jest koniem?

Tak pokrętnie przeprowadzane dowody uchodzą niestety tylko filozofom, matematyczne dowody są bardziej sformalizowane.

W tym materiale zajmiemy się dowodami związanymi z ciągiem geometrycznym. W rozważaniach, które będziemy prowadzić odejdziemy trochę od ścisłych reguł obowiązujących w klasycznych dowodach (założenie – teza – dowód), na rzecz klarowności zapisów.

Twoje cele

- Wykorzystasz wiadomości na temat ciągów geometrycznych w zadaniach „na dowodzenie”.

- Przeanalizujesz treść zadania i dobierzesz odpowiedni model, związany z ciągiem geometrycznym, do rozwiązania zadania.

- Przeprowadzisz rozumowania, także kilkuetapowe, podasz argumenty uzasadniające poprawność rozumowania.

Przeczytaj

Dowód, to ścisłe uzasadnienie danego stwierdzenia, przebiegające zgodnie z ustalonymi regułami. Zdanie opisujące własności danych obiektów matematycznych może zostać uznane za twierdzenie, dopiero po przedstawieniu poprawnego dowodu.

W matematyce istnieje wiele rodzajów dowodów. My będziemy posługiwali się dowodem wprost. Prawdziwość tezy będziemy dowodzić bezpośrednio przez dedukcję, korzystając z przyjętych założeń. Kolejne formuły w dowodzie będą wynikały logicznie z poprzednich, albo będą zdaniami, które przyjmuje się za oczywiste (wynikające z przyjętych aksjomatów).

Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu geometrycznego, z których będziemy korzystać.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny

Wyraz ogólny ciągu

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu

Suma początkowych wyrazów ciągu

W pierwszym z dowodów wykorzystamy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego, ale również odwołamy się do własności działań na potęgach.

Przykład 1

Iloraz ciągu geometrycznego jest równy . Pierwszy wyraz ciągu jest różny od . Wykażemy, że każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego wyrazu, jest równy różnicy dwóch sąsiadujących z nim wyrazów.

Założenie:

– ciąg geometryczny

,

Teza:

Dowód:

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego.

Zapisujemy różnicę za pomocą uzyskanych wyrażeń.

Z prawej strony zapisanej równości wyłączamy wspólne czynniki przed nawias.

Wykonujemy potęgowanie w drugim nawiasie i zapisujemy uzyskane wyrażenie w najprostszej postaci.

Mnożymy potęgi o tych samych podstawach – dodajemy wykładniki.

Ponieważ , zatem:

c.n.d

Problemy, w których występują parametry, często są przedstawiane jako zadania „na dowodzenie”. Do ich rozwiązania potrzebne są z reguły wiadomości z różnych działów matematyki. W poniższym przykładzie wykorzystamy znajomość sposobów rozwiązywania układów równań.

Przykład 2

Dany jest układ równań z niewiadomymi , , .

Wykażemy, że istnieją dwie wartości parametru , dla których rozwiązania , , (w tej kolejności) tego układu równań tworzą ciąg geometryczny.

Sformułowanie założenia i tezy pozostawiamy Ci do samodzielnej pracy, my zaczniemy od dowodu.

Chcemy najpierw znaleźć rozwiązania danego układu równań, nawet gdy rozwiązania będą opisane za pomocą wyrażeń zawierających parametr .

W tym celu dodajemy stronami pierwsze i drugie równanie układu równań oraz pierwsze i trzecie, aby „wyeliminować” zmienną .

Mnożymy pierwsze równanie otrzymanego układu przez dwa i dodajemy stronami równania ukladu.

Uzyskaliśmy równanie z jedną niewiadomą – wyznaczamy .

Wyznaczone wyrażenie podstawiamy w miejsce do równania .

Powracamy do układu równań z trzema niewiadomymi – dołączając trzecie równie początkowego układu.

Obliczamy .

Rozwiązaniem początkowego układu równań są liczby:

, , .

O liczbach tych wiemy, że tworzą ciąg geometryczny. Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zapisujemy:

Mamy teraz do rozwiązania równanie kwadratowe z niewiadomą .

lub

Dla otrzymujemy: , , . Liczby te są kolejnymi wyrazami ciągu stałego, a taki ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .

Dla otrzymujemy , , . Liczby te są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy , a iloraz jest równy .

Zatem istnieją dwie wartości liczby ( i ), spełniające warunki zadania, co należało udowodnić.

Trzeci typ zadań „na dowodzenie” związany z ciągiem geometrycznym, to zadania polegające na udowodnieniu własności sumy kolejnych początkowych wyrazów ciągu.

Przykład 3

Dany jest skończony ciąg geometryczny taki, że i  dla .

Udowodnimy, że suma odwrotności wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa sumie jego wszystkich wyrazów podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu.

Założenie:

– ciąg geometryczny

i  dla

Teza:

Dowód:

Przekształcamy lewą stronę dowodzonej równości, zapisując każdy wyraz ciągu za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu.

Wyłączamy wspólny czynnik, czyli przed nawias.

Sprowadzamy ułamki w nawiasie do wspólnego mianownika.

Rozszerzamy ułamek zapisany w nawiasie przez – możemy tak postąpić, bo z założenia wynika, że .

W liczniku ułamka znajduje się suma kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, a w mianowniku wyraz .

Ostatnia równość dowodzi, że , co należało wykazać.

Teraz odwołamy się do wiadomości dotyczących nie tylko ciągu geometrycznego, ale też arytmetycznego.

Przykład 4

Liczby , , są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Udowodnimy, że liczby , , są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Założenie:

– ciąg geometryczny

Teza:

– ciąg arytmetyczny

Dowód:

Z własności ciągu geometrycznego wynika, że

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

Wyznaczamy .

Otrzymana równość oznacza, że liczba jest średnią arytmetyczną liczb i .

Dowodzi to, że ciąg jest arytmetyczny.

Ostatni przykład pokazuje związek ciągu geometrycznego z geometrią.

Przykład 5

Boki , , trójkąta i wysokość opuszczona na bok , tak jak na rysunku, tworzą ciąg geometryczny. Udowodnimy, że trójkąt jest prostokątny.

Założenie:

– ciąg geometryczny

, , ,

Teza:

Trójkąt jest prostokątny.

Dowód:

Z zależności między wyrazami ciągu geometrycznego wynika równość:

Czyli:

Mnożymy obie strony równości przez .

Lewa strona zapisanej równości opisuje pole trójkąta .

Pole tego trójkąta można też obliczyć w nieco inny sposób – znając długości jego dwóch boków i miarę kata między tymi bokami.

Oznaczmy przez miarę kąta . Wtedy

Porównujemy otrzymane wyrażenia.

Ponieważ

zatem .

Stąd wynika, że , czyli .

Trójkąt jest więc trójkątem prostokątnym, co należało wykazać.

Słownik

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Znajdziesz w niej przykład dowodu jednej z własności ciągu geometrycznego. Spróbuj najpierw samodzielnie udowodnić tę własność i porównaj z rozwiązaniem.

Slajd 1 z 5

Ilustracja pierwsza Udowodnimy twierdzenie. Treść twierdzenia. Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych od zera i nie jest ciągiem stałym, to ciąg określony wyrazem ogólnym jest ciągiem geometrycznym.

Przejdź do następnego slajdu

Polecenie 2

Wykaż, że jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym (, ) o wyrazach różnych od zera i nie jest ciągiem stałym oraz iloraz tego ciągu jest różny od , to ciąg określony wyrazem ogólnym jest ciągiem geometrycznym.

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Można wykazać, że jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych, dodatnich i ilorazie , to ciąg o wyrazie ogólnym , gdzie , jest ciągiem arytmetycznym.

Wtedy różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Twierdzenie:

Jeżeli dodatnie liczby , , (w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to .

W dowodzie tego twierdzenia, korzystamy z tego, że:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

Twierdzenie:

Jeżeli ciąg , gdzie i  o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym, to ciąg określony wzorem jest też ciągiem geometrycznym.

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:

Ciąg określony wzorem jest ciągiem geometrycznym to teza.

- W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:

Jeżeli ciąg , gdzie i  o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym to teza.

- W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:

Ciąg określony wzorem jest ciągiem geometrycznym to założenie.

- W powyższym twierdzeniu stwierdzenie:

Jeżeli ciąg , gdzie i  o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym to założenie.

Ćwiczenie 4

Twierdzenie: Jeżeli długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie , to .

Uzupełnij dowód powyższego twierdzenia, przeciągając odpowiednie znaki lub liczby.

Dowód:

Niech , , , gdzie     , będą długościami boków trójkąta.

Ponieważ , więc najdłuższy bok trójkąta ma długość    .

W trójkącie suma dwóch boków musi być większa od długości trzeciego boku. Aby ten warunek był spełniony, wystarczy sprawdzić, czy suma długości krótszych boków jest większa od długości boku najdłuższego.

Obie strony nierówności możemy podzielić przez     i znak nierówności nie zmieni się, bo     .

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.

Zatem

Ponieważ , stąd

Co należało wykazać.

Ćwiczenie 5

Dokończ twierdzenie, przeciągając między podane sumy odpowiedni znak: , lub .

Twierdzenie:

Jeżeli , , w tej kolejności są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego, o wyrazach różnych od zera, oznacza sumę kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu, to:

-

-

-

-

Ćwiczenie 6

Poukładaj wyrażenia tak, aby otrzymać twierdzenie prawdziwe.

- Poziom 1:Jeżeli długości

- Poziom 2:geometrycznego, długości boków

- Poziom 3:to miary kątów

- Poziom 4:trójkąta są równe

- Poziom 5:trójkąta są

- Poziom 6:kolejnymi wyrazami ciągu

- Poziom 7:boków trójkąta są

- Poziom 8:równe miarom kątów trójkąta .

- Poziom 9:długościom wysokości trójkąta ,

Ćwiczenie 7

Ciąg , gdzie jest kątem ostrym, tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że jeśli ciąg jest geometryczny i , , , są liczbami dodatnimi, to .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Ciąg geometryczny – zadania na dowodzenie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VI. Ciągi. Zakres podstawowy.

Uczeń:

6) stosuje wzór na –ty wyraz i na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;

7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

- kompetencje cyfrowe

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

- wykorzystuje wiadomości na temat ciągów geometrycznych w zadaniach „na dowodzenie”

- analizuje treść zadania i dobiera odpowiedni model, związany z ciągiem geometrycznym, do rozwiązania zadania

- prowadzi rozumowania, także kilkuetapowe, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania

Strategie nauczania:

- konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

- ocena ważona

- technika kruszenia

Formy pracy:

- praca w grupach

- praca w parach

- praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie techniką oceny ważonej przypominają sobie w parach poznane twierdzenia, wzory, definicje, własności związane z ciągiem geometrycznym. Ustalenia zamieszczają na hierarchicznym grafie, który powinien obrazować powiązania między informacjami.

2. Wybrany uczeń omawia efekty pracy swoje i osoby, z która pracował, pozostali uczniowie ewentualnie korygują wypowiedź lub przedstawiają inne pomysły.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w grupach techniką kruszenia, rozważając przykłady zapisane w sekcji „Przeczytaj”. Po przeczytaniu treści przykładu, ustalają z czego mogą wynikać problemy w rozwiązaniu danego zadania. Zastosowanie tej techniki pozwala na analizę danego problemu z innego punktu widzenia i ułatwia poszukiwanie alternatywnych rozwiązań. Po omówieniu w ten sposób zadania, uczniowie w każdym przypadku ustalają, co należy zrobić, aby wyeliminować trudności, które mogą się pojawić, co należy wiedzieć i jakie wzory zastosować. Następnie porównują swoje przypuszczenia z proponowanym rozwiązaniem.

2. Przykład pokazany w galerii zdjęć interaktywnych rozwiązują samodzielnie, a następnie porównują z rozwiązaniem zapisanym w galerii.

Faza podsumowująca:

1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup i par.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych.

Materiały pomocnicze:

Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanieOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Galerię zdjęć interaktywnych można wykorzystać, omawiając własności ciągu geometrycznego.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela