Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Aplet

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia budynek złożony z sześciennych pokojów.

Kąty między odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym

Źródło: Richard Ciraulo, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

Rozejrzyj się po pokoju, w którym się znajdujesz. Czy jest w kształcie graniastosłupa czworokątnego? Jeżeli tak, to wyobraź sobie przekątną jednej ściany i spójrz na krawędź sufitu leżącą na sąsiedniej ścianie, z którą ta przekątna ma wspólny róg. Jaki kąt jest pomiędzy tymi dwoma odcinkami? Prosty? Ostry? A może rozwarty?  Przyjrzyj się też przekątnym dwóch sąsiednich ścian, które schodzą się we wspólnym rogu. Jaki jest kąt między tymi przekątnymi? Zapewne widzisz już wiele różnych kątów między odcinkami, które otaczają cię w pokoju. W tym materiale będziemy je szczegółowo badać.

Twoje cele

- Wskażesz kąty między odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym.

- Wyznaczysz miarę kąta między wskazanymi odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym.

- Wykorzystasz wiedzę z trygonometrii i planimetrii do rozwiązywania zadań ze stereometrii.

Przeczytaj

Na początku przypomnijmy wiadomości dotyczące graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

Definicja: graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to taki graniastosłup prosty, który ma w podstawie czworokąt foremny, czyli kwadrat.

Wzory

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o długości krawędzi podstawy  i krawędzi bocznej . Wtedy:

- długość przekątnej podstawy ,

- długość przekątnej graniastosłupa ,

- suma długości wszystkich krawędzi w graniastosłupie .

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Na rysunku zaznaczono przekątną B H o długości d oraz przekątną podstawy B D o długości a pierwiastków z dwóch. Odcinek A B ma długość a. Ilustracją można swobodnie obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCZXm8WwGOtwiera się w nowym oknie

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

Przykład 1

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego a przekątną podstawy wiedząc, że długość krawędzi podstawy wynosi , a długość krawędzi bocznej jest równa .

Rozwiązanie

Przekątna podstawy ma długość , zatem

Kąt jest ostry i , więc .

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną

Kąt ten również można znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych:

Przykład 2

Wiedząc, że kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego a krawędzią boczną jest równy , a iloczyn długości krawędzi podstawy i krawędzi bocznej wynosi , wyznaczymy długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przez oznaczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa, natomiast przez długość krawędzi bocznej. Wtedy, korzystając z trygonometrii w trójkącie prostokątnym , otrzymujemy:

Zapisując informację dotyczącą iloczynu, mamy:

Długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa to .

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

Przykład 3

Obliczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że jego krawędź boczna ma długość , a kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy jest równy .

Rozwiązanie

Z tw. Pitagorasa w trójkącie wynika, że , zatem .

Korzystając z funkcji trygonometrycznej w trójkącie otrzymujemy:

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej

Kąt ten można znaleźć w trójkącie prostokątnym i wyznaczyć z wartości jednej z funkcji trygonometrycznych:

Przykład 4

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym dany jest kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Wyznaczymy tangens kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej w zależności od kąta .

Rozwiązanie

Przez oznaczamy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. Wtedy przekątna podstawy ma długość . Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie otrzymujemy:

i przekształcając uzależniamy długość krawędzi bocznej graniastosłupa od i :

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie wyznaczamy długość przekątnej :

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie wyznaczamy szukaną wartość:

.

Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka

W przeciwieństwie do wyżej opisanych kątów, kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym nie umieścimy w trójkącie prostokątnym, którego bokami byłyby odcinki leżące na ścianach graniastosłupa. Znajdziemy go natomiast w trójkącie równoramiennym . Trygonometrię w trójkącie dowolnym możemy stosować przy użyciu twierdzenia cosinusów.

Oznaczając przez długość krawędzi podstawy, natomiast przez długość krawędzi bocznej, otrzymujemy z tw. Pitagorasa . Podstawiając do tw. cosinusów mamy:

Zauważmy, że , a więc bez względu na wymiary graniastosłupa, kąt będzie zawsze kątem ostrym.

Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym dany jest kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych taki, że . Wiedząc, że krawędź boczna graniastosłupa ma długość , obliczymy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Najpierw, znając , przy pomocy jedynki trygonometrycznej wyznaczamy :

Korzystając z tw. cosinusów w trójkącie otrzymujemy:

Korzystając z tw. Pitagorasa w trójkącie otrzymujemy:

Kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącymi z jednego wierzchołka

Kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej występuje w trójkącie równoramiennym . Możemy więc, podobnie jak przy kącie między przekątnymi sąsiednich boków, korzystać z tw. cosinusów. Jednocześnie kąt występuje w trójkącie prostokątnym , gdzie jest punktem przecięcia przekątnych podstawy, który jednocześnie je połowi. Mamy więc do dyspozycji funkcje trygonometryczne:

Słownik

graniastosłup prosty

to graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami

twierdzenie Pitagorasa

jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej

twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi

jedynka trygonometryczna

to tożsamość trygonometryczna mówiąca, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa ; dla dowolnego kąta zachodzi:

Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem, a następnie rozwiąż polecenia 2 i 3.

Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny A B C D E F G H, gdzie wierzchołek F znajduje się nad wierzchołkiem A, wierzchołek E nad B, wierzchołek G nad C oraz wierzchołek H nad D. Slajd pierwszy, zaznaczono wszystkie przekątne bryły, A G, B H, C E, D F. Wszystkie mają długość i przecinają się w punkcie P. Slajd drugi, poprowadzono dwie przekątne B H i A H, przecinające się w punkcie P. Obie przekątne tworzą kąt alfa. Krawędź podstawy ma długość cztery natomiast krawędź boczna ma długość sześć. Slajd trzeci, rysunek z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A B G H. Obie te przekątne leżą w płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A B G H i wyznaczają prostokąt. Slajd czwarty, rysunek z poprzedniego slajdu. Obliczamy długość przekątnej graniastosłupa. . Slajd piąty, rysunek z poprzedniego slajdu, W trójkącie równoramiennym P G H o bokach pierwiastek z siedemnastu, pierwiastek z siedemnastu, cztery, zapisujemy twierdzenie cosinusów, a następnie wyznaczamy wartość cos alfa. Slajd szósty, rysunek z poprzedniego slajdu, , , , . Slajd siódmy, ilustracja ze slajdu drugiego, z tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać przybliżoną wartość kąta alfa. Najbardziej zbliżona wartość do naszego cosinusa to , a więc alfa równa się pięćdziesiąt osiem stopni. Slajd ósmy, ilustracja z pierwszego slajdu, W związku z tym, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat, taki sam kąt występuje pomiędzy każdą parą przekątnych wychodzących z sąsiednich wierzchołków, a więc B H i C E, C E i D F, D F i A G. Slajd dziewiąty, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono kąt beta pomiędzy przekątnymi E C i A G. Drugim przypadkiem jest kąt beta pomiędzy przekątnymi wychodzącymi z przeciwległych wierzchołków podstawy, na przykład A G i C E. Slajd dziesiątym, ilustracja z poprzedniego slajdu, zaznaczono płaszczyznę A E G C. Obie przekątne leżą na płaszczyźnie wyznaczonej przez wierzchołki A E G C i są przekątnymi prostokąta A E G C. Jednym z jego wymiarów jest długość przekątnej podstawy A C, czyli cztery pierwiastki z dwóch. Slajd jedenasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, z wcześniejszych obliczeń wiemy, że długość przekątnej graniastosłupa d jest równa dwa pierwiastki z siedemnastu. Wykorzystamy twierdzenie cosinusów w trójkącie P G E. Slajd dwunasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, , , , . Slajd trzynasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy wartość najbliższą obliczonej i odczytujemy miarę kąta beta. Beta równa się osiemdziesiąt siedem stopni. Slajd czternasty, ilustracja z poprzedniego slajdu, taki sam kąt występuje pomiędzy drugą parą przekątnych B H i D F.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DqqZOOrTwOtwiera się w nowym oknie

Polecenie 2

Oblicz cosinus kąta pomiędzy przekątnymi i  graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że w podstawie jest kwadrat o polu , a suma długości wszystkich krawędzi wynosi .

Pokaż rozwiązanie

Polecenie 3

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątne i  przecinają się pod kątem takim, że . Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi . Oblicz długość krawędzi podstawy.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy wynosi , a krawędzi bocznej . Cosinus kąta między przekątną tego graniastosłupa a krawędzią boczną wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

W sześcianie oznacza miarę kąta pomiędzy przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Ćwiczenie 4

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy z przekątną podstawy kąt . Krawędzi podstawy ma długość . Zatem długość przekątnej tego graniastosłupa to:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 5

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości tworzy z krawędzią podstawy kąt taki, że . Oblicz długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 6

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy długości kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzących z tego samego wierzchołka ma miarę . Suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 7

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest dwa razy dłuższa od krawędzi bocznej. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną ściany bocznej a przekątną podstawy wychodzącymi z jednego wierzchołka.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt . Oblicz cosinus kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka.

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Dla nauczyciela

Autor: Bartłomiej Cymbalista

Przedmiot: Matematyka

Temat: Kąt między odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum - poziom rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3) rozpoznaje  w graniastosłupach  i  ostrosłupach  kąty  między  odcinkami  (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje cyfrowe,

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- wskazuje kąty między odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym,

- wyznacza miarę kąta między wskazanymi odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym,

- wykorzystuje wiedzę z trygonometrii i planimetrii do rozwiązywania zadań ze stereometrii.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

- rozmowa nauczająca w oparciu o zagadnienia z sekcji „przeczytaj”,

- dyskusja,

- praca z medium bazowym,

- pokaz.

Formy pracy:

- praca indywidualna,

- praca w parach,

- praca całą klasą.

Środki dydaktyczne:

- komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu,

- zasoby multimedialne zawarte w e-materiale,

- tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda,

- model szkieletowy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, włóczka.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel przedstawia uczniom temat - „Kąty między odcinkami w graniastosłupie prawidłowym”, wskazuje cele zajęć.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel omawia kąty między różnymi odcinkami w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym w oparciu o sekcję „przeczytaj”, wraz z przykładami. Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie omawianych kątów przy pomocy modelu szkieletowego i włóczki. Uczniowie wskazują przykład omawianego kąta wskazując odpowiednie odcinki w sali lekcyjne (krawędzie sufitu, przekątne ściany itp.).

2. Uczniowie rozwiązują indywidualnie ćwiczenia 1-4 z sekcji „sprawdź się”. Nauczyciel moderuje dyskusję nad poprawnymi odpowiedziami. W razie wątpliwości, uczniowie przedstawiają na tablicy poprawne rozwiązanie.

3. Uczniowie, w parach, rozwiązują ćwiczenia 7-8 z sekcji „sprawdź się”, a następnie wybrane osoby omawiają rozwiązanie na tablicy. Nauczyciel może nagrodzić poprawne rozwiązanie oceną.

4. Uczniowie w parach zapoznają się z apletem oraz rozwiązują polecenia 2-3 znajdujące się w tej sekcji. Wybrani uczniowie przedstawiają poprawne rozwiązania na tablicy.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel omawia ewentualne problemy z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się” oraz „Aplet”.

Zadanie domowe

Ćwiczenia 5-6 z sekcji „sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

- Graniastosłupy proste – własnościOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może przedstawić aplet na  dużym ekranie dla całej klasy, a następnie dać czas uczniom na indywidualne rozwiązanie zadań z tej sekcji. Może także ocenić rozwiązania tych zadań. Aplet można również wykorzystać w lekcji „Przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego”.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Aplet

Sprawdź się

Dla nauczyciela