Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia nurkującą kobietę.

Odległość punktu od płaszczyzny

Źródło: Jeremy Bishop, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

W tej lekcji skupimy się na wyznaczaniu odległości punktu od płaszczyzny. Chociaż definicja odległości punktu od płaszczyzny jest podobna do definicji odległości punktu od prostej (gdy obie figury leżą na jednej płaszczyźnie), to fakt rozważania sytuacji w przestrzeni trójwymiarowej stwarza zupełnie nowe możliwości. Omówimy tutaj zastosowania tego pojęcia odwołując się również do znanych ze szkoły podstawowej wielościanów.

Twoje cele

- Wyznaczysz odległość punktu od płaszczyzny.

- Zastosujesz pojęcie odległości punktu od płaszczyzny do rozwiązywania zadań z geometrii przestrzennej.

Przeczytaj

Odległość punktu od płaszczyzny będziemy oznaczać .

Jeśli punkt leży na płaszczyźnie , to jego odległość od tej płaszczyzny jest równa .

Jeśli punkt nie leży na płaszczyźnie , to jego odległość od jest równa długości najkrótszego odcinka, którego jednym z końców jest , zaś drugim punkt płaszczyzny .

Łatwo zauważyć, że najkrótszy odcinek łączący z punktem płaszczyzny jest do niej prostopadły.

, bo

Rozważmy punkty oraz należące do płaszczyzny takie, że odcinek jest do niej prostopadły. Wówczas trójkąt jest prostokątny i . Ponieważ naprzeciwko kąta o mniejszej mierze leży krótszy bok, więc z tego, że wynika, iż .

Przykład 1

Rozważmy prostopadłościan o krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka, które mają długości , , i wierzchołkach jak na rysunku.

Odległość każdego z punktów , , , od płaszczyzny jest równa . Odległość każdego z punktów , , , od płaszczyzny jest równa . Odległość każdego z punktów , , , od płaszczyzny jest równa .

Przykład 2

Punkty i  leżą na płaszczyźnie . Odcinki i  są prostopadłe do tej płaszczyzny i mają odpowiednio długości i . Uzasadnimy, że proste i  przecinają się w jednym punkcie oraz obliczymy odległość tego punktu od płaszczyzny .

Rozwiązanie

Możemy zauważyć, że ponieważ proste i  są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, którą jest , to są one równoległe. Wynika stąd, że leżą na jednej płaszczyźnie – nazwijmy ją . Oznacza to, że proste i  też leżą na płaszczyźnie , więc przecinają się w jednym punkcie, nazwijmy go .

Zauważmy teraz, że możliwe są dwa przypadki położenia punktów i  względem płaszczyzny :

I. Punkty i  leżą po tej samej stronie płaszczyzny .

Ponieważ proste i  są równoległe, więc kąty i  mają równe miary (kąty naprzemianległe). Również kąty i  mają równe miary (kąty odpowiadające). Na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąt jest podobny do trójkąta oraz trójkąt jest podobny do trójkąta . Z powyższych podobieństw wynikają stosunki:

oraz

czyli

oraz .

Z pierwszej równości mamy

zaś z drugiej

.

Możemy teraz podstawić do równości :

Zatem odległość punktu od płaszczyzny to .

II. Punkty i  leżą po różnych stronach płaszczyzny .

W tym przypadku możemy zauważyć, że kąty oraz mają równe miary jako kąty wierzchołkowe. Zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt podobne są trójkąty i . Jako że kąt jest kątem wspólnym trójkątów prostokątnych i , to na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty również są podobne.

Z podobieństw tych wynikają stosunki:

oraz .

Po podstawieniu otrzymujemy odpowiednio

oraz .

Z pierwszego równania mamy , co możemy podstawić do drugiego równania:

, które po przekształceniach daje kolejno

Zatem odległość punktu przecięcia prostych i  od płaszczyzny w tym przypadku jest równa .

Uwaga!

W rozwiązaniu powyższego zadania można posłużyć się znanym faktem z geometrii płaszczyzny. Jeśli poprowadzimy prostą równoległą do podstaw i  trapezu , która przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych tego trapezu i przecina ramiona i  w punktach i , to każdy z odcinków i  ma długość .

Przykład 3

Zauważmy, że zbiór wszystkich punktów przestrzeni trójwymiarowej, których trzecia współrzędna jest równa , czyli punktów o współrzędnych , tworzy płaszczyznę:

Zatem płaszczyzna na rysunku powyżej ma równanie .

Odległość punktu od płaszczyzny o równaniu jest równa .

Słownik

odległość punktu od płaszczyzny

jeśli dany punkt leży na płaszczyźnie , to jego odległość od jest równa , jeśli punkt nie leży na płaszczyźnie , to jego odległość od jest równa odległości od jego rzutu prostokątnego na

Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje i przykłady zawarte w prezentacji multimedialnej. Na ich podstawie wykonaj polecenie.

Slajd pierwszy. Napis, odległość punktu od płaszczyzny. Ilustracja przedstawia płaszczyznę pi oraz punkt X znajdujący się nad płaszczyzną. Punkt X został zrzutowany na płaszczyznę pi i powstał punkt X prim. Zaznaczono również punkt Y. Y równa się Y prim. Obok ilustracji napis d nawias X średnik pi koniec nawiasu równa się wartość bezwzględna z odcinka X X prim. Jeżeli punkt leży na płaszczyźnie to jego odległość od tej płaszczyzny równa jest zero. Jeżeli punkt nie leży na płaszczyźnie, to jego to jego odległość od tej płaszczyzny jest równa odległości od jego rzutu prostokątnego na tę płaszczyznę. Slajd drugi. Napis, odległość wierzchołka od płaszczyzn ścian graniastosłupa prostego. Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty trójkątny A B C G H I, gdzie wierzchołek A znajduje się nad punktem G, wierzchołek B nad H, wierzchołek C nad I oraz płaszczyznę przechodzącą przez dolną podstawę A B C. Na środku odcinka G I zaznaczono punkt H prim. Odległość punktu H od płaszczyzny A B C jest równa wysokości graniastosłupa, czyli długości odcinka H B. Odległość punktu H od płaszczyzny A B G H jest równa zero. Odległość punktu H od płaszczyzny A C I G jest równa odległości od H prim rzutu prostokątnego H na tę płaszczyznę czyli długości odcinka H H prim. Slajd trzeci. Napis, odległość wierzchołka od płaszczyzny ścian ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Rozważmy ostrosłup trójkątny prawidłowy. Odległość każdego wierzchołka od płaszczyzny ściany zawierający ten wierzchołek jest równy zero. Odległość każdego wierzchołka od płaszczyzny ściany nie zawierającej tego wierzchołka jest wysokością tego ostrosłupa. Ilustracja przedstawia dwa ostrosłupy prawidłowe A B C D i A B C E. W pierwszej bryle płaszczyzna zawiera się w podstawie C B D, na płaszczyznę zrzutowano punkt A tworząc punkt A prim. Odcinek A A prim jest wysokością ostrosłupa. Płaszczyzna w drugiej ilustracji zawarta jest w podstawie A B C, na płaszczyznę zrzutowano punkt E tworząc punkt E prim. Odcinek E E prim jest wysokością drugiej bryły. Slajd czwarty. Ilustracja przedstawia dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne A B C D F. Pierwsza bryła posiada płaszczyznę zawartą w podstawie A B C D, został zrzutowany punkt F tworząc punkt E. odciek F E jest wysokością bryły. Druga bryła posiada płaszczyznę zawartą wewnątrz ściany bocznej B C F. Zrzutowano punkt A tworząc punkt A prim. Napis, odległość wierzchołka od płaszczyzn ścian ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Odległość każdego wierzchołka od płaszczyzny ściany zawierający ten wierzchołek jest równa zero. Odległość wierzchołka nie należącego do podstawy od płaszczyzny podstawy jest równa wysokości tego ostrosłupa. Odległość wierzchołka podstawy od płaszczyzny ściany bocznej go nie zawierającej jest równa jego odległości od swojego rzutu prostokątnego na tę płaszczyznę. Slajd piąty. Napis, odcinek przebijający płaszczyznę. Ilustracja przedstawia odcinek A B o długości c przebijający płaszczyznę w punkcie S. Niech A prim i  B prim oznaczają rzuty prostokątne na tę płaszczyznę. Odcinek B S ma długość c minus x, natomiast odcinek A S ma długość x. Oznaczono również odcinek B B prim jako b oraz odcinek A A prim jako a. Wówczas możemy zauważyć że trójkąty A A prim S oraz B B prim S są podobne na mocy cechy kąt, kąt, kąt. Znając odległości punków A i B od płaszczyzny możemy obliczyć między innymi długość rzutu A B na tę płaszczyznę. Pod ilustracją, z podobieństwa trójkątów A A prim S i B B prim S otrzymujemy, , czyli , , , , . Slajd piąty. Napis, odcinek przebijający płaszczyznę. Z twierdzenia pitagorasa w trójkącie A pirm B prim B, . Ilustracja przedstawia ten sam rysunek co w poprzednim slajdzie. Dodano jedynie punkt B indeks dolny jeden koniec indeksu znajdujący się pod punktem B prim oraz na tej samej wysokości co punkt A. Powstał trójkąt A B indeks dolny jeden koniec indeksu B. Długość odcinka A B indeks dolny jeden koniec indeksu jest równa odcinkowi A prim B prim, natomiast długość odcinka B indeks dolny jeden koniec indeksu jest równy odcinkowi A A prim. Jeśli chcemy obliczyć tylko długość rzutu A B na płaszczyznę to wystarczy rozważyć tylko trójkąt A B indeks dolny jeden koniec indeksu B. Punkt B indeks dolny jeden koniec indeksu leży na prostej B B prim po tej samej stronie i w tej samej odległości od płaszczyzny co punkt A. Slajd szósty. Napis, odcinek nieprzebijający płaszczyzny. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie A B C, . Rozważmy odcinek A B o długości c nie przebijający płaszczyzny. Jeśli znamy odległości końców odcinka A B od tej płaszczyzny, to możemy obliczyć długość rzutu odcinka A B na tę płaszczyznę. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C oddalony od płaszczyzny pi. Odcinki A C i B C są przyprostokątnymi, natomiast odcinek A B to przeciwprostokątna. Punkty A i B zostały zrzutowane na płaszczyznę dzięki czemu powstał prostokąt A A prim B prim C. Odcinek B pirm C ma długość a, odcinek A A prim ma również długość a, odcinek B B prim ma długość, natomiast odcinek B C ma długość wartość bezwzględna b odjąć a koniec wartości bezwzględnej. Slajd ósmy. Napis, kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny, odcinek nie przebija płaszczyzny. Sinus kąta nachylenia do płaszczyzny odcinka A B o długości c i końcach odległych od płaszczyzny o a i b. . Znając długość odcinka nie przebijającego płaszczyznę oraz odległości jego końców od płaszczyzny, możemy wyznaczyć sinus kąta nachylenia tego kąta do niej. Ilustracja z poprzedniego slajdu. Jedyną zmianą jest przedłużenie odcinka A B w taki sposób, że prosta przecina płaszczyznę w punkcie C. Powstał trójkąt prostokątny B prim B C, z zaznaczonym kątem alfa przy wierzchołku C. Slajd dziewiąty. Napis, kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny, odcinek przebija płaszczyznę. Sinus kąta nachylenia do odcinka A B o długości c i końcach odległych od płaszczyzny o a i b. . Znając długość odcinka przebijającego płaszczyznę oraz odległości jego końców od płaszczyzny możemy wyznaczyć sinus kąta nachylenia tego odcinka do niej. Ilustracja przedstawia Odcinek A B przechodzący przez płaszczyznę w punkcie C. Nad odcinkiem B utworzono punkt B indek dolny jeden koniec indeksu, natomiast punkty A i B zostały zrzutowane na płaszczyznę tworząc punkty A prim i B prim. Zostały utworzone trzy trójkąty, trójkąt A C A prim, trójkąt C B prim B oraz trójkąt A  prim B prim B indeks dolny jeden koniec indeksu. Zaznaczono także kąt alfa przy wierzchołku A prim oraz C. Odcinek A A pirm oraz B B indeks dolny jeden koniec indeksu mają tę samą długość równą a, natomiast odcinek B B prim ma długość b. Odcinek A prim B indeks dolny jeden koniec indeksu ma długość c. Slajd dziesiąty. Napis odległość punktu od płaszczyzny w układzie współrzędnych. Łatwo wyznaczyć odległości danego punktu od płaszczyzn wyznaczonych przez osie układów współrzędnych oraz od płaszczyzn do nich równoległych. W ogólnym przypadku jest to trochę bardziej skomplikowane. Odległość punktu o współrzędnych nawias a średnik b średnik c koniec nawiasu od płaszczyzny o równaniu x równa się zero jest równa wartość bezwzględna z a. od płaszczyzny o równaniu y równa się zero jest równa wartość bezwzględna z b oraz od płaszczyzny o równaniu z równa się zero jest równa wartość bezwzględna z c. Na ilustracji znajduje się trójwymiarowy układ współrzędnych z osią X od minus siedmiu do siedmiu, z osią Y od minus siedmiu do siedmiu oraz z osią Z od minus trzech do sześciu. Na układzie współrzędnych zaznaczono również prostopadłościan oraz trzy płaszczyzny zawierające się w bokach prostopadłościanu.

Polecenie 2

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

Pytanie

Dany jest ostrosłup prawidłowy o podstawie . Wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają długość . Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

Odcinek o długości jest nachylony do płaszczyzny pod kątem . Odległości końców tego odcinka od są równe i . Długość rzutu prostokątnego tego odcinka na jest równa:

Odległość punktu od płaszczyzny o równaniu jest równa:

Polecenie 3

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Odległość punktu od płaszczyzny jest równa . Płaszczyzna może mieć równanie:

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest prostopadłościan o wymiarach , , jak na rysunku.

Ćwiczenie 2

Dany jest ostrosłup prawidłowy jak na rysunku.

Oceń prawdziwość zdań.

Prawda

Fałsz

Odległość punktu od płaszczyzny jest mniejsza niż długość odcinka .

Odległość środka odcinka od płaszczyzny jest większa niż długość odcinka .

Odległość punktu od płaszczyzny jest równa długości odcinka .

Ćwiczenie 3

Dany jest ostrosłup prawidłowy o podstawie . Wszystkie jego krawędzie mają długość . Oblicz odległość punktu od płaszczyzny .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Punkt leży poza płaszczyzną , zaś punkty i  leżą na tej płaszczyźnie. Niech oznacza rzut prostokątny na . Wiadomo, że , , zaś długość rzutu prostokątnego na to . Oblicz długość rzutu prostokątnego na .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 5

Odcinek przebija płaszczyznę w punkcie . Niech i  będą rzutami prostokątnymi punktów i  na .

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Prawda

Fałsz

Trójkąt jest prostokątny.

Trójkąt jest prostokątny.

Trójkąt jest prostokątny.

Trójkąty i  są podobne.

Trójkąty i  są podobne.

Trójkąty i  są podobne.

Ćwiczenie 6

Odcinek ma długość i przebija płaszczyznę w punkcie . Odległości punktów i  od są równe odpowiednio i . Niech i  oznaczają rzuty prostokątne punktów i  na .

Przeciągnij poprawne liczby w odpowiednie miejsca.

Długość odcinka wynosi:, Długość odcinka wynosi:, Długość odcinka wynosi:, Długość odcinka wynosi:, Długość rzutu na wynosi:

Długość odcinka

Liczba

Długość odcinka wynosi:

Długość odcinka wynosi:

Długość odcinka wynosi:

Długość odcinka wynosi:

Długość rzutu na wynosi:

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Odcinek leży na płaszczyźnie . Odcinek jest prostopadły do . Odcinek jest nachylony do pod kątem i jest prostopadły do . Ponadto , , . Oblicz . Rozważ przypadek, w którym punkty i  leżą po tej samej stronie płaszczyzny .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Odległość punktu od płaszczyzny

Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne:

Uczeń;

- definiuje pojęcie rzutu prostokątnego punktu na płaszczyznę;

- wyznacza rzut prostokątny na płaszczyznę;

- tworzy algorytm wyznaczający odległość punktu od płaszczyzny i jego wyprowadzenie.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm;

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- dyskusja;

- metoda krokodyla;

- metoda tekstu przewodniego.

Formy pracy:

- praca indywidualna;

- praca w parach;

- praca w grupach;

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

- zasoby multimedialne zawarte w e-materiale;

- tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

1. Uczniowie zapoznają się z medium w sekcji „Prezentacja multimedialna”.

Faza wstępna:

1. Prowadzący wyświetla na tablicy interaktywnej zawartość sekcji „Wprowadzenie” i omawia cele do osiągnięcia w trakcie lekcji w temacie: „Odległość punktu od płaszczyzny”.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie metodą tekstu przewodniego analizują treści z sekcji „Przeczytaj”. Po zapoznaniu się z każdym z przykładów zgłaszają pytania i napotkane ewentualne problemy, które omawiane są na forum klasy.

2. Uczniowie indywidualnie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, metodą krokodyla. Krokodylem jest nauczyciel, który „czeka nieruchomo na brzegu rzeki” i „ożywia się” tylko w przypadku, gdy uczeń nie może sobie poradzić z zadaniem.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, zwracając uwagę na nabyte umiejętności.

Praca domowa:

1. Uczniowie zapoznają się z medium w sekcji „Prezentacja multimedialna” i rozwiązują polecenia z nim związane.

Materiały pomocnicze:

- Punkty, proste i płaszczyzny w przestrzeniOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

- Nauczyciel może wykorzystać medium w sekcji „Prezentacja multimedialna” do pracy przed lekcją. Uczniowie zapoznają się z jego treścią i przygotowują do pracy na zajęciach w ten sposób, żeby móc samodzielnie rozwiązać zadania w temacie „Odległość punktu od płaszczyzny”.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Dla nauczyciela