Spis treści

Bryły obrotowe - stożek

Definicja: Stożek

Stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

Aplet przedstawia po prawej stronie proces powstawania bryły obrotowej jaką jest stożek. Na początku pokazany jest trójkąt prostokątny, którego podstawa jest krótsza od wysokości. W wysokości zawarta jest przerywana oś obrotu. Opisany trójkąt jest obracany w kierunku wskazówek zegara wokół osi obrotu. Po zakończeniu pełnego obrotu powstaje wcześniej wspomniany stożek, którego podstawą jest koło, które zostało zakreślone przez promień długości podstawy. Promień oznaczamy literą r, wysokość całego stożka jest równa wysokości obracanego trójkąta i oznaczana jest wysokością H. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest oznaczana literką l. Po lewej stronie mamy prostokąt z treścią, która podsumowuje powstanie stożka, czyli że stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PCtDj8hvtOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PCtDj8hvtOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

- Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

.

- Objętość stożka jest równa:

.

Siatka stożka

Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1WqKQ9hUnuUWOtwiera się w nowym oknie

Matematyka_3D_5010

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.

Siatka stożka

Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RxNRDivwC7nHlOtwiera się w nowym oknie

Matematyka_3D_5011

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.

Przykład 1

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych

i  obraca się wokół dłuższego boku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanego w ten sposób stożka.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PCtDj8hvtOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przeciwprostokątna jest równa

. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PCtDj8hvtOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Pole podstawy stożka jest równe

, a jego tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem  takim, że . Oblicz objętość stożka.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PCtDj8hvtOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest wycinkiem koła stanowiącym

koła o promieniu .

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PCtDj8hvtOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu . Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- ,

- ,

- ,

- ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Trójkąt o przeciwprostokątnej długości obrócono wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Kąt rozwarcia otrzymanego w ten sposób stożka jest równy . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- ,

- ,

- ,

- ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem o promieniu . Oblicz objętość stożka. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Koło o średnicy podzielono na dwa wycinki koła w ten sposób, że jeden z nich stanowi  pola powierzchni drugiego. Z obu wycinków utworzono powierzchnie boczne stożków. Niech oznacza objętość stożka utworzonego z większego wycinka, - objętość stożka utworzonego z mniejszego wycinka. Wyznacz stosunek . Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Stosunek    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Podstawą stożka jest koło o polu . Pole powierzchni bocznej jest razy większe od pola podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Walec i stożek mają równe promienie podstawy

i wysokości . Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola powierzchni bocznej stożka.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 7

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i  obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość otrzymanej w ten sposób bryły. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Stożek o promieniu podstawy i wysokości przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, przechodzącą przez środek wysokości stożka. Oblicz stosunek objętości brył, na jakie został podzielony stożek. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Stosunek objętości wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Oblicz długość

wysokości stożka, objętość oraz pole powierzchni całkowitej .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeciągnij w luki odpowiednie liczby.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Długość promienia podstawy i długość wysokości najmniejszego ze stożków wynosi , a każdy kolejny stożek ma długość promienia podstawy i długość wysokości o większą.

Przeciągnij i upuść objętości stożków.

Długość promienia podstawy i długość wysokości najmniejszego ze stożków wynosi , a każdy kolejny stożek ma długość promienia podstawy i długość wysokości o  większą.

Przeciągnij i upuść objętości stożków.

Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun     Usun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.