Spis treści

Długość odcinka. Środek odcinka

Materiał ten poświęcony jest długości i środkowi odcinka. Analizując zawarte tu przykłady, przypomnisz sobie podstawowe wzory oraz sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem.

Przykład 1

Oblicz długość odcinka

o końcach w punktach i .

Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych, a odcinek

jest jego przeciwprostokątną.

Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowiadających tym punktom.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości

i .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej

.

.

Przykład 2

Punkty

i  są końcami odcinka . Oblicz długość odcinka .

Animacja pokazuje w jaki sposób możemy obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R15EKCFCmQySS

atrapa:opis animacji

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja pokazuje w jaki sposób możemy obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych.

Zapamiętaj!

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długość odcinka

, którego końcami są punkty i  obliczamy ze wzoru

.

Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:

- gdy odcinek

jest równoległy do osi , wtedy

,

- gdy odcinek

jest równoległy do osi , wtedy

.

Środek odcinka

Przykład 3

Ola ma

wzrostu, a jej brat Marcin . Oblicz średni wzrost rodzeństwa.

Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb i , czyli

.

Na osi liczbowej liczba

jest jednakowo oddalona od obu liczb i .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.

Przykład 4

Punkty

i  są końcami odcinka . Wyznacz współrzędne środka odcinka .

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy wyznaczyć środek odcinka w układzie współrzędnych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1JMWtEg1KnYg

atrapa:opis animacji

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób możemy wyznaczyć środek odcinka w układzie współrzędnych.

Zapamiętaj!

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu

, który jest środkiem odcinka o końcach w punktach i  są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka .

.

Aplet pokazuje punkty A, B oraz punkt S. Należy tak ustawić punkt A, aby środkiem odcinka AB był punkt S. W dalszej części animacji dany jest punkt S i odcinek AB. Należy tak ustawić punkt S, aby był środkiem podanego odcinka AB. Współrzędne punktów zmieniają się.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P92hhwoi6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach

, i  jest równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.

.

Zauważ, że drugie współrzędne punktów

i  są równe , co oznacza, że odcinek jest równoległy do osi . Jego długość jest równa

.

Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór.

Wtedy:

.

Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.

Obwód trójkąta jest równy:

.

Przykład 6

Oblicz długość przekątnej prostokąta

o wierzchołkach w punktach:

, i . Wyznacz współrzędne wierzchołka .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna prostokąta

jest równa długości odcinka

.

Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie

, który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej jest również środkiem przekątnej .

Środek

przekątnej ma współrzędne

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech

.

jest środkiem odcinka , a zatem

,

i .

Wynika z tego, że

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka

w trójkącie o wierzchołkach w punktach

, , .

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.

Naprzeciw wierzchołka

leży bok , którego środek ma współrzędne

.

Środkowa poprowadzona z wierzchołka

leży na prostej i ma równanie .

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

,

a punkt

jest jej punktem przecięcia z osią . Wynika z tego, że .

Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka

ma postać:

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Punkty

i  są wierzchołkami rombu , a punkt jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.

Punkt

jest środkiem przekątnej , zatem

,

czyli

,

,

.

Podobnie obliczymy współrzędne punktu

.

,

,

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Punkt

jest środkiem odcinka . Znajdź brakujące współrzędne.

Animacja pokazuje odcinek AB w układzie współrzędnych oraz punkt S, który jest środkiem odcinka. Podane są współrzędne dwóch punktów A, B lub S. należy wyznaczyć współrzędne brakującego punktu. Współrzędne punktów zmieniają się.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P92hhwoi6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach i . Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- ,

Odpowiedź: Współrzędne to        .

- ,

Odpowiedź: Współrzędne to        .

- ,

Odpowiedź: Współrzędne to        .

- ,

Odpowiedź: Współrzędne to        .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Jeżeli znamy współrzędne środka okręgu oraz długość jego promienia , to możemy zapisać równanie okręgu następująco: . Dopasuj wzór do okręgu.

Jeżeli znamy współrzędne środka okręgu oraz długość jego promienia , to możemy zapisać równanie okręgu następująco: . Dopasuj wzór do okręgu.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Oblicz długość odcinka . Uzupełnij odpowiedź, przeciągając odpowiednie liczby.

Oblicz długość odcinka . Uzupełnij odpowiedź, przeciągając odpowiednie liczby.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Oblicz długość promienia okręgu. Uzupełnij odpowiedź, przeciągając odpowiednie liczby.

Oblicz długość promienia okręgu. Uzupełnij odpowiedź, przeciągając odpowiednie liczby.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Oblicz długości odpowiednich odcinków. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając odpowiednie liczby.

Oblicz długości odpowiednich odcinków. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając odpowiednie liczby.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Dopasuj wzór do środkowych odpowiednich trójkątów.

Dopasuj wzór do środkowych odpowiednich trójkątów.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Dopasuj przybliżoną wartość obwodów do odpowiednich trójkątów.

Dopasuj przybliżoną wartość obwodów do odpowiednich trójkątów.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1. , ,

Obwód trójkąta wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. , ,

Obwód trójkąta wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3. , ,

Obwód trójkąta wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 9

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta

poprowadzoną z wierzchołka .

1. Jaką postać ma równanie prostej zawierającej środkową trójkąta o wierzchołkach , , ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Jaką postać ma równanie prostej zawierającej środkową trójkąta o wierzchołkach , , ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3. Jaką postać ma równanie prostej zawierającej środkową trójkąta o wierzchołkach , , ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Jaką postać ma równanie prostej zawierającej środkową trójkąta o wierzchołkach , , ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 10

Punkty

, , są wierzchołkami prostokąta . Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz wyznacz współrzędne wierzchołka . Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

1. , ,

2. , ,

3. , ,

1. Przekątna    .

Współrzędne wierzchołka    ,    .

2. Przekątna    .

Współrzędne wierzchołka    ,    .

3. Przekątna    .

Współrzędne wierzchołka    ,    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 11

Sprawdź, czy trójkąt jest równoramienny. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- , ,

Odpowiedź:    ,    , Trójkąt     równoramienny.

- , ,

Odpowiedź:    ,    , Trójkąt     równoramienny.

- , ,

Odpowiedź:    ,    ,    , Trójkąt     równoramienny.

nie jest                                   jest     jest     nie jest

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 12

Przekątne równoległoboku

przecinają się w punkcie . Wyznacz współrzędne brakujących wierzchołków równoległoboku.

1. , ,

2. , ,

3. , ,

4. , ,

Uzupełnij równości, wpisując w luki odpowiednie liczby.

- ,                  ,         )

- ,                  ,         )

- ,                  ,         )

- ,                  ,         )

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 13

Dane są punkty: , , . Wyznacz równania prostych zawierających środkowe trójkąta . Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- prosta :    ,

- prosta :    ,

- prosta :    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 14

Sprawdź, czy trójkąt jest podobny do trójkąta , jeśli wierzchołki trójkątów mają współrzędne:

, , oraz , , . Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Trójkąty i      podobne.

nie są     są

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 15

Dane są punkty , oraz leżące na jednej prostej. Wyznacz wartość tak, aby . Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę.

Wartość wynosi         .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 16

Punkty , . Wyznacz takie wartości , dla których długość odcinka jest równa . Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź