Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia szklaną pryzmę. napis. objętość czworościanu foremnego

Objętość czworościanu foremnego

Źródło: Michael Dziedzic, dostępny w internecie: https://unsplash.com/.

Powiększenie środkowej części Mysterium Cosmographicum

Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Czworościan foremny pojawia się w pracy Jana Keplera z  r. Mysterium Cosmographicum. Opisuje on w niej model Układu Słonecznego opartego na pięciu bryłach platońskich. Czworościan jest jedną z nich – opisany na sferze Marsa i wpisany w sferę Jowisza. Tutaj poznasz relacje tej prostej bryły z kulą opisaną na niej i wpisaną w nią, a także relacje z innymi ciekawymi bryłami, jak na przykład stella octangula.

Twoje cele

- Wyznaczysz objętość czworościanu foremnego.

- Znajdziesz relację między objętością sześcianu, a objętością czworościanu wpisanego w ten sześcian.

- Znajdziesz relację między objętością czworościanu, a objętością stelli octanguli.

- Znajdziesz relację między objętością czworościanu foremnego, a objętością czworościanu dualnego do niego.

- Znajdziesz relację między objętością kuli opisanej na czworościanie foremnym, a objętością czworościanu.

- Znajdziesz relację między objętością kuli wpisanej w czworościan foremny, a objętością czworościanu.

Przeczytaj

Przykład 1

Wyprowadzimy wzór na objętość czworościanu foremnego o krawędzi długości .

Rozwiązanie:

Czworościan foremny jest ostrosłupem, zatem jego objętość obliczamy ze wzoru .

Podstawa jest trójkątem równobocznym, czyli .

Punkt jest środkiem ciężkości trójkąta , stąd długość odcinka jest równa , gdzie to wysokość trójkąta .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy równość . Stąd , czyli .

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

.

Przykład 2

Czworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną tego sześcianu. Wyznaczymy stosunek objętości sześcianu do objętości czworościanu.

Rozwiązanie:

Objętość sześcianu wynosi . Długość krawędzi utworzonego czworościanu jest przekątną ściany sześcianu, czyli . Korzystając ze wzoru na objętość czworościanu , stosunek objętości sześcianu do objętości czworościanu wynosi .

Przykład 3

Czworościan foremny wpisano w sześcian o krawędzi długości tak, że każda krawędź czworościanu jest przekątną tego sześcianu. Wyznaczymy objętość czworościanu.

Rozwiązanie:

Rozwiązując to zadanie spojrzymy na tę sytuację nieco inaczej, niż w przykładzie powyżej.

Zauważmy, że aby obliczyć objętość czworościanu wystarczy od objętości sześcianu odjąć cztery objętości ostrosłupów o podstawie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości i wysokości długości .

Zatem .

Przykład 4

Objętość czworościanu foremnego wynosi . Ścięto go w połowie wysokości płaszczyzną równoległą do podstawy. Objętość tej części czworościanu, która została, wynosi . Obliczymy objętość czworościanu przed ścięciem.

Rozwiązanie:

Trójkąty i  są podobne ponieważ są prostokątne i mają wspólny kąt .

Z założenia , czyli skala podobieństwa .

Oznaczmy objętość części ściętej czworościanu przez , a objętość bryły, która pozostała po ścięciu przez .

Mamy zależność . Stąd , czyli , a stąd .

Przykład 5

Stella octangula wpisana jest w sześcian o objętości . Wyznaczymy stosunek objętości sześcianu do objętości  stelli octanguli.

Rozwiązanie:

Objętość stelli octanguli znajdziemy dodając do objętości czworościanu wpisanego w sześcian, którego krawędź jest przekątną sześcianu, objętość czterech mniejszy czworościanów foremnych o objętości :

, których krawędź jest połową krawędzi czworościanu większego jako połowa długości przekątnej kwadratu.

Z Przykładu 4. wynika, że . Podstawiając otrzymujemy . Następnie korzystając z Przykładu 2. stosunek objętości sześcianu do objętości dużego czworościanu wynosi . W konsekwencji .

Przykład 6

Łącząc odpowiednio środki krawędzi o długości czworościanu foremnego otrzymamy ośmiościan foremny. Wyznaczymy stosunek objętości tego czworościanu do objętości ośmiościanu.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że ośmiościan tworzą dwa przystające ostrosłupy o podstawie kwadratu, którego bok wynosi , połączone podstawami.

Krawędzie ostrosłupów mają również długość .

Zatem objętość ośmiościanu , gdzie to pole podstawy ostrosłupa, a  jego wysokość.

Pole podstawy .

Wyznaczymy długość odcinka :

. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego otrzymujemy .

Stąd , więc .

Podstawiając do wzoru otrzymujemy .

Korzystając z Przykładu 1. objętość czworościanu wyraża się wzorem , zatem .

Przykład 7

Na czworościanie foremnym opisano kulę. Wyznaczymy stosunek objętości tej kuli do objętości czworościanu.

Rozwiązanie:

Niech oznacza długość krawędzi czworościanu, a  wysokość jego ściany.

Korzystając z Przykładu 1. wysokość czworościanu wynosi .

Punkt jest punktem przecięcia się wysokości i zarazem środkiem kuli opisanej na tym czworościanie.

Niech oznacza długość odcinka .

Trójkąty i  są trójkątami prostokątnymi (kąt prosty trójkąta to kąt , a trójkąta kąt ) posiadającymi wspólny kąt .

Stąd wynika, że są podobne. Zachodzi więc , czyli .

Stosunek objętości kuli opisanej na czworościanie foremnym do objętości tego czworościanu to .

Dwa ostatnie przykłady dotyczą pojęcia wielościanu dualnego.

Przykład 8

Wyznaczymy stosunek objętości czworościanu dualnego (wewnętrznego) do objętości czworościanu foremnego pierwotnego (zewnętrznego).

Rozwiązanie:

Wyznaczymy skalę podobieństwa między ścianą boczną czworościanu foremnego zewnętrznego, a ścianą boczną czworościanu foremnego wewnętrznego.

Trójkąty prostokątne i  są podobne, ponieważ mają wspólny kąt .

Stąd .

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy , gdzie oznacza wysokość trójkąta równobocznego – ściany zewnętrznego czworościanu foremnego.

Skala podobieństwa jest , zatem stosunek objętości tych czworościanów wyraża się zależnością:

, gdzie oznacza objętość czworościanu dualnego (wewnętrznego).

Przykład 9

W czworościanie dualnym wpisano następny czworościan foremny dualny do niego. Jaki jest stosunek objętości tego „podwójnie dualnego” czworościanu foremnego do pierwotnego czworościanu?

Rozwiązanie:

i , stąd .

Słownik

czworościan foremny

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi

ośmiościan foremny

wielościan foremny o  ścianach będącymi przystającymi trójkątami równobocznymi

stella octangula

wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych

wielościan dualny

wielościan zbudowany w ten sposób, że wierzchołek wielościanu dualnego leży w środku ciężkości ściany wielościanu pierwotnego, a jego krawędzie powstają przez połączenie środków ciężkości dwóch sąsiednich ścian

Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z poniższą animacją 3D, a następnie rozwiąż polecenie kontrolne.

Film przybliżający zagadnienie objętości czworościanu foremnego.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8UODRrOVOtwiera się w nowym oknie

Film przybliżający zagadnienie objętości czworościanu foremnego.

Polecenie 2

Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość .

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Jeśli krawędź czworościanu foremnego jest równa , to

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- pole powierzchni całkowitej wynosi

- wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego jest równa

- objętość czworościanu jest równa

Ćwiczenie 2

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości . Jak zmieni się jego objętość, jeżeli długość krawędzi zwiększymy trzykrotnie? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- krotnie się zwiększy.

- Pozostanie taka sama.

- Zwiększy się o  jednostki.

- krotnie się zwiększy.

Ćwiczenie 3

W sześcienne akwarium o krawędzi włożono drewniany klocek w kształcie czworościanu foremnego, którego cztery wierzchołki dotykają wierzchołków akwarium. Wskaż zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Objętość drewnianego klocka to .

- Objętość akwarium to .

- Objętość drewnianego klocka to .

- Do akwarium można wlać jeszcze wody.

Ćwiczenie 4

Trójkąt równoboczny o boku jest siatką czworościanu foremnego.

Zaznacz poprawną odpowiedź. Objętość tego czworościanu to

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 5

Połącz parami wysokość z objętością czworościanu foremnego.

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Ćwiczenie 6

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Krawędź czworościanu foremnego, którego objętość jest równa , wynosi

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Ćwiczenie 7

Czworościan foremny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość podstawy. Jako przekrój otrzymano trójkąt o polu równym . Oblicz objętość tego czworościanu.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego wynosi . Objętość czworościanu wynosi

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Dla nauczyciela

Autor: Beata Kuna

Przedmiot: Matematyka

Temat: Objętość czworościanu foremnego

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się,

- kompetencje obywatelskie.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- wylicza wysokość czworościanu foremnego;

- wylicza objętość czworościanu foremnego, objętość kuli opisanej na czworościanie i objętość kuli wpisanej w czworościan;

- poznaje relacje z innymi bryłami związanymi z czworościanem foremnym.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm;

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- rozmowa kierowana;

- dyskusja.

Formy pracy:

- praca indywidualna;

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

- zasoby multimedialne zawarte w e–materiale;

- tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel może przygotować wcześniej niektóre z brył związanych z tematem – czworościan foremny, sześcian, ośmiościan, stellę octangulę. Może też wyświetlić albo narysować trudny rysunek – sferę opisaną na czworościanie i sferę wpisaną w czworościan i wspomnieć o modelu Keplera.

2. Następnie wraz z uczniami określa cele i kryteria sukcesu.

3. Nauczyciel prosi uczniów, aby zgłaszali swoje propozycje pytań do wspomnianego tematu. Jedna osoba może zapisywać je na tablicy. Gdy uczniowie wyczerpią pomysły, a pozostały jakieś ważne kwestie do poruszenia, nauczyciel je dopowiada.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel z pomocą uczniów wyznacza wzór na wysokość i objętość czworościanu foremnego.

2. Nauczyciel prosi uczniów o obejrzenie animacji 3D, następnie wraz z uczniami omawia rozwiązania zadań, które są zawarte w animacji.

3. Nauczyciel dzieli klasę na grupy. Uczniowie w grupach analizują poszczególne przykłady obliczania objętości czworościanu foremnego. Wspólnie wyjaśniają sposób rozwiązania opisany w przykładach.

4. Nauczyciel prosi uczniów o samodzielne rozwiązanie ćwiczeń 1-4 z sekcji „Sprawdź się”.

Faza podsumowująca:

- Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem przykładów i ćwiczeń, które pojawiły się na lekcji.

Praca domowa:

- Uczniowie wykonują polecenie z sekcji „Animacja 3D” i ćwiczenia 5-8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

- Czworościan foremnyOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

- Polecenia związane z Animacją 3D można wykorzystać jako materiał, służący powtórzeniu materiału w temacie „Objętość czworościanu foremnego” lub przygotowania do matury.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela