Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Prawo Plancka

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Czy to nie ciekawe?

Pod koniec XIX wieku wśród wielu naukowców panowało przekonanie, że fizyka jest nauką kompletną i bardzo niewiele zostało do zbadania. Znano, owszem, kilka efektów, których nie potrafiono wytłumaczyć na gruncie istniejących teorii, jednakże duża część środowiska fizyków traktowała je jako mało ważne problemy, które prędzej czy później znajdą wyjaśnienie pasujące do istniejącego obrazu świata. Wśród nierozwiązanych problemów było m.in. widmo promieniowania ciała doskonale czarnego.

Próbę wyjaśnienia rozkładu natężenia promieniowania emitowanego przez ciało doskonale czarne na gruncie fizyki klasycznej podjęli John Rayleigh i James Jeans. Doprowadziło to ich do wyrażenia, które dobrze opisywało kształt widma promieniowania ciała doskonale czarnego dla dużych długości fali, jednak zupełnie błędnie dla fal krótkich.

Poprawny opis rozkładu natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego przedstawił Max Planck. Prawdziwą rewolucję zapoczątkowało jednak teoretyczne wyprowadzenie wzoru. Założenia, które przyjął Planck, doprowadziły do powstania nowego rozdziału w fizyce, z czasem nazwanego mechaniką kwantową.

Twoje cele

W tym e-materiale:

- Dowiesz się, jaka jest postać prawa Plancka,

- Poznasz założenia przyjęte przez Plancka,

- Zrozumiesz, że założenia te były częściowo sprzeczne z ówczesną wiedzą,

- Wyznaczysz wartość kwantu energii klasycznego oscylatora harmonicznego,

- Zastosujesz równanie Plancka do wyznaczenia natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego dla jednej długości fali.

Przeczytaj

Warto przeczytać

Ciałem doskonale czarnym nazywamy obiekt, który pochłania całe padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne, niezależnie od temperatury tego ciała, czy częstotliwości padającego promieniowania.

Ponadto ciało doskonale czarne emituje promieniowanie, którego widmo zależy od jego temperatury. Wszystkie obiekty, które mają temperaturę powyżej 0 K emitują promieniowanie elektromagnetyczne o rozkładzie zgodnym z widmem ciała doskonale czarnego.

Widmo promieniowania emitowanego przez ciało doskonale czarne jest widmem ciągłym, którego maksimum, jak i całkowita moc promieniowania są uzależnione od temperatury tego ciała. Przykładowe wykresy widma promieniowania ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur przedstawia Rys. 1.

Rys. 1. Rozkład natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur. Na osi rzędnych zastosowano umowne jednostki natężenia

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Energia emitowana w jednostce czasu, przez jednostkową powierzchnię ciała doskonale czarnego na jednostkę długości fali, inaczej zwana jest radiancją spektralną (

).

Treścią prawa Plancka jest wzór określający zależność radiancji od długości fali i temperatury i ma następującą postać:

gdzie:

– prędkość światła w próżni równa w przybliżeniu

– stała Plancka równa lub

– długość fali promieniowania

– stała Boltzmanna równa lub

Wyrażenie

można również zapisać w postaci . Jest ono liczbą , czyli liczbą Eulera, podniesioną do potęgi . Liczba Eulera jest podstawą logarytmu naturalnego i wynosi ok 2,718.

Max Planck wyprowadził ten wzór przyjmując wnękę z niewielkim otworem jako model ciała doskonale czarnego. Promieniowanie wpadające przez otwór do wnęki ulega w niej wielokrotnym odbiciom, czyli jest niemal w 100% pochłaniane. Powierzchnia otworu zachowuje się więc zgodnie z definicją ciała doskonale czarnego. Ponadto uczony przyjął kilka nieoczywistych w świetle mechaniki klasycznej założeń. Opierając się na nich otrzymał powyższy wzór, który dobrze zgadzał się z doświadczalnie wyznaczonym rozkładem radiancji. I to był sukces Plancka.

Postulaty Plancka:

1. Atomy ścianek wnęki zachowują się jak oscylatory, czyli obiekty, które drgają z charakterystyczną częstotliwością

Przykładem oscylatora, z którym możesz się spotkać w życiu codziennym, jest klocek zawieszony na sprężynie. Po wychyleniu klocka z położenia równowagi, zaczyna on drgać, czyli oscylować, wokół położenia równowagi, z określoną częstotliwością.

Atomy ciała doskonale czarnego wg Plancka są małymi oscylatorami, które pochłaniają promieniowanie z wnęki oraz emitują promieniowanie do wnęki. Pomiędzy ściankami wnęki a promieniowaniem we wnęce nie ma jednak (średnio w czasie) przepływu energii, czyli pozostają one w równowadze termicznej.

2. Oscylatory przyjmują dyskretne, czyli nieciągłe, oddzielone od siebie wartości energii (

), które można opisać wzorem:

gdzie

jest liczbą naturalną ( = 1, 2, 3, …), f - częstotliwością drgań, a symbol oznacza stałą Plancka.

Aby przybliżyć Ci istotę tego założenia posłużmy się przykładem. Wyobraź sobie człowieka wspinającego się po stopniach drabiny. Jego grawitacyjna energia potencjalna jest iloczynem masy (

), wysokości nad ziemią () oraz przyspieszenia grawitacyjnego (). Kolejne stopnie oddalone są od siebie o odległość , czyli pierwszy stopień znajduje się na wysokości , drugi na wysokości , a -ty na wysokości . Grawitacyjna energia potencjalna człowieka stojącego na kolejnych stopniach wynosi więc , czyli przyjmuje pewne dyskretne wartości. Określenie dyskretne wartości jest przeciwstawne określeniu ciągłe. Oczywiście dotyczy to wyłącznie sytuacji stania na stopniach drabiny, a nie wspinania się po nich.

Energia oscylatorów Plancka może przyjmować tylko dyskretne wartości, czyli jest skwantowana. Takie oscylatory nazywamy kwantowymi. Zwróć uwagę, że energia oscylatorów klasycznych, takich jak klocek zawieszony na sprężynie, może przyjmować dowolne wartości, czyli jest ciągła.

Warto podkreślić, że model kwantowego oscylatora harmonicznego jest współcześnie stosowany do opisu wielu układów fizycznych, np. jądra atomowego. Energia oscylatora nieznacznie różni się od zapostulowanej przez Plancka i wynosi

.

3. Liczba

jest liczbą kwantową, co znaczy, że jednoznacznie określa energię oraz opisuje stan oscylatora, który nazywamy stanem kwantowym. Jeśli oscylator nie absorbuje i nie emituje energii to pozostaje w swoim stanie kwantowym.

Stanem o

= 1 nazywamy stanem podstawowym, ma on najniższą z możliwych energii. Stany o większych liczbach nazywamy stanami wzbudzonymi.

4. Oscylatory mogą pochłaniać i emitować energię porcjami (kwantami). Emisja energii oznacza zmianę stanu kwantowego, czyli zmianę liczby kwantowej, o całkowitą wartość (

).

Zmiana energii oscylatora, czyli różnica pomiędzy energią końcową (

) i początkową () wynosi .

Zmiana energii oscylatora jest więc całkowitą wielokrotnością iloczynu stałej Plancka i częstotliwości

.

Powróćmy do przykładu z drabiną. Obliczmy, jaka będzie zmiana energii człowieka po wejściu o

= 4 stopnie w górę. Początkowa energia człowieka znajdującego się na n-tym stopniu wynosi , energia końcowa , zaś zmiana energii .

Otrzymaliśmy wyrażenie zgodne z postulatem 4. Postulat ten jest naturalną konsekwencją postulatu 2.

Te cztery postulaty umożliwiły Planckowi wyprowadzenie wzoru poprawnie opisującego widmo promieniowania ciała doskonale czarnego. Jednak jak pogodzić postulaty Plancka ze znanym z życia codziennego oscylatorem klasycznym? Dlaczego energia klocka jest ciągła i zależy od stałej sprężystości i amplitudy? Powodem jest bardzo mała wartość stałej Plancka, a przez to bardzo mała wielkość pojedynczej porcji energii. Posłużmy się przykładem. Rozważmy klocek o masie 1 kg, zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości

= 40 N/m, wykonujący drgania o amplitudzie wynoszącej = 15 cm.

Całkowita energia oscylatora wynosi

,

zaś jego częstotliwość

.

Pojedyncza porcja energii, według postulatu Plancka, wynosi

, czyli 33 rzędy wielkości mniej niż wynosi całkowita energia oscylatora. Oznacza to tyle, że aby otrzymać wielkość odpowiadającą kwantowi energii, energię całkowitą należy podzielić przez 1 i trzydzieści trzy zera! Wartość energii kwantu jest zdecydowanie poniżej czułości jakichkolwiek urządzeń pomiarowych. Energia klasycznego oscylatora jest, owszem, skwantowana, ale efekt ten jest niemierzalny, dlatego z dobrym przybliżeniem możemy traktować ją jako ciągłą.

Słowniczek

Ciało doskonale czarne (ang. black body)

wyidealizowany model ciała, które niezależnie od swojej temperatury absorbuje całe padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne a także emituje promieniowanie o widmie ciągłym, którego kształt zależy od temperatury ciała.

Prawo Plancka (ang. Planck's distribution)

wyrażenie opisujące rozkład energii emitowanej w jednostce czasu, przez jednostkową powierzchnię ciała doskonale czarnego na jednostkę długości fali. Wyprowadzenie wzoru wymagało przyjęcia założeń o kwantowej naturze energii emitowanej i pochłanianej przez atomy ciała doskonale czarnego.

Kwantowy oscylator harmoniczny (ang. quantum harmonic oscillator)

model układu fizycznego rozmiarów atomowych lub subatomowych, wykonującego ruch drgający z określoną częstotliwością. Energia kwantowego oscylatora harmonicznego jest dyskretna i może przyjmować wartości

, gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą, – stałą Plancka, – częstotliwością drgań. Pierwszy koncept kwantowego oscylatora harmonicznego został wprowadzony przez Maxa Plancka, który założył, że energia oscylatora jest dyskretna i wynosi .

Film samouczek

Prawo Plancka

Film samouczek prezentuje wykorzystanie Prawa Plancka do wyznaczenia natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego o określonej temperaturze T.

Film pokazuje jakie wielkości i stałe należy wstawić w kolejne człony równania Plancka a także pomaga przejść przez rachunek jednostek.

Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RyIcjZrcgq0Cw

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.

Polecenie 1

Obejrzyj film, a następnie oblicz energię emitowaną w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię żarówki dla fali o długości 970 nm.

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie poprawne uzupełnienia: Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- jest ciągłe, a jego kształt zależy od temperatury ciała

- przesuwa się w kierunku fal krótszych wraz ze wzrostem temperatury ciała

- może być opisane funkcją liniową długości fali

- jest ciągłe, a jego kształt zależy od rozmiaru ciała

Ćwiczenie 2

Zgodnie z prawem Plancka:

a) Natężenie promieniowania ciała doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalne do piątej potęgi długości fali promieniowania:    tak       tak /    nie       nie b) Natężenie promieniowania ciała doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalne do temperatury ciała    tak       tak /    nie       nie

Ćwiczenie 3

Wybierz właściwe słowo tak, aby wyrażenie było poprawne

a) energia oscylatorów kwantowych jest    ciągła       ciągła /    dyskretna       dyskretna

b) według postulatów Plancka atomy ścian wnęki    mogą       mogą /    nie mogą       nie mogą wymieniać energię/energii z promieniowaniem we wnęce

c) dwa oscylatory drgające z różną częstotliwością    mogą       mogą /    nie mogą       nie mogą mieć równą energię

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 4

Jaka jest jednostka wyrażenia

? Czy możesz odpowiedzieć na to pytanie nie wykonując rachunku jednostek?

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 5

Oblicz najmniejszą energię oscylatora Plancka drgającego z częstotliwością = 1 THz (stan podstawowy) oraz energię pierwszego stanu wzbudzonego. Wynik wyraź w meV (milielektronowoltach) z dokładnością do jednej cyfry.

Odpowiedzi:

stan podstawowy:                meV

pierwszy stan wzbudzony                meV

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 6

Zaznacz możliwą, wg teorii Plancka, energię oscylatora kwantowego o częstotliwości

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- 82,8 eV

- 13,4 eV

- 101 eV

- 23,1 eV

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 7

Skorzystaj z Prawa Plancka i oblicz radiancję spektralną Słońca dla długości fali 100 nm, 200 nm, 300 nm, 500 nm, 700 nm, 1000 nm, 2000 nm i 3000 nm. Temperatura powierzchni Słońca wynosi ok 5800 K. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego lub innego oprogramowania umożliwiającego wykonanie obliczeń i rysowanie wykresów (np. gnuplot). Czy otrzymałeś znajomy rozkład natężenia, charakterystyczny dla ciała doskonale czarnego? Odczytaj z wykresu położenie maksimum rozkładu. Podaj położenie maksimum z dokładnością do 50 nm.

Odpowiedź: Maksimum rozkładu znajduje się w                nm.

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość kwantu energii klocka o masie = 0,5 kg zawieszonego na sprężynie, wykonującego drgania o amplitudzie = 10 cm z częstotliwością = 5 Hz. Wynik podaj jako wielokrotność z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Z ilu kwantów składa się całkowita energia klocka? Wynik podaj jako wielokrotność liczby z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

Odpowiedzi:

Energia pojedynczego kwantu:

Całkowita energia klocka składa się z                kwantów.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Dla nauczyciela

Imię i nazwisko autora:

Aleksandra Fijałkowska

Przedmiot:

Fizyka

Temat zajęć:

Prawo Plancka

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum.

Rozszerzenie podstawy programowej obu zakresów.

Podstawa programowa:

Cele kształcenia - wymagania ogólne

I. Wykorzystanie pojęć i wielkości fizycznych do opisu zjawisk oraz wskazywanie ich przykładów w otaczającej rzeczywistości.

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.

Zakres podstawowy

Treści nauczania - wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe.

Uczeń:

6) tworzy teksty, tabele, diagramy lub wykresy, rysunki schematyczne lub blokowe dla zilustrowania zjawisk bądź problemu; właściwie skaluje, oznacza i dobiera zakresy osi;

14) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik zgodnie z zasadami zaokrąglania oraz zachowaniem liczby cyfr znaczących wynikającej z dokładności pomiaru lub z danych;

X. Fizyka atomowa. Uczeń:

1) analizuje na wybranych przykładach promieniowanie termiczne ciał i jego zależność od temperatury.

Temat lekcji rozszerza w/w punkt podstawy programowej.

Zakres rozszerzony

Treści nauczania - wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe.

Uczeń:

6) tworzy teksty, tabele, diagramy lub wykresy, rysunki schematyczne lub blokowe dla zilustrowania zjawisk bądź problemu; właściwie skaluje, oznacza i dobiera zakresy osi;

16) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik zgodnie z zasadami zaokrąglania oraz zachowaniem liczby cyfr znaczących wynikającej z dokładności pomiaru lub z danych;

XI. Fizyka atomowa. Uczeń:

1) analizuje na wybranych przykładach promieniowanie termiczne ciał i jego zależność od temperatury. Temat lekcji rozszerza w/w punkt podstawy programowej.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

Zalecenie Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje cyfrowe,

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. wypowiada prawo Plancka.

2. formułuje założenia Plancka, w tym koncepcję dyskretnej energii oraz stanów kwantowych

3. wyznacza wartość kwantu energii klasycznego oscylatora harmonicznego,

4. stosuje równanie Plancka do wyznaczenia natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego dla jednej długości fali.

Strategie nauczania:

IBSE

Metody nauczania:

wykład informacyjny

Formy zajęć:

praca zespołow

Środki dydaktyczne:

tablica

Materiały pomocnicze:

-

PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Wprowadzenie zgodne ze wstępem – nauczyciel opowiada o zjawisku emisji promieniowania elektromagnetycznego przez rozgrzane obiekty oraz podkreśla, że efekt ten nie da się wytłumaczyć na gruncie fizyki klasycznej. Następnie nauczyciel robi krótkie wprowadzenie do pojęcia ciała doskonale czarnego oraz jego najpopularniejszego modelu, czyli wnęki z niewielkim otworem. Nauczyciel przedstawia badania Planka, jako pracę wyjaśniającą promieniowanie ciała doskonale czarnego oraz zapoczątkowującą nowe spojrzenie na fizykę.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prezentuje prawo Plancka i wyjaśnia wyrazy znajdujące się we wzorze.

2. Nauczyciel przedstawia postulaty Plancka, ze szczególnym naciskiem na zrozumienie idei dyskretnej energii, nauczyciel posługuje się przykładem z drabiną opisanym w tekście.

3. Nauczyciel zachęca uczniów, aby zastanowili się, dlaczego w życiu codziennym pbserwowane typowo energie wydają się być ciągłe.

Faza podsumowująca:

Uczniowie obliczają całkowitą energię klastycznego oscylatora, opisanego w tekście e-materiału oraz liczbę kantów energii na nią się składających. Uczniowie odpowiadają na pytanie nauczyciela z punktu 3 fazy realizacyjnej.

Nauczyciel ocenia pracę uczniów rozwiązujących zadania dając im informację zwrotną odnośnie ich wiedzy.

Praca domowa:

W ramach pracy domowej uczniowie oglądają załączony filmik oraz wyznaczają energię emitowaną w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię Słońca dla fali o długości 500 nm.

Chętni uczniowie mogą wyznaczyć tą wielkość dla kilku długości fali i następnie narysować jej wykres. Do tego zadania można też wykorzystać komputer z arkuszem kalkulacyjnym lub programem rysującym wykresy (np. gnuplot).

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium:

Film samouczek może być wykorzystany na lekcji w fazie wprowadzającej w celu sprowokowania do dyskusji.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela