Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie przedstawia krople na płaszczyźnie. Krople mają kształt kawałka odciętej sfery lub zaokrąglonych czapeczek.

Objętość brył podobnych

Źródło: Tomek Walecki, dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Bryły podobne spotykamy w życiu codziennym dość często. Przyjrzyjmy się architekturze – tutaj znajdziemy bardzo dużo przykładów takich brył. Różnią się kolorem elewacji czy dachu, ale ich kształt jest podobny a wymiary proporcjonalne.

W tym materiale skupimy się na porównywaniu objętości brył podobnych.

Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Twoje cele

- Poznasz zależność pomiędzy skalą podobieństwa brył a stosunkiem ich objętości.

- Obliczysz skalę podobieństwa brył podobnych o danych objętościach.

- Obliczysz objętość brył podobnych.

- Wykorzystasz zależności między objętościami brył podobnych w obliczeniach dotyczących ostrosłupów i stożków ściętych

Przeczytaj

Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej bryły.

Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnych nazywamy skalą podobieństwa.

Przykład 1

Rozpatrzmy teraz dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędziach podstawy długości i  i wysokościach odpowiednio i .

Są to bryły podobne. Skala podobieństwa większej z nich do mniejszej wynosi .

Policzmy ich objętości.

Ich stosunek wynosi więc: .

Twierdzenie: o zależności pomiędzy objętością a skalą podobieństwa brył podobnych

Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa , to stosunek ich objętości jest równy .

Przykład 2

Dane są dwie kule. Objętość pierwszej jest równa , a druga ma promień razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Obliczmy objętość drugiej kuli.

Rozwiązanie:

Dwie kule są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi . Zatem stosunek ich objętości wynosi . Objętość drugiej kuli wynosi więc .

Przykład 3

Uzasadnijmy, że stożek o wysokości długości i polu powierzchni całkowitej nie jest podobny do stożka o tworzącej długości i objętości .

Rozwiązanie:

Rozważmy dwa stożki.

Niech – długość promienia pierwszego stożka, – długość tworzącej pierwszego stożka. Wówczas otrzymujemy równanie:

Wiemy, że pole tego stożka wynosi , więc

Zatem

Porównajmy tworzące naszych stożków:

Zatem objętość pierwszego stożka powinna być mniejsza razy od objętości drugiego stożka. Sprawdźmy to:

Oznacza to, że stożki nie są podobne.

Przykład 4

Stożek o objętości przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku , licząc od wierzchołka. Obliczymy objętości brył powstałych w wyniku tego podziału.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Trójkąty i  są podobne . Skala ich podobieństwa wynosi .

Zatem stożki są podobne w tej samej skali.

Stosunek ich objętości wynosi więc .

Objętość małego stożka wynosi , objętość stożka ściętego wynosi

Bryły powstałe w wyniku podziału mają więc objętości równe i .

Przykład 5

Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył, wiedząc, że pole przekroju stanowi pola podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Niech – pole podstawy ostrosłupa, - wysokość ostrosłupa. Wówczas pole przekroju wynosi .

Jako  oznaczmy skalę podobieństwa ostrosłupów i .

Stosunek pól ich podstaw wynosi . Zatem mamy:

Objętość wyjściowego ostrosłupa wynosi . Objętość ostrosłupa wynosi zatem:

.

Objętość pozostałej części bryły wynosi więc:

Stosunek objętości otrzymanych brył wynosi zatem:

.

Przykład 6

Pola podstaw stożka ściętego wynoszą  i , jego wysokość wynosi zaś . Wykażmy, że objętość tej bryły wynosi .

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy. Stożek ścięty powstał poprzez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do podstawy.

Oznaczmy jako wysokość stożka .

Niech - pole górnej podstawy, - pole dolnej podstawy.

Stożki i  są podobne. Skalę ich podobieństwa oznaczmy jako . Wówczas:

Oznaczmy jako - promień stożka , a  - promień stożka .

Wiemy, że , czyli oraz , co daje, że . Z podobieństwa brył powstaje proporcja:

Obliczmy objętości naszych stożków.

Objętość stożka :

Objętość stożka :

Zatem objętość stożka ściętego wynosi:

Usuńmy niewymierność z mianownika:

Słownik

odcinki proporcjonalne

jeżeli dane są cztery odcinki , , ,  takie, że stosunek pierwszych dwóch jest równy stosunkowi dwóch ostatnich , to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję ;

w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

figury podobne

figury, których stosunek długości każdej pary odpowiadających sobie odcinków jest stały

Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Zwróć uwagę ile wynosi stosunek objętości brył podobnych.

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący objętości brył podobnych.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DZBq2Nr5LOtwiera się w nowym oknie

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący objętości brył podobnych.

Polecenie 2

Stożek o objętości  podzielono na cztery części o równych wysokościach, przecinając ten stożek płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny podstawy stożka. Oblicz objętość każdej części.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Ustawiono wieżę z pięciu sześciennych klocków, z których każdy kolejny ma krawędź dwa razy większą niż poprzedni. Pole powierzchni całkowitej największego z klocków wynosi . Objętość wieży wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

Płaszczyzna równoległa do podstawy stożka dzieli jego wysokość w stosunku , licząc od wierzchołka. Pole otrzymanego przekroju jest mniejsze od pola podstawy stożka o . Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłową odpowiedź.

1. Skala podobieństwa stożka powstałego poprzez przekrój bryły płaszczyzną do wyjściowego stożka wynosi    .

2. Promień wyjściowego stożka ma długość    .

3. Pole podstawy stożka wynosi    .

4. Jeśli objętość wyjściowego stożka wynosi , to objętość stożka ściętego wynosi    .

Ćwiczenie 4

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego wynosi , a pole równoległego do niej przekroju jest równe . Odległość między płaszczyzną podstawy a płaszczyzną przekroju jest równa . Objętość tej bryły wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 5

Podstawami stożka ściętego są koła o promieniach i , a odległość między płaszczyznami podstaw jest równa . Stożek ten został podzielony płaszczyzną równoległą do jego podstaw na dwie bryły podobne.

Określ, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Zdanie

Prawda

Fałsz

Skala podobieństwa powstałych brył wynosi .

Objętość mniejszej bryły wynosi .

Objętość większej bryły jest większa o  od objętości mniejszej z nich.

Ćwiczenie 6

Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o . O ile procent wzrosła objętość balonu?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- O .

- O .

- O .

Ćwiczenie 7

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa , są trójkątami równobocznymi. Płaszczyzna równoległa do podstawy dzieli wysokość w stosunku , licząc od wierzchołka. Stosunek objętości brył otrzymanych w wyniku podziału wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 8

Dany jest stożek o wysokości i kącie rozwarcia . Płaszczyzna równoległa do podstawy stożka podzieliła go na dwie bryły o równych objętościach. Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałego stożka ściętego.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Grażyna Kiełczykowska

Przedmiot: Matematyka

Temat zajęć: Objętość brył podobnych

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje cyfrowe.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- rozpoznaje zależność pomiędzy skalą podobieństwa brył a stosunkiem ich objętości,

- wyznacza skalę podobieństwa brył podobnych,

- oblicza objętość brył podobnych,

- wykorzystuje zależności między objętościami brył podobnych w obliczeniach dotyczących ostrosłupów i stożków ściętych.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm,

metody nauczania:

- dyskusja,

- metoda tekstu przewodniego,

- rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych.

Formy zajęć:

- praca indywidualna,

- praca w grupach,

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda grupa uczniów miała do dyspozycji komputer, najlepiej w pracowni komputerowej; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wprowadzająca:

1. Nauczyciel pokazuje uczniom modele brył, które są parami podobne.

2. Nauczyciel prosi o scharakteryzowanie tych brył, podanie cech wspólnych.

3. Nauczyciel prosi o zastanowienie się, jak policzyć objętość brył podobnych.

4. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w parach metodą tekstu przewodniego analizują przykłady w części „Przeczytaj”.

2. Nauczyciel prosi uczniów, aby uczniowie otworzyli animację 3D i wspólnie przeanalizowali podane tam przykłady.

3. Nauczyciel prosi uczniów o rozwiązanie zadania pod animacją. Uczniowie pracują w parach.

4. Uczniowie wspólnie omawiają wynik.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca uczniom wykonać te ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane podczas lekcji.

Materiały pomocnicze:

- Stosunek pól figur podobnychOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Przykłady zawarte w animacji 3D mogą posłużyć jako powtórzenie materiału przed sprawdzianem.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela