Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia domki szeregowe ustawione na wzniesieniu. W oknach domów świecą się światła. Nad domami jest gwieździste niebo.

Podobieństwo brył

Źródło: dostępny w internecie: pxfuel.com, domena publiczna.

W matematyce często spotykamy się z figurami podobnymi. Na rysunkach przedstawione są przykłady takich figur.

Figury te są podobne, gdyż ich odpowiednie boki są proporcjonalne a odpowiednie kąty mają równe miary. W praktyce oznacza to, że mają taki sam kształt, ale długości boków nie muszą być takie same.

W tym materiale dowiesz się, kiedy bryły są do siebie podobne.

Twoje cele

- Poznasz definicję brył podobnych.

- Obliczysz skalę podobieństwa brył podobnych.

Przeczytaj

Do podobieństwa brył podchodzimy w ten sam sposób, jak do podobieństwa figur płaskich. Zauważmy, że ściany brył są figurami płaskimi. Przeanalizujmy siatki kilku brył. To pomoże nam w zrozumieniu zależności pomiędzy bryłami podobnymi.

Zacznijmy od sześcianu.

Powierzchnia sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów.

- Dwa kwadraty są podobne. Co to oznacza?

- Czy dwa sześciany będą podobne?

Odpowiedź brzmi: tak! Sześciany są bryłami podobnymi.

Kolejna bryła to prostopadłościan.

Powierzchnia prostopadłościanu składa się z sześciu prostokątów.

- Dwa prostokąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są proporcjonalne.

- Zatem, co z prostopadłościanami? Kiedy będą bryłami podobnymi?

Przeanalizujmy jeszcze siatki czworościanów.

Powierzchnia czworościanu składa się z czterech trójkątów. Trójkąty są do siebie podobne, gdy ich boki są proporcjonalne.

- Czy zatem czworościany są bryłami podobnymi? Nie zawsze. Od czego to zależy?

Możemy więc odpowiedzieć na pytanie, kiedy dwie bryły są podobne? Bryły są podobne, gdy odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalne do odległości między odpowiadającymi im punktami w drugiej bryle.

Pamiętajmy, że aby stwierdzić podobieństwo brył, nie wystarczy sprawdzić proporcjonalności krawędzi. Poza proporcjonalnością odpowiednich krawędzi, musimy także zwrócić uwagę na kształt brył, które porównujemy. Na przykład: w graniastosłupach prostych o podstawie rombu odpowiadające sobie krawędzie mogą być proporcjonalne, ale kąty w podstawie mogą mieć różne miary. To już sprawia, że te bryły nie są podobne.

Tak jak w przypadku figur płaskich, skalę podobieństwa brył otrzymamy, dzieląc przez siebie długości odpowiadających sobie odcinków lub obwody odpowiadających sobie ścian. Pamiętajmy, że skala podobieństwa jest stała i z każdego otrzymanego stosunku boków lub obwodów musimy uzyskać taką samą wartość.

Przykład 1

Skala podobieństwa sześcianów wynosi . Obliczymy długość przekątnej większego sześcianu wiedząc, że krawędź podstawy mniejszego z nich ma długość .

Rozwiązanie

Niech  – długość boku większego sześcianu. Układamy równanie, wykorzystując skalę podobieństwa brył:

,

.

Zatem przekątna sześcianu ma długość .

Przykład 2

Dwa czworościany foremne są podobne w skali . Obliczmy wysokość większego z nich, jeśli krawędź mniejszego ma długość .

Rozwiązanie

Zacznijmy od obliczenia wysokości czworościanu foremnego o krawędzi .

Oznaczmy ją .

Oznaczmy  wysokość większego czworościanu foremnego. Wówczas mamy:

,

.

Wysokość większego czworościanu foremnego ma długość .

Przykład 3

Dane są dwa podobne stożki. Skala podobieństwa pól ich podstaw wynosi . Jaka jest skala podobieństwa tych stożków?

Rozwiązanie

Skala podobieństwa pól figur płaskich wynosi .

Stosunek promieni kół wynosi , więc skala podobieństwa stożków wynosi tyle samo.

Przykład 4

Dane są dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne. W jednym krawędź boczna o długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , w drugim ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens wynosi , a wysokość jego ściany bocznej ma długość . Sprawdź, czy te ostrosłupy są podobne. Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunki pomocnicze.

Zauważmy, że zaznaczony trójkąt jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Wówczas , czyli .

Połowa przekątnej podstawy też ma długość , cała przekątna więc ma długość , co oznacza, że krawędź podstawy możemy obliczyć z zależności: , stąd .

Narysujmy teraz drugi omawiany ostrosłup.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy .

Zatem krawędź podstawy ostrosłupa ma długość , a wysokość ostrosłupa ma długość .

Porównajmy odpowiednie odcinki w obu ostrosłupach:

,

.

Zatem ostrosłupy są podobne. Skala podobieństwa wynosi .

Przykład 5

Dane są dwa stożki. W jednym kąt rozwarcia stożka jest prosty, a promień podstawy ma długość . W drugim sinus kąta nachylenia tworzącej, o długości , do płaszczyzny podstawy wynosi .

Sprawdzimy, czy te stożki są podobne. Jeśli tak, podamy ich skalę podobieństwa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunki pomocnicze.

Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc , stąd orzymujemy .

Narysujmy drugi stożek.

Skoro , to znaczy, że , czyli .

Policzmy promień podstawy:

.

Porównajmy odpowiednie odcinki w obu stożkach:

Zatem stożki nie są podobne.

Słownik

odcinki proporcjonalne

jeżeli dane są cztery odcinki  takie, że stosunek pierwszych dwóch jest równy stosunkowi dwóch ostatnich , to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję

w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

figury podobne

figury, których odpowiadające sobie odcinki są proporcjonalne

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami brył. Zastanów się, czy są one podobne.

Jeśli tak, oblicz skalę podobieństwa.

Slajd 1 z 6

Grafika przedstawia graniastosłupy prawidłowe pięciokątne. Długość krawędzi bocznej mniejszego z nich jest równa 5, a krawędź podstawy ma długość trzy. Obok znajduje się większy ostrosłup, długość krawędzi bocznej mniejszego z nich wynosi 10, a krawędź podstawy ma długość pięć. Porównajmy długości podstaw z wysokościami graniastosłupów:.Najszybciej można sprawdzić poprawność proporcji poprzez pomnożenie ”na krzyż”. co oznacza, że odcinki nie są proporcjonalne, a bryły nie są podobne.

Zasób oparty o element wizualny.

1

Przejdź do następnego slajdu

Polecenie 2

Grafika pierwsza pokazała graniastosłupy prawidłowe pięciokątne, które nie są podobne. Jakie wymiary musi mieć graniastosłup, który będzie podobny do mniejszego z nich w skali ?

Pokaż rozwiązanie

Polecenie 3

Grafika ostatnia pokazała stożki, które nie są podobne. Jakie wymiary musi mieć stożek, który będzie podobny do wyższego z nich w skali ?

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Przeanalizuj ilustracje i wskaż zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Walce i  są bryłami podobnymi.

- Kule i  nie są bryłami podobnymi.

- Stożki i  są bryłami podobnymi.

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości i wysokości podobny do innego graniastosłupa w skali .

Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłowe odpowiedzi:

Tangens kąta nachylenia przekątnej większego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do przekątnej jego ściany bocznej wynosi    .

Stosunek długości przekątnych tych graniastosłupów wynosi    .

Ćwiczenie 4

Jaka jest skala podobieństwa brył przedstawionych na rysunku?

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 5

Rozpatrzmy dwa ostrosłupy prawidłowe sześciokątne, które są bryłami podobnymi. Ich kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę . Krawędź podstawy mniejszego z nich ma długość , a jego objętość wynosi . Jeśli wysokość większego z ostrosłupów ma długość , to skala podobieństwa brył wynosi:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 6

Kulę przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o promieniu o środku oddalonym od kuli o . Określ, czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.

Zdanie

Prawda

Fałsz

Promień kuli wynosi .

Kula o promieniu jest podobna do wyjściowej kuli w skali .

Kule mają pola odpowiednio i

Skala podobieństwa pól naszych brył podobnych wynosi .

Ćwiczenie 7

Rozpatrzmy dwa walce, o których wiemy, że:

- w pierwszym walcu tangens kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy wynosi . Przekątna ta ma długość  ,

- w drugim walcu sinus kąta pomiędzy odcinkiem łączącym środek dolnej podstawy z dowolnym punktem na okręgu górnej podstawy a wysokością walca wynosi  . Promień podstawy ma miarę .

Sprawdź, czy opisane walce są podobne. Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 8

Dane są dwa stożki podobne w skali  . Kąt rozwarcia większego z nich ma miarę . Kąt nachylenia tworzącej o długości  do płaszczyzny podstawy mniejszego stożka ma miarę . Oblicz objętości stożków. Wykaż, że ich stosunek wynosi .

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Grażyna Kiełczykowska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Podobieństwo brył

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- sprawdza, czy bryły są podobne;

- oblicza skalę podobieństwa brył podobnych;

- oblicza długości odcinków w bryłach wykorzystując ich podobieństwo.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

- pogadanka,

- analiza pomysłów,

- burza mózgów.

Formy pracy:

- praca indywidualna,

- praca w grupach,

- praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

- przykłady różnych brył o tym samym kształcie o różnych rozmiarach,

- komputery z dostępem do internetu,

- projektor multimedialny,

- e-podręcznik,

- arkusze papieru, pisaki.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

- Wprowadzenie do lekcji. Przypomnienie definicji figur podobnych.

- Poszukanie przykładów figur podobnych.

- Odpowiedź na pytanie, kiedy bryły będą podobne.

Faza realizacyjna:

- Pokazanie uczniom różnych brył o podobnych kształtach.

- Chętni uczniowie mierzą odpowiednie odcinki, tak aby je porównać. Odpowiadają na pytanie, czy odcinki są proporcjonalne.

- Podanie definicji brył podobnych.

- Uczniowie w parach oglądają przykłady brył, które są umieszczone w medium bazowym. Obliczają stosunek odpowiednich odcinków, sprawdzają, czy jest taki sam. Odpowiadają na pytanie, czy bryły są podobne.

Faza podsumowująca:

- Rozwiązanie testu sprawdź się, w którym zadania są zamknięte.

- Wspólna analiza odpowiedzi.

Praca domowa:

Rozwiązanie zadań otwartych z sekcji Sprawdź się.

Materiały pomocnicze:

- Figury podobneOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Uczeń może wykorzystać bryły z medium bazowego do obliczenia pól i objętości brył.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela