Spis treści

Ciągi – własności ciągów arytmetycznych

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące ciągów arytmetycznych. Przypomnisz sobie podstawowe wiadomości na ich temat i poznasz twierdzenia dotyczące ich własności.

Przykład 1

Rozważmy dowolny ciąg arytmetyczny

określony dla i dowolnie wybrany jego wyraz .

Poszukamy zależności pomiędzy wyrazem

ciągu oraz wyrazami z nim sąsiadującymi, czyli wyrazem o numerze o jeden mniejszym oraz wyrazem o numerze o jeden większym . Zauważmy, że są to trzy kolejne wyrazy ciągu. Różnica pomiędzy kolejnymi dwoma wyrazami jest stała.

Mamy więc

,

stąd

.

Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg

jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich

dla .

Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

.

Polecenie 1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PJBZsymREOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania związanego z ciągiem arytmetycznym, wykorzystujące jego własności.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rkn1tWyCwIbn7Otwiera się w nowym oknie

Ciag arytmetyczny i jego własnosci_3084

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania związanego z ciągiem arytmetycznym, wykorzystujące jego własności.

Przykład 3

Sprawdź, czy ciąg

jest arytmetyczny.

Ponieważ

, więc ten ciąg jest arytmetyczny.

Przykład 4

Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania związanego z ciągiem arytmetycznym, wykorzystujące jego własności.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Re1ip92VNg5XhOtwiera się w nowym oknie

Ciag arytmetyczny i jego własnosci_3085

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania związanego z ciągiem arytmetycznym, wykorzystujące jego własności.

Zauważmy, że twierdzenie możemy uogólnić. Wybierzmy dowolny wyraz

, który nie jest pierwszym ani ostatnim wyrazem ciągu, a następnie całkowitą dodatnią liczbę . Mamy wówczas

,

,

.

Wtedy

.

Możemy zatem sformułować twierdzenie.

Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego

oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej mamy

.

Zauważmy, że wyrazy

, , są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy . Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Polecenie 2

Wyrazy ciągu można przedstawić w układzie współrzędnych jako punkty leżące na płaszczyźnie, gdzie pierwszą współrzędną jest numer wyrazu ciągu, a drugą współrzędną jest jego wartość. Na podstawie tych informacji wykonaj poniższe polecenie.

Animacja prezentuje dwa punkty ciągu arytmetycznego o współrzędnych (1, 7) i (5, -1), które są pierwszym i piątym wyrazem ciągu. W kolejnych krokach należy: znaleźć średnią arytmetyczną danych wyrazów ciągu i zaznaczyć na wykresie trzeci wyraz ciągu, znaleźć średnią arytmetyczną pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu i zaznaczyć na wykresie drugi wyraz ciągu, znaleźć średnią arytmetyczną trzeciego i piątego wyrazu ciągu i zaznaczyć na wykresie czwarty wyraz ciągu. Zauważamy, że punkty tworzą ciąg o wzorze ogólnym (a z indeksem dolnym n) =9 -2n.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PJBZsymREOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz piąty jest równy

, a wyraz piętnasty . Oblicz wyraz dziesiąty.

.

Ćwiczenie 1

Jaką liczbę należy wpisać pomiędzy liczby i , żeby otrzymać trzywyrazowy ciąg arytmetyczny? Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Należy wpisać liczbę    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 2

Liczby , , w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym . Oblicz i  oraz zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- ,

- ,

- ,

- ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Wyszukaj pary tak, aby powstał ciąg arytmetyczny.

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Liczby

, , są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 5

Dla pewnych liczb i  wartości wyrażeń , , , są czterema początkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego . Wyznacz liczby i , a następnie piąty wyraz tego ciągu. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- , ,

- , ,

- , ,

- , ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Nieskończony ciąg liczbowy

określony jest wzorem . Wyznacz taką liczbę , dla której ciąg jest arytmetyczny.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

ciąg jest arytmetyczny.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Liczby , , w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Ile wynosi ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Jaką liczbę należy wstawić pomiędzy liczby oraz , żeby wraz z nimi utworzyła trzywyrazowy ciąg arytmetyczny? Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 10

Wyznacz liczbę

, dla której liczby , , w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 11

Liczby

, , są w podanej kolejności trzema pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz .

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 12

Ciąg

jest arytmetyczny dla pewnej liczby . Wyznacz tę liczbę.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 13

Ciąg jest arytmetyczny. Wyznacz i  oraz oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- , ,

- , ,

- , ,

- , ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 14

Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe

, dla których liczba , podwojona cyfra jej jedności i podwojona cyfra jej dziesiątek są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 15

Wiedząc, że w pewnym ciągu arytmetycznym mamy oraz , wyznacz czternasty wyraz tego ciągu. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Czternasty wyraz ciągu wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 16

W pewnym ciągu arytmetycznym oraz . Znajdź . Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

Wartość wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 17

Niech

, , będą dowolnymi dodatnimi liczbami, takimi że ciąg jest arytmetyczny. Udowodnij, że ciąg liczb też jest arytmetyczny.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie