Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie przedstawia wiele wybudowanych bardzo blisko siebie budynków. Wszystkie są w kolorze białym, a ich dachy wykonano z pomarańczowej dachówki.

Stosunek pól powierzchni brył podobnych

Źródło: dostępny w internecie: pxfuel.com, domena publiczna.

Bryły podobne są kolejnym interesującym tematem, gdyż cały szereg takich brył możemy spotkać w rzeczywistości. W Paryżu zbudowano Piramidę Luwru, która jest podobna do Piramidy Cheopsa. Piramida w Rapie także ma przypominać egipskie piramidy. W tym materiale skupimy się na porównywaniu pól powierzchni brył podobnych.

Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, www.wikipedia.org, domena publiczna.

Twoje cele

- Poznasz zależność pomiędzy skalą podobieństwa brył a stosunkiem ich pól.

- Obliczysz skalę podobieństwa brył podobnych.

- Obliczysz pola brył podobnych.

Przeczytaj

Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej bryły.

Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnych nazywamy skalą podobieństwa.

Przykład 1

Rozpatrzymy teraz dwa sześciany o krawędziach długości odpowiednio i .

Są to bryły podobne. Ich skala podobieństwa wynosi .

Policzymy ich pola powierzchni całkowitej.

Stosunek pól mniejszej bryły do większej wynosi więc:

.

Twierdzenie: o powierzchni brył podobnych

Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa , to stosunek pól powierzchni tych brył jest równy .

Przykład 2

Dane są dwa sześciany. Pole powierzchni pierwszego z nich jest dziewięciokrotnie większe od pola powierzchni drugiego. Jaka jest skala podobieństwa większego z tych sześcianów do mniejszego?

Rozwiązanie

Z zadania wiemy, że stosunek pól powierzchni sześcianów wynosi , zatem jeśli skalę podobieństwa oznaczymy , to możemy zapisać równanie:

.

Zatem sześciany są podobne w skali .

Przykład 3

Dane są dwie kule. Pole pierwszej z nich wynosi . Druga kula ma promień dwa razy dłuższy niż pierwsza kula. Obliczymy pole drugiej kuli.

Rozwiązanie

Skoro promień drugiej kuli jest dwa razy większy od promienia pierwszej kuli, tzn. że skala podobieństwa tych brył wynosi . Zatem stosunek ich pól wynosi  .

Pole drugiej kuli (oznaczmy ) wynosi więc ,

czyli .

Przykład 4

Dane są dwa podobne stożki. Pole powierzchni całkowitej większego z nich jest o  większe od pola powierzchni całkowitej mniejszego z nich. Obliczymy wysokość większego stożka, jeśli wysokość mniejszego wynosi .

Rozwiązanie

Oznaczmy pole powierzchni mniejszego stożka jako . Wówczas pole większego z nich wynosi

.

Zatem stosunek pól wynosi , czyli .

Obliczmy więc wysokość większego stożka:

.

Przykład 5

Uzasadnimy, że stożek o promieniu długości  i polu powierzchni  jest podobny do stożka o wysokości długości  i objętości . Podamy skalę podobieństwa większego stożka do mniejszego.

Rozwiązanie

Obliczmy niezbędne długości w obydwu stożkach.

Stożek nr 1.

Stożek nr 2.

Analizując długości poszczególnych odcinków w stożkach zauważamy, że są one proporcjonalne. Wszystkie odcinki w drugim stożku są razy krótsze. Zatem skala podobieństwa .

Przykład 6

Na rysunkach przedstawiono dwa ostrosłupy prawidłowe sześciokątne. Wiadomo, że  , . Pokażemy, że są to bryły podobne oraz obliczymy skalę podobieństwa oraz stosunek pól podstaw obu brył.

Rozwiązanie

Aby porównać odpowiednie odcinki w ostrosłupach, musimy je obliczyć. Zajmijmy się każdym ostrosłupem z osobna.

Wiemy, że , więc z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy równanie:

, .

Krótsza przekątna podstawy ma długość , zatem sześciokąt foremny ma bok długości:

.

Oznaczmy krawędzie boczne jako . Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

.

Zajmijmy się teraz drugim ostrosłupem:

Wysokość ostrosłupa ma długość

.

Oznaczmy krawędzie boczne jako . Wówczas

.

Porównajmy teraz odpowiednie odcinki w naszych ostrosłupach:

- długości krawędzi podstawy:

- długosci krawędzi bocznych:

Wniosek: ostrosłupy są podobne w skali , co oznacza, że ich pola powierzchni są w stosunku .

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy  i kącie przy wierzchołku ostrosłupa o mierze . Obliczymy pole powierzchni ostrosłupa czterokrotnie mniejszego.

Rozwiązanie

Obliczmy pole powierzchni wyjściowego ostrosłupa. Oznaczmy krawędzie boczne jako . Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

Pole ściany bocznej możemy policzyć ze wzoru .

Zatem:

.

Mamy trzy ściany boczne, więc pole powierzchni bocznej wynosi:

.

Policzmy pole podstawy. Jest to trójkąt równoboczny o podstawie długości .

.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

.

Drugi ostrosłup jest czterokrotnie mniejszy, czyli skala podobieństwa brył wynosi .  Zatem stosunek ich pól wynosi , co oznacza, że pole powierzchni drugiego ostrosłupa jest razy mniejsze od pola powierzchni ostrosłupa  wyjściowego. Pole powierzchni ostrosłupa podobnego do naszego ostrosłupa wyjściowego wynosi więc:

.

Słownik

odcinki proporcjonalne

jeżeli dane są cztery odcinki takie, że stosunek pierwszych dwóch jest równy stosunkowi dwóch ostatnich , to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję

w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

figury podobne

mają ten sam kształt, ale mogą mieć inną wielkość

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Oglądając galerię zdjęć interaktywnych, spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zamieszczone tam zadanie, a w dalszej kolejności porównać rozwiązania.

Slajd 1 z 6

Ilustracja pierwsza przedstawia przykład pierwszy o treści: Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 5 centymetrów, jeżeli ostrosłup do niego podobny ma objętość i pole podstawy . Oznaczymy: a- krawędź podstawy ostrosłupa pierwszego, h- wysokość ściany bocznej ostrosłupa pierwszego, - krawędź podstawy ostrosłupa drugiego, - wysokość ostrosłupa drugiego. Na rysunku narysowano oba ostrosłupy o kwadratowej podstawie. Krawędź podstawy pierwszego z nich jest podpisana literą alfa. Wysokość, której spodek leży na przecięciu przekątnych podstawy ma długość 5 centymetrów. W jednej ze ścian bocznych zaznaczono jej wysokość i podpisano ją literą h. Drugi ostrosłup ma wysokość, której spodek również leży na przecięciu przekątnych podstawy, wysokość podpisano , natomiast krawędź podstawy podpisano .

Przejdź do następnego slajdu

Polecenie 2

Objętość jednej z kul wynosi . Pole drugiej . Oblicz skalę podobieństwa brył i pole pierwszej z nich.

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Powierzchnia kulistego balonu po dopompowaniu zwiększyła się o . O ile procent wzrósł promień kuli? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- O .

- O .

- O .

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Graniastosłupy 1, 2 i 3 są podobne w skali .

Uzupełnij zdania przeciągając prawidłowe odpowiedzi w puste pola.

- Pole podstawy graniastosłupa nr wynosi    , natomiast graniastosłupa nr -    .

- Wysokość graniastosłupa nr ma długość    . Pole całkowite graniastosłupa nr jest     większe od pola graniastosłupa    .

nr           nr          razy                          razy

Ćwiczenie 4

Dany jest walec pokazany na rysunku poniżej.

Zaznacz walec podobny do danego.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 5

Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny o wysokości i krawędzi bocznej nachylonej do płaszczyzny podstawy pod kątem . Ile wynosi pole powierzchni całkowitej ostrosłupa podobnego w skali ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 6

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu .

Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Promień stożka, podobnego do wyjściowego stożka w skali ma miarę .

- Długość boku trójkąta równobocznego, który jest przekrojem stożka wynosi .

- Jeśli pole przekroju osiowego stożka podobnego do wyjściowego wynosi , to stożki te są podobne w skali .

Ćwiczenie 7

Dane są dwie kule. Promień pierwszej kuli to . Pole powierzchni drugiej kuli to . Oblicz skalę podobieństwa mniejszej bryły do większej oraz stosunek ich pól.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Sprawdź, czy graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy , w którym cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do przekątnej jego ściany bocznej wynosi jest podobny do sześcianu o przekątnej długości . Jeśli tak, podaj skalę ich podobieństwa.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Grażyna Kiełczykowska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Stosunek pól powierzchni brył podobnych

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy:

9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;

X. Stereometria. Zakres podstawowy. Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- wykorzystuje stosunek pól figur podobnych do obliczenia skali podobieństwa brył,

- oblicza pola figur podobnych,

- oblicza długości odcinków w bryłach, wykorzystując ich podobieństwo.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm,

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- pogadanka,

- analiza pomysłów,

- burza mózgów.

Formy pracy:

- praca indywidualna,

- praca w grupach,

- praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu,

- projektor multimedialny,

- e-podręcznik,

- arkusze papieru, pisaki.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

- Wprowadzenie do lekcji. Omówienie celów lekcji. Ustalenie kryteriów sukcesu.

- Przypomnienie definicji brył podobnych. Odpowiedź na pytanie, jak zachowują się pola figur podobnych w skali . Zauważenie, że ta zależność jest taka sama w bryłach.

Faza realizacyjna:

- Rozwiązanie zadań, które znajdują się w przykładach w e-materiale.

- Pokazanie na konkretnych przykładach, jak zachowują się pola brył podobnych (ich stosunek jest równy kwadratowi skali podobieństwa).

- Uczniowie w parach przeglądają materiał z medium bazowego, rozwiązują i porównują z wynikami. Wspólnie z całą klasą omawiamy błędy.

- Rozwiązanie testu sprawdź się, w którym zadania są zamknięte. Wspólna analiza odpowiedzi.

Faza podsumowująca:

- Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia z uwględnieniem kryteriów sukcesu postawionych na początku zajęć.

Praca domowa:

- Rozwiązanie zadań otwartych z testu „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

Pola figur podobnychOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Uczeń może wykorzystać galerię zdjęć interaktywnych do przypomnienia sobie informacji o polach figur podobnych. Dzięki temu łatwiej będzie mu zrozumieć dany temat.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela