Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Aplet

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie przedstawia drewniany szkielet w kształcie wielościanu zbudowanego z pięciokątów i sześciokątów foremnych.

Bryły archimedesowe

Źródło: Klaus Scheiber, dostępny w internecie: www.pixabay.com.

Wielościan kojarzy nam się zazwyczaj z graniastosłupem lub ostrosłupem. Świat wielościanów jest znacznie bogatszy. Możemy spotkać w nim bryły platońskie, archimedesowe i wiele innych. Zwiedzanie krainy wielościanów to fascynująca przygoda, podczas której możemy odkryć wzajemne relacje pomiędzy nimi.

Informacje przedstawione w tym materiale wykraczają poza podstawę programową, ale są ciekawym uzupełnieniem wiadomości o bryłach.

Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

- Poznasz własności wielościanów archimedesowych,

- Zastosujesz wzory na pole powierzchni i objętość brył,

- Obliczysz pola powierzchni i objętości niektórych wielościanów archimedesowych.

Przeczytaj

Podróż po krainie wielościanów należy rozpocząć od poznania jej najważniejszych mieszkańców: wypukłych wielościanów foremnych, nazywanych też bryłami platońskimi. Chodzi oczywiście o: czworościan foremny, sześcian, ośmiościan foremny, dwunastościan foremny i dwudziestościan foremny. Wszystkie ich ściany są przystającymi wielokątami foremnymi oraz w każdym wierzchołku spotyka się ta sama liczba ścian.

Istnieją również wielościany o przystających wierzchołkach i ścianach będących wielokątami foremnymi niekoniecznie jednego rodzaju. Takie wielościany nazywamy wielościanami archimedesowymi.

W materiale przedstawiono tylko niektóre z nich.

Przykład 1

Rozważmy na początek dowolny trójkąt równoboczny. Ścinając symetrycznie jego wierzchołki otrzymamy sześciokąt. Jeżeli odpowiednio dobierzemy długość cięcia, to powstanie sześciokąt foremny. Przesuwając linię cięcia do środka, otrzymamy trójkąt równoboczny.

Przeprowadzimy analogiczną operację w przestrzeni dla czworościanu foremnego.

Bierzemy czworościan foremny, zaznaczamy na jego krawędziach punkty o ustalonej odległości od wierzchołka i przez te punkty prowadzimy płaszczyzny odcinające wierzchołki czworościanu. Po odcięciu wszystkich wierzchołków powstaną w ich miejsce ściany, które są trójkątami, a pozostałe ściany staną się sześciokątami.

Dobierając odpowiednio odległość od wierzchołków czworościanu otrzymamy bryłę, której ściany są trójkątami równobocznymi i  ściany są sześciokątami foremnymi. Taką bryłę nazywamy czworościanem ściętym.

Aplet przedstawia obracający się czworościan zbudowany z czterech trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopnień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków otrzymujemy bryłę składającą się z ośmiu jednakowych trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVOOtwiera się w nowym oknie

Zauważmy, że pogłębiając cięcia możemy otrzymać ośmiościan foremny.

Przykład 2

Z czworościanu foremnego o krawędzi odcinamy narożniki będące czworościanami foremnymi o krawędzi długości . Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanej bryły.

Rozwiązanie

Skoro prowadzimy cięcia w odległości od wierzchołków czworościanu, to każdą jego krawędź dzielimy na równe części. Powstaje zatem czworościan ścięty o krawędzi .

Ponieważ czworościan ścięty ma ściany będące trójkątami równobocznymi i  ściany, które są sześciokątami foremnymi, to jego pole powierzchni obliczymy ze wzoru:

Objętość czworościanu ściętego możemy obliczyć odejmując od objętości czworościanu foremnego obiętości odciętych narożników:

Zatem pole powierzchni czworościanu ściętego wynosi zaś jego objętość:

Przykład 3

Rozważmy dowolny sześcian. Zaznaczamy na jego krawędziach punkty o ustalonej odległości od wierzchołka i przez te punkty prowadzimy płaszczyzny odcinające wierzchołki sześcianu. Po odcięciu wszystkich wierzchołków powstaną w ich miejsce ściany, które są trójkątami, a pozostałe ściany staną się ośmiokątami. Dobierając odpowiednio odległości płaszczyzn od wierzchołków, otrzymamy wielościan o  foremnych ścianach: trójkątach i  ośmiokątach. Taką bryłę nazywamy sześcianem ściętym.

Aplet przedstawia obracający się sześcian zbudowany z sześciu kwadratów. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopnień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu kwadratów oraz ośmiu trójkątów równobocznych Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVOOtwiera się w nowym oknie

Pogłębiając cięcia do środków krawędzi otrzymujemy wielościan archimedesowy, który nazywamy sześcio – ośmiościanem. Jest to bryła o  ścianach, ale tym razem jest to trójkątów równobocznych i  kwadratów.

Przykład 4

Rozważmy dowolny ośmiościan foremny.

Ścinając naroża i dobierając odpowiednio odległości płaszczyzn od wierzchołków otrzymamy ośmiościan ścięty, który jest bryłą o  ścianach: z nich to sześciokąty foremne a  to kwadraty.

Aplet przedstawia obracający się ośmiościan foremny zbudowany z ośmiu trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu kwadratów oraz ośmiu trójkątów równobocznych Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVOOtwiera się w nowym oknie

Prowadząc cięcia przez środki krawędzi nie otrzymamy nowej bryły archimedesowej a ponownie sześcio – ośmiościan.

Przykład 5

Rozważmy dowolny dwunastościan foremny.

Ścinając odpowiednio naroża otrzymamy dwunastościan ścięty. Ma on ściany: dziesięciokątów foremnych i  trójkątów równobocznych. Stosunek długości krawędzi dwunastościanu ściętego do długości krawędzi dwunastościanu przed ścięciem wynosi .

Aplet przedstawia obracający się dwunastościan foremny zbudowany z dwunastu sześciokątów foremnych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje dwunastościan ścięty. Bryła ta składa się z dwunastu sześciokątów foremnych i dwudziestu trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVOOtwiera się w nowym oknie

Prowadząc cięcia przez środki krawędzi otrzymamy bryłę archimedesową, którą nazywamy dwudziesto – dwunastościanem. Jego ścianami są trójkąty równoboczne i pięciokąty foremne.

Przykład 6

Z dwunastościanu foremnego o krawędzi długości ścinamy naroża w kształcie czworościanu foremnego i otrzymujemy dwunastościan ścięty. Wyznaczymy długość krawędzi takiego czworościanu i obliczymy pole powierzchni otrzymanej bryły.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw długość krawędzi dwunastościanu ściętego:

Stąd

Ściany dwunastościanu są dziesięciokątami foremnymi i trójkątami równobocznymi o boku , więc jego pole obliczymy ze wzoru:

.

Mamy zatem:

.

Przykład 7

Rozważmy dowolny dwudziestościan foremny.

Ścinając odpowiednio naroża otrzymamy dwudziestościan ścięty. Ma on ściany w kształcie pięciokątów foremnych i sześciokątów foremnych . Miłośnicy sportu mogą rozpoznać w tej bryle matematyczny model piłki nożnej.

Aplet przedstawia obracający się dwudziestościan foremny zbudowany z dwudziestu sześciokątów foremnych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje dwunastościan ścięty. Bryła ta składa się z dwunastu sześciokątów foremnych i dwudziestu trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać. Ścinając odpowiednio naroża można otrzymać bryłę składającą się z dwunastu pięciokątów foremnych i dwudziestu sześciokątów foremnych. Bryła ta przypomina piłkę nożną.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVOOtwiera się w nowym oknie

Zauważmy, że prowadząc cięcia przez środki krawędzi nie otrzymamy nowej bryły archimedesowej tylko dwudziesto – dwunastościan.

Słownik

wielościany archimedesowe

wielościany o przystających wierzchołkach i ścianach będących wielokątami foremnymi niekoniecznie jednego rodzaju

wielościan foremny

wielościan spełniający trzy warunki: ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jest bryłą wypukłą.

czworościan foremny

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.

sześcian

wielościan foremny o  ścianach w kształcie przystających kwadratów.

ośmiościan foremny

wielościan foremny o  ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych.

dwunastościan foremny

wielościan foremny o  ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych.

dwudziestościan foremny

najbardziej złożony wielościan foremny o  ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych.

Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się dokładnie z przedstawioną poniżej siatką sześcio – ośmiościanu.

Aplet przedstawia siatkę sześcio-ośmiościanu. Siatka ta składa się z sześciu kwadratów i ośmiu trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, decydujący o stopniu złożenia się siatki. Zakres suwaka zawiera się od płaskiej dwuwymiarowej siatki po trzywymiarowy sześcio-ośmiościan.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dn3cOlqKbOtwiera się w nowym oknie

Polecenie 2

Obserwując powyższy aplet, odpowiedz na pytania.

1. Ile wierzchołków ma sześcio – ośmiościan?

2. Ile krawędzi ma sześcio – ośmiościan?

Pokaż odpowiedź

Polecenie 3

Poniższy aplet przedstawia ośmiościan ścięty.

Aplet przedstawia obracający się ośmiościan ścięty. Bryła ta zbudowana jest z sześciu kwadratów i ośmiu sześciokątów foremnych. Na ilustracji zaznaczono także odcięte narożniki ośmiościanu, będące ostrosłupami prawidłowymi.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dn3cOlqKbOtwiera się w nowym oknie

Wykonaj na kartce formatu A4 siatkę tej bryły.

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Uzupełnij tabelę.

Nazwa

Liczba wierzchołków

Liczba krawędzi

Liczba ścian

Czworościan ścięty

Sześcian ścięty

Dwunastościan ścięty

Ćwiczenie 2

Bryłę euklidesową, która ma wierzchołków, krawędzie i jest zbudowana z  trójkątów równobocznych i  kwadratów nazywamy:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- sześcio – ośmiościanem.

- ośmiościanem ściętym.

- sześcianem ściętym.

- czworościanem ściętym.

Ćwiczenie 3

Do każdej z podanych brył dopasuj opis jej ścian.

Dwudziesto – dwunastościan, Sześcian ścięty, Czworościan ścięty, Ośmiościan ścięty

Nazwa bryły

Ściany

Dwudziesto – dwunastościan

Sześcian ścięty

Czworościan ścięty

Ośmiościan ścięty

Ćwiczenie 4

Z sześcianu o krawędzi odcięto narożniki prowadząc cięcia przez środki krawędzi sześcianu. Otrzymano w ten sposób sześcio – ośmiościan. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego sześcio – ośmiościanu.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 5

Z sześcianu o krawędzi odcięto narożniki prowadząc cięcia przez środki krawędzi sześcianu. Otrzymano w ten sposób sześcio – ośmiościan. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcio – ośmiościanu.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Z sześcianu o krawędzi odcięto narożniki prowadząc cięcia przez punkty dzielące krawędzie na równe części. Otrzymano w ten sposób sześcian ścięty.

Oblicz, o ile objętość powstałej bryły jest mniejsza od objętości sześcianu.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

W drewnianym klocku w kształcie ośmiościanu foremnego odcinamy naroża prowadząc cięcia przez środki krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób sześcio – ośmiościan. Jaki procent objętości ośmiościanu stanowi objętość tego sześcio – ośmiościanu?

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Z ośmiościanu foremnego o krawędzi długości odcinamy naroża tak, że wszystkie krawędzie otrzymanej bryły mają jednakową długość, a jej ściany są wielokątami foremnymi tak, jak na rysunku (ośmiościan ścięty). Oblicz objętość tej bryły.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Małgorzata Kantor – Szczęśniak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Bryły archimedesowe

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria

Zakres podstawowy.

Uczeń:

6) oblicza objętość i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Zakres rozszerzony.

Uczeń:

2) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

- kompetencje cyfrowe

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

- utrwala wiadomości o bryłach platońskich

- poznaje własności brył archimedesowych

- stosuje wzory na pola powierzchni i objętość ostrosłupów i graniastosłupów

- oblicza pola powierzchni i objętości niektórych wielościanów archimedesowych

- przeprowadza rozumowanie pomagające ustalić strategię rozwiązania zadania

Strategie nauczania:

- konstruktywizm

- konektywizm

Metody i techniki nauczania:

- pogadanka z wykorzystaniem medium bazowego i ćwiczeń interaktywnych

- analiza pomysłów

- burza mózgów

- odwrócona klasa

Formy pracy:

- praca indywidualna

- praca w grupach

- praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do internetu,

- projektor multimedialny,

- e-podręcznik,

- arkusze papieru, pisaki

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj” oraz przypomnienie wiadomości o bryłach platońskich.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel podaje temat „Bryły archimedesowe” i cele zajęć. Razem z uczniami określa kryteria sukcesu.

2. Uczniowie wymieniają poznane bryły archimedesowe i przypominają, jak one powstają.

Faza realizacyjna:

1. Wybrani uczniowie rozwiązują na tablicy Przykład 2 i Przykład 6 z sekcji „Przeczytaj”.

2. Uczniowie wspólnie rozwiązują polecenia z sekcji „Aplet” .

3. Nauczyciel dzieli klasę na 4 grupy. Jedna grupa rozwiązuje ćwiczenie 1 i 2 z sekcji „Sprawdź się”; druga - ćwiczenie 3 i 4; trzecia - ćwiczenie 5, a czwarta - ćwiczenie 6.

4. Wyznaczony przez nauczyciela uczeń dyskutuje rozwiązanie zadania na forum klasy.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel omawia ewentualne problemy z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Na koniec zajęć nauczyciel prosi uczniów o rozwinięcie zdania: „Po dzisiejszej lekcji powinienem/ powinnam zapamiętać, że...”.

Praca domowa:

- Uczniowie dobierają się w pary i rozwiązują ćwiczenia 7 i 8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

- Pole powierzchni i objętość ośmiościanuOtwiera się w nowym oknie

- Pole powierzchni sześcianuOtwiera się w nowym oknie

- Siatki sześcianuOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może przed lekcją poprosić o przypomnienie wzorów na pola powierzchni i objętości brył.

Aplet można wykorzystać przy omawianiu siatek brył.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Aplet

Sprawdź się

Dla nauczyciela