Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Na fotografii przedstawiono wysokie budynki w kształcie graniastosłupów i czworościanów,

Siatka i pole powierzchni czworościanu foremnego

Źródło: Kevin Bergen, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

Nazwisko Alexandra Grahama Bella, szkockiego naukowca, jest nam dobrze znane w związku z jego wynalazkiem – telefonem. Był on jednak zafascynowany również czworościanami, z których budował latawce. Miały one nie tylko estetyczny wymiar, ale również praktyczny. Ich wielkość była na tyle duża, że mogły pomieścić człowieka i silnik. Jeden z latawców, nazwany Cygnet, zbudowany był z aż czworościanów.

Twoje cele

- Narysujesz siatkę czworościanu foremnego.

- Wyznaczysz pole powierzchni czworościanu foremnego.

Przeczytaj

Czworościan foremny jest bryłą – figurą przestrzenną. Siatka wielościanu, tutaj czworościanu, po rozcięciu jego niektórych krawędzi daje nam spójny obraz tej bryły na płaszczyźnie. I w drugą stronę, możemy z płaskiego materiału stworzyć bryłę sklejając jej odpowiednie brzegi. W komunikacji posługujemy się głównie obrazem, płaskim przedstawieniem obiektów. Dlatego siatka pozwala nam obejrzeć wszystkie ściany bryły „jednym rzutem oka”.

Rozróżniamy tylko dwa kształty siatek czworościanu foremnego: jedna w postaci trójkąta równobocznego, a druga w postaci równoległoboku.

Pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości możemy obliczyć mnożąc pole powierzchni trójkąta równobocznego o boku przez liczbę ścian czworościanu, czyli :

.

Przykład 1

Pole siatki czworościanu foremnego wynosi . Znajdź długość krawędzi tego czworościanu.

Rozwiązanie:

Pole siatki czworościanu .

Na siatkę składają się trójkąty równoboczne, stąd pole jednej ściany czworościanu foremnego wynosi .

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: .

Długość krawędzi czworościanu wynosi zatem .

Przykład 2

Wysokość trójkąta równobocznego stanowiącego siatkę czworościanu foremnego ma długość . Wyznacz pole podstawy czworościanu foremnego.

Rozwiązanie:

Wysokość trójkąta równobocznego stanowiącego siatkę czworościanu foremnego stanowi dwie długości wysokości ściany czworościanu foremnego, trójkąta równobocznego będącego również podstawą czworościanu.

Zatem wysokość podstawy czworościanu wynosi .

Ponieważ , to długość boku trójkąta równobocznego .

Zatem pole podstawy czworościanu foremnego .

Przykład 3

Sebastian wykonał z papieru kartonowego model czworościanu foremnego dla swojej siostry Zuzi. Siostrze bardzo spodobała się bryła i poprosiła brata, aby następnego dnia wykonał większy model. Sebastian postanowił zwiększyć długość krawędzi modelu czworościanu o . Oblicz, o ile procent zwiększy się pole powierzchni siatki czworościanu, który wykona chłopiec.

Rozwiązanie:

Niech oznacza długość krawędzi czworościanu mniejszego, a  pole siatki tego czworościanu.

Po zwiększeniu długości krawędzi o  długość krawędzi czworościanu będzie wynosiła , a jego pole .

Wyznaczmy o ile zwiększy się pole: , czyli pole siatki czworościanu zwiększy się o .

Przykład 4

Czworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną ściany tego sześcianu. Wyznacz stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni czworościanu.

Rozwiązanie:

Pole powierzchni sześcianu wynosi .

Ponieważ krawędź czworościanu jest przekątną ściany sześcianu, to długość krawędzi czworościanu równa jest .

Pole powierzchni czworościanu foremnego wynosi .

Stąd stosunek pola powierzchni sześcianu do pola powierzchni czworościanu foremnego wynosi .

Przykład 5

Z czterech czworościanów foremnych zbudowano większy czworościan foremny w ten sposób, że na trzech małych czworościanach foremnych postawiono czwarty. Wysokość tak otrzymanej bryły wynosi . Wewnętrzne strony pomalowano na kolor zielony, zaś zewnętrzne na kolor niebieski. Podstawa została niepomalowana. Oblicz pole powierzchni pomalowanej na kolor zielony i pole powierzchni pomalowanej na kolor niebieski.

Rozwiązanie:

Wysokość małego czworościanu stanowi połowę wysokości otrzymanej bryły, czyli .

Korzystając ze wzoru na wysokość czworościanu foremnego . Stąd .

Na kolor zielony pomalowano ściany, a na kolor niebieski  ścian.

Pole powierzchni jednej ściany wynosi .

Otrzymujemy zatem – pole powierzchni pomalowanej na zielono: , zaś pole powierzchni pomalowanej na niebiesko: .

Słownik

siatka czworościanu

figura płaska, powstająca w wyniku rozcięcia wielościanu wzdłuż pewnych krawędzi i rozłożenia ścian na płaszczyźnie

wysokość czworościanu foremnego

obliczamy ze wzoru:

Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji 3D, a następnie wykonaj polecenie 2.

Film przybliżający zagadnienie powierzchni czworościanu foremnego.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfPfxI2vGOtwiera się w nowym oknie

Film przybliżający zagadnienie powierzchni czworościanu foremnego.

Polecenie 2

Przeciągając prawidłowe wyrazy w odpowiednie miejsca zbuduj warunek istnienia czworościanu analogiczne do warunku istnienia trójkąta.

Aby zbudować z     czworościan, każdy     powinien mieć     mniejsze od     pozostałych trójkątów.

czworościan     trójkątów     czterech trójkątów     pole powierzchni     różnicy pól powierzchni     sumy pól powierzchni     trójkąt

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Która z zaproponowanych figur jest siatką czworościanu foremnego? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Ćwiczenie 2

Trójkąt równoboczny o boku jest siatką czworościanu foremnego. Wysokość ściany czworościanu foremnego ma długość:

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pole powierzchni czworościanu foremnego o boku długości obliczamy ze wzoru:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 4

Połącz parami: pole siatki czworościanu foremnego i długość krawędzi czworościanu zbudowanego z tej siatki.

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Ćwiczenie 5

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego jest równe . Oblicz długość krawędzi bryły.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

W czworościan foremny o krawędzi długości  wpisano kulę. Oblicz stosunek powierzchni czworościanu do powierzchni tej kuli.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości . Jak zmieni się jego pole powierzchni całkowitej, jeżeli długość krawędzi zostanie zmniejszona czterokrotnie? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Pozostanie takie samo.

- Zmaleje czterokrotnie.

- Zmaleje szesnastokrotnie.

- Zmniejszy się o połowę.

Ćwiczenie 8

Na czworościanie foremnym o krawędzi długości  opisano kulę. Oblicz stosunek powierzchni czworościanu do powierzchni tej kuli.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Beata Kuna

Przedmiot: Matematyka

Temat: Siatka i pole powierzchni czworościanu foremnego

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria. Zakres podstawowy.

Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się,

- kompetencje obywatelskie.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- rysuje siatkę czworościanu foremnego;

- wyznacza pole powierzchni siatki czworościanu foremnego;

- znajduje relację pola powierzchni czworościanu foremnego do powierzchni innych brył, jak sfery wpisanej w czworościan foremny, czy sfery opisanej na czworościanie foremnym.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm;

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- rozmowa kierowana;

- dyskusja.

Formy pracy:

- praca indywidualna;

- praca całego zespołu klasowego;

- praca w grupach.

Środki dydaktyczne:

- komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

- zasoby multimedialne zawarte w e–materiale;

- tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Lekcja jest bardzo dobrą okazją do wykorzystania klocków konstrukcyjnych, z których buduje się figury i bryły – tutaj trójkąty równoboczne i czworościany foremne. W prosty sposób można pokazać siatki czworościanu foremnego.

2. Następnie wraz z uczniami określa cele i kryteria sukcesu.

3. Nauczyciel prosi uczniów, aby zgłaszali swoje propozycje pytań do wspomnianego tematu. Jedna osoba może zapisywać je na tablicy. Gdy uczniowie wyczerpią pomysły, a pozostały jakieś ważne kwestie do poruszenia, nauczyciel je dopowiada.

Faza realizacyjna:

1. Przykład 1 uczniowie wykonają prawdopodobnie w pamięci.

2. Przykład 2 i Przykład 3 mogą ochotnicy rozwiązać przy tablicy.

3. W Przykładzie 4 dla przypomnienia pojawia się wysokość czworościanu foremnego.

4. Przykład 5 ma na celu przypomnienie relacji między polami powierzchni figur podobnych.

5. Przykład 6 jest bardzo prosty. Nauczyciel prosi ucznia do tablicy. Warto tutaj wziąć słabszego ucznia i pokierować go w rozwiązywaniu przykładu.

6. Przykład 7 jest związany z piramidą Sierpińskiego. W tym zagadnieniu można podzielić klasę na grupy i poprosić o zbudowanie takich piramid wykorzystując klocki konstrukcyjne. Można następnie zbudować dużą piramidę, wykorzystując klocki wszystkich grup.

7. Uczniowie pozostają w grupach i rozwiązują ćwiczenia 1-4 z sekcji „Sprawdź się”.

Faza podsumowująca:

- Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem przykładów i ćwićzeń, które pojawiły się na lekcji.

Praca domowa:

- Uczniowie wykonują ćwiczenia 5-8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

- Pole powierzchni ostrosłupaOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

- Polecenia związane z animacją 3D można wykorzystać jako materiał, służący powtórzeniu materiału w temacie „Siatka i pole powierzchni czworościanu foremnego” lub przygotowania do matury.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela