Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Infografika

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia ustawione w wielu rzędach sześciany wykonane z betonu.

Bryły platońskie

Źródło: Christian Fregnan, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Platon

Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Niewiele osób wie, że Platon znany głównie jako grecki filozof, był też znakomitym matematykiem. Prawdopodobnie urodził się w  r. p.n.e. w Atenach, a zmarł w  r. p.n.e. Był uczniem Sokratesa przez lat. Później opuścił Ateny, by po latach podróżowania wraz z innymi uczniami Sokratesa powrócić i założyć Akademię Ateńską w gaju Akademosa. Na bramie szkoły widniał napis: „Kto nie zna geometrii, niech tu nie wchodzi”.

Platon uważał, że materię tworzą idealne całostki, które są figurami geometrycznymi. Najprostszą figurą jest trójkąt i to on tworzy materię. Trójkąty są także elementami ścian brył wielościanów. Z trójkątów równobocznych można utworzyć trzy bryły idealne – czworościan, ośmiościan, dwudziestościan, zaś dwa trójkąty złożone w  kwadrat utworzą ścianę sześcianu. Platon uważał, że bryły te odpowiadają czterem żywiołom: ogniowi, powietrzu, wodzie, ziemi. Piątym wielościanem foremnym jest dwunastościan, którego ścianami są pięciokąty foremne, symbolizujący według matematyka zespolenie wszystkich elementów.

W tym materiale dowiesz się, co to są bryły platońskie.

Twoje cele

- Poznasz własności brył platońskich.

- Poznasz ich cechy i charakterystykę.

- Rozwiążesz zadania dotyczące brył platońskich.

Przeczytaj

Bryły platońskie

Bryły platońskie (wielościany foremne) to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.

Z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne:

- tetraedr (czworościan foremny),

- oktaedr (ośmiościan foremny),

- ikosaedr (dwudziestościan foremny).

Czwartą bryłę reprezentuje heksaedr (sześcian), którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc też zbudowany z trójkątów.

Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z  pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.

1. czworościan foremny

tetraedrem opis alternatywny

trójkąty

Zasób oparty o element wizualny.

1

2

3

4

5

Dlaczego tylko pięć brył?

Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże, potrzebne są co najmniej trzy ściany a suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kąta pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju mają utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Omówmy po kolei wszystkie bryły.

Czworościan foremny

Czworościan foremny to taki ostrosłup, który ma w podstawie oraz ścianach bocznych trójkąty równoboczne.

Animacja przedstawia czworościan foremny, który rozkłada się z bryły do siatki. Siatka czworościanu składa się z czterech identycznych trójkątów równobocznych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfKmqFDm0Otwiera się w nowym oknie

Wzory:

- Wzór na pole powierzchni czworościanu foremnego

- Wzór na objętość czworościanu foremnego

- Wzór na wysokość czworościanu foremnego:

- Wzór na wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego

Sześcian

Sześcian to graniastosłup, który ma sześć ścian będących przystającymi kwadratami.

Animacja przedstawia sześcian, który rozkłada się z bryły do siatki. Siatka sześcianu składa się z sześciu kwadratów przystających.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfKmqFDm0Otwiera się w nowym oknie

Wzory:

- Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu

- Wzór na objętość sześcianu

Ośmiościan foremny

Ośmiościan foremny ma osiem ścian będących trójkątami równobocznymi.

Animacja przedstawia ośmiościan foremny, który rozkłada się z bryły do siatki. Siatka ośmiościany składa się z ośmiu identycznych trójkątów równobocznych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfKmqFDm0Otwiera się w nowym oknie

Wzory:

- Wzór na pole powierzchni całkowitej

- Wzór na objętość

Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny ma dwanaście ścian będących pięciokątami foremnymi.

Animacja przedstawia obracający się wokół własnej osi dwunastościan foremny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfKmqFDm0Otwiera się w nowym oknie

Siatka dwunastościanu foremnego

Wzory:

- Wzór na pole powierzchni całkowitej

- Wzór na objętość

Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny ma dwadzieścia ścian będących trójkątami równobocznymi.

Animacja przedstawia obracający się wokół własnej osi dwudziestościan foremny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfKmqFDm0Otwiera się w nowym oknie

Siatka dwudziestościanu foremnego

Wzory:

- Wzór na pole powierzchni całkowitej

- Wzór na objętość

Przykład 1

Uzupełnijmy w tabeli dane dotyczące wielościanów foremnych. Sprawdźmy, czy dla każdego z tych wielościanów spełniony jest wzór Eulera: , gdzie  oznacza liczbę ścian,  - liczbę krawędzi,  - liczbę wierzchołków.

Wielościan foremny

Liczba ścian

Liczba krawędzi

Liczba wierzchołków

Czworościan

Sześcian

Ośmiościan

Dwunastościan

Dwudziestościan

Zobacz rozwiązanie

Sprawdźmy wzór Eulera dla każdej bryły z osobna.

Czworościan: .

Sześcian: .

Ośmiościan: .

Dwunastościan: .

Dwudziestościan: .

Zatem wzór Eulera zachodzi dla każdej bryły platońskiej.

Przykład 2

Pole powierzchni dwunastościanu foremnego jest równe . Obliczmy sumę długości wszystkich krawędzi tego wielościanu.

Rozwiązanie

Suma długości krawędzi wynosi więc:

.

Przykład 3

Stosunek długości krawędzi dwudziestościanu foremnego do długości krawędzi dwunastościanu foremnego jest równy . Obliczmy, który z wielościanów ma większą objętość?

Rozwiązanie

Niech – długość krawędzi dwudziestościanu foremnego, – długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

Wówczas , czyli .

Zatem objętość dwudziestościanu foremnego wynosi:

.

Dwunastościan foremny ma objętość równą:

.

Porównajmy te dwie objętości:

.

Objętość dwudziestościanu foremnego jest większa od objętości dwunastościanu foremnego.

Przykład 4

Przekątna sześcianu jest o  dłuższa od przekątnej ściany tego sześcianu. Obliczmy długość krawędzi i objętość sześcianu.

Rozwiązanie

Oznaczmy  jako długość krawędzi sześcianu. Wówczas przekątna ściany ma długość , a przekątna sześcianu - . Powstaje więc równanie:

.

Usuńmy niewymierność z mianownika:

.

Obliczmy objętość naszego sześcianu:

.

Przykład 5

Obliczmy stosunek objętości przedstawionego na rysunku czworościanu foremnego do opisanego na nim sześcianu.

Rozwiązanie

Oznaczmy jako długość krawędzi sześcianu. Wówczas długość krawędzi czworościanu ma długość (przekątna ściany sześcianu).

Objętość czworościanu wynosi więc:

.

Objętość sześcianu wynosi . Zatem stosunek objętości czworościanu foremnego do opisanego na nim sześcianu wynosi .

Słownik

wielościan

bryła geometryczna ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów. Każdy wielościan utworzony jest ze ścian – wielokątów, które razem tworzą powierzchnię wielościanu

figury przystające

wszystkie figury, które mają taką samą liczbą boków o takiej samej długości oraz kąty między tymi bokami mające takie same wartości; figury przystające mają więc takie samo pole powierzchni i idealnie się na siebie nakładają

Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą infografiką, która przedstawia wzory na promienie kul wpisanych i opisanych na wielościanach foremnych. Następnie wykonaj poniższe ćwiczenia.

Grafika przedstawia pięć wielościanów foremnych. W każdy wielościan foremny można wpisać kulę i na każdym wielościanie foremnym można opisać kulę. Pierwszym wielościanem jest czworościan foremny. W Czworościanie promień kuli wpisanej wynosi

, natomiast promień kuli opisanej opisano wzorem

. Kolejnym wielościanem jest sześcian. W tym przypadku promień kuli wpisanej wynosi

Natomiast promień kuli opisanej

. Następny jest ośmiościan , w tym przypadku promień kuli wpisanej to

a promień kuli opisanej to

. Kolejnym wielościanem jest dwunastościan. Promień kuli wpisanej ma wzór

Promień kuli opisanej ma wzór

. Jako ostatni pozostał dwudziestościan. Promień kuli wpisanej ma wzór

. Z kolei promień kuli opisanej ma wzór

.

Zasób oparty o element wizualny.

1

2

3

4

5

6

Polecenie 2

Oblicz długość promienia kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym, którego suma krawędzi wynosi . Oblicz pole powierzchni tej kuli.

Pokaż rozwiązanie

Polecenie 3

Oblicz, ile razy pole powierzchni kuli opisanej na dwunastościanie foremnym o krawędzi długości  jest większe od pola kuli wpisanej w tę bryłę.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.

O dwunastościanie można powiedzieć, że:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- ma krawędzi i  wierzchołków.

- suma jego wierzchołków i ścian jest równa sumie krawędzi.

- krawędzi jest o  więcej niż wierzchołków.

Ćwiczenie 2

Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.

Dwudziestościan foremny ma:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- o wierzchołki więcej niż ścian.

- wierzchołków.

- o krawędzi więcej niż ścian.

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłową odpowiedź w puste miejsca.

- Pole powierzchni ośmiościanu foremnego o krawędzi długości wynosi    .

- Objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi długości wynosi    .

Określ poprawność poniższego zdania.

- Liczba krawędzi ośmiościanu foremnego jest o  większa od liczby jego wierzchołków.

Fałsz               Prawda

Ćwiczenie 4

Ściany wielościanu foremnego malujemy w ten sposób, aby żadne dwie ściany mające wspólną krawędź nie były tego samego koloru. Jakiej najmniejszej liczby kolorów należy użyć do pomalowania poszczególnych wielościanów? Połącz w pary nazwę bryły z odpowiednią liczbą.

czworościan foremny

Połączony z: czworościan foremny

sześcian

Połączony z: sześcian

ośmiościan foremny

Połączony z: ośmiościan foremny

Ćwiczenie 5

Promień kuli opisanej na czworościanie foremnym ma długość . Połącz w pary poniższe opisy wielkości z odpowiednimi wynikami.

długość promienia kuli wpisanej w czworościan foremny

Połączony z: długość promienia kuli wpisanej w czworościan foremny

pole czworościanu foremnego

Połączony z: pole czworościanu foremnego

objętość czworościanu foremnego

Połączony z: objętość czworościanu foremnego

Ćwiczenie 6

Objętość sześcianu wynosi .

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.

Prawda

Fałsz

Promień kuli wpisanej w sześcian jest większy od promienia kuli opisanej na nim o .

Promień kuli opisanej na sześcianie ma długość .

Objętość kuli wpisanej w sześcian wynosi .

Objętość kuli opisanej na sześcianie jest ok. razy większa od objętości kuli wpisanej w ten sześcian.

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni czworościanu foremnego jest cztery razy większe od pola powierzchni ośmiościanu foremnego. Oblicz stosunek objętości tych wielościanów.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Dwa czworościany foremne tej samej wielkości połączono podstawami i w ten sposób otrzymano wielościan o sześciu ścianach. Oblicz objętość bryły, jeśli pole jednego czworościanu wynosi .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Grażyna Kiełczykowska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Bryły platońskie

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria. Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje cyfrowe.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- opisuje własności brył platońskich,

- definiuje ich cechy i charakterystykę,

- rozwiązuje zadania dotyczące brył platońskich.

Strategie i metody nauczania:

- konstruktywizm,

- dyskusja,

- rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych.

Formy zajęć:

- praca indywidualna,

- praca w grupach,

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda grupa uczniów miała do dyspozycji komputer, najlepiej w pracowni komputerowej. Lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wprowadzająca:

1. Nauczyciel pokazuje uczniom modele brył platońskich.

2. Nauczyciel prosi o scharakteryzowanie tych brył, podanie cech wspólnych.

3. Nauczyciel prosi o zastanowienie się, jak policzyć pola tych brył.

4. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi uczniów, aby z przygotowanych wcześniej siatek stworzyli bryły platońskie i zastanowili się, jak będą wyglądały kule wpisane i opisane na tych bryłach.

2. Nauczyciel prosi, aby uczniowie otworzyli medium, w którym przedstawione są wzory na promienie tych kul. Prosi uczniów o rozwiązanie zadań pod medium. Uczniowie pracują w parach. Następnie wspólnie z nauczycielem omawiają wynik.

3. Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne nr 3-8 z sekcji „Sprawdź się”. Następnie napotkane problemy omawiane są na forum klasy.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca uczniom wykonać ćwiczenia interaktywne nr 1-2 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

Bryły platońskieOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania multimedium:

Infografika może posłużyć jako materiał powtórzeniowy przed sprawdzianem.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Infografika

Sprawdź się

Dla nauczyciela