Spis treści

Wycinek i odcinek koła

Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła.

Pole koła

oraz obwód koła , gdzie jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt środkowy pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Obliczmy pole wycinka koła o promieniu

, którego kąt jest równy .

Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

. Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.

.

Definicja: Pole wycinka

Pole wycinka koła o promieniu

i kącie jest równe

.

Definicja:  Odcinek koła

Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem i określ, jaki jest związek między polem odcinka, a polem wycinka koła.

Aplet przedstawia okrąg o środku w punkcie z S z zaznaczonymi punktami B oraz A. Punkt B jest nieruchomy, natomiast punktem A można się przemieszczać po okręgu, zmieniając w ten sposób długość cięciwy AB oraz miarę kąta alfa w trójkącie A B S. Obok rysunku znajduje się komentarz dotyczący tego jak obliczyć pole odcinka koła o środku w punkcie S i kącie środkowym alfa wykorzystując pole wycinka koła i trójkąta A B S. Pole wycinka równa się iloczynowi ilorazu alfa przez 360 stopni i pi r do potęgi drugiej, bez względu na to jak umiejscowiony jest na okręgu punkt A . Natomiast wzór na pole odcinka koła zmienia się wraz z położeniem punktu A. Jeżeli środek okręgu znajduję się poza odcinkiem koła wówczas wzór na jego pole jest równy pole wycinka minus pole trójkąta A B S. Jeżeli środek okręgu znajduję się wewnątrz odcinka koła to pole tego odcinka równa się pole wycinka plus pole trójkąta A B S.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PD6jMvYmiOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy pole odcinka koła.

- przypadek

Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola koła.

Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego

, a kąt między ramionami i  jest kątem wycinka koła . Pole odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

.

- przypadek

Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu.

Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego

. Między ramionami i  znajduje się kąt . Pole odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta do pola wycinka.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

.

- przypadek

Środek koła leży na cięciwie

.

Cięciwa

jest wtedy średnicą koła o promieniu . Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcinków koła jest półkolem o polu .