Spis treści

Wycinek koła. Odcinek koła

W tym materiale zawarte są informacje na temat wycinka i odcinka koła. Poznasz definicje, podstawowe pojęcia z nimi związane oraz zależności zachodzące pomiędzy wycinkiem i odcinkiem koła.

Wycinek koła

Animacja przedstawia które figury możemy nazywać wycinkami koła.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RN0ZFtSJaGW1i

Wycinek koła. Odcinek koła_3077

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia które figury możemy nazywać wycinkami koła.

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła (wycinkiem kołowym) nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem i ramionami kąta środkowego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Kąt środkowy

wyznacza w kole dwa wycinki kołowe.

Przykład 1

W kole o promieniu

wyznaczony jest wycinek koła przez kąt środkowy o mierze . Obliczymy pole tego wycinka.

Kąt o mierze

stanowi kąta pełnego. Pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt jest taką samą częścią pola całego koła. Stanowi więc pola całego koła:

.

Pole wycinka koła jest równe

.

Przykład 2

Kąt środkowy w okręgu o promieniu

ma miarę . Oblicz długość łuku wyznaczonego przez ten kąt.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy, że kąt

stanowi część kąta pełnego. Szukana długość łuku jest więc równa długości okręgu:

.

Długość łuku wyznaczonego przez wycinek koła jest równa

.

Zauważmy, że wycinek koła stanowi taką samą cześć koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek. Podobnie długość łuku wyznaczonego przez ten wycinek jest taką samą częścią długości okręgu, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek.

Ważne!

Pole

wycinka koła wyznaczonego w kole o promieniu  przez kąt środkowy o mierze jest równe

.

Ważne!

Długość łuku

, wyznaczonego na okręgu o promieniu przez kąt środkowy o mierze , jest równa

.

Przykład 3

Kąt środkowy w kole o promieniu

ma miarę . Oblicz długość łuku wyznaczonego przez ten kąt. Wynik zaokrąglij do części dziesiątych.

Korzystamy ze wzoru na długość łuku wyznaczonego przez wycinek koła. Do wzoru podstawiamy:

.

Długość łuku wyznaczonego przez ten wycinek wynosi około

.

Przykład 4

W kole o promieniu

kąt środkowy ma miarę . Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt.

Korzystamy ze wzoru na pole wycinka koła. Do wzoru podstawiamy

i :

.

Pole wycinka koła jest równe około

.

Ćwiczenie 1

Podziel koło na równe części, przypominające Yin – Yang.

Wykaż, że w każdym przypadku otrzymane części mają równe pola.

W aplecie zamieszczono rysunek okręgu, na którym zaznaczono trzy punkty A, B oraz S. S jest środkiem koła. Na równej wysokości z punktem S na okręgu po lewej stronie zaznaczono punkt A i naprzeciwko zaznaczono punkt B. Punkt A i S połączone są łukiem, który jest górną połową okręgu o promieniu równym połowie długości między tymi punktami. Punkty S i B połączone są łukiem, który stanowi dolną połowę okręgu o promieniu równym długości połowie odległości pomiędzy punktem S i B. Po lewej stronie znajduje się komentarz do apletu o treści: W antycznej filozofii chińskiej, yin i yang to dwie uzupełniające się siły, dwie przeciwności. Yang oznacza światło słoneczne, biel, lato; Yin to zachmurzenie, czerń, zima. Siły yang i yin, będące w ciągłym ruchu, powodują powstawanie wszystkiego, co nas otacza. Korea przyjęła yin-yang za symbol flagowy swoich linii lotniczych Korean Airliners.W drugim etapie apletu animowany jest opisany rysunek yin-yang z zaznaczonym środkiem S. Górna część symbolu jest obracana w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara do momentu aż pokryje się z dolną częścią symbolu. Komentarz do tego etapu: Widać, że obie figury Yin yang są przystające. Wystarczy jedną z nich obrócić wokół środka koła o 180 stopni lub przekształcić w symetrii środkowej względem środka koła. Animacje pozwalają uruchomić i zatrzymać dwa przyciski play oraz pauzy. W ostatnim etapie apletu przedstawiona jest pusta przestrzeń. Na początku widnieje komentarz z treścią : Ying Yang można przedstawić również jako podział koła odpowiednimi łukami na skończoną ilość figur o równych polach. Można udowodnić, że ich pola są równe.Pod komentarzem mamy suwak który oznaczony jest on literą n. Suwak można ustawiać od zera do dziesięciu i jego wartości zmieniają się co jeden. Na początku suwak ustawiony jest na zero. Każde przesunięcie powoduje powstanie opisanego w komentarzu podziału. Na przykład dla n równego 4 rysunek okręgu podzielono na cztery równych części, przypominające yang i yin. Z wcześniej oznaczonego punktu A poprowadzono niewielkie półkole wybrzuszone do góry. Z końca półkola poprowadzono wybrzuszony do dołu łuk biegnący do wcześniej oznaczonego punktu B. Z punktu A poprowadzono jeszcze cztery takie półkola o coraz większym promieniu, a z ich końców poprowadzono coraz krótsze łuki do punktu B. W ten sposób dokonano podziału okręgu na cztery równe części.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PRFndazsT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż odpowiedź

Odcinek koła

Animacja przedstawia które figury możemy nazywać odcinkami koła.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rf5tTdUai8qS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia które figury możemy nazywać odcinkami koła.

Definicja: Odcinek koła

Odcinkiem koła (odcinkiem kołowym) nazywamy część koła odciętą przez cięciwę wraz z tą cięciwą.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każda cięciwa wyznacza dwa odcinki koła. Średnica dzieli koło na dwa półkola.

Ważne!

Cięciwa ograniczająca odcinek koła wyznacza kąt środkowy

. Ramiona tego kąta ograniczają łuk okręgu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Pole odcinka koła jest różnicą pola wycinka koła wyznaczonego przez kąt

i pola trójkąta, którego bokami są promienie okręgu i cięciwa.

Przykład 5

Odcinek koła wyznaczony jest przez kąt środkowy o mierze

i cięciwę długości . Oblicz pole odcinka.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Wtedy trójkąt

jest trójkątem prostokątnym, w którym kąt ma miarę (jako połowa kąta ).

Naprzeciw kąta o mierze

leży przyprostokątna długości (jako połowa cięciwy). Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach , , , stwierdzamy, że i .

Obliczamy pole wycinka koła o promieniu

wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze

.

Obliczamy pole trójkąta

.

Pole odcinka koła jest równe różnicy pola wycinka i pola trójkąta

.

.

Pole odcinka koła jest równe

.

Ćwiczenie 2

Nazwijmy niebieską figurę na rysunku „figurą sercową”.

Zastanów się, w jaki sposób powstała ta figura.

Sprawdź, że pole figury sercowej jest równe

.

W aplecie przedstawiono rysunek okręgu, na którym zaznaczono środek S oraz poziomą średnicę AB. Następnie poprowadzono prostopadłą średnicę do średnicy AB, której górny kraniec jest oznaczony literą C. W trzecim etapie apletu połączone zostały punkty A B C tworząc trójkąt o podstawie równej średnicy A B oraz wysokości S C, która jest promieniem rozważanego okręgu. Na podstawie znanego twierdzenia wiadomo, że trójkąt A B C jest prostokątny. Na przyprostokątnych trójkąta A B C które traktowane są jako średnice, zbudowane zostały dwa przystające okręgi o środkach w punktach O 1 i O2. W kolejnym kroku został zakreślony łuk A E B o promieniu C A i środku w punkcie C, który zawiera się w kole o średnicy AB. Punkt E leży na prostopadłej średnicy do średnicy AB pod środkiem okręgu S. Obszar zawarty między tym łukiem a łukiem A K C i B L C, gdzie K jest punktem leżącym na okręgu o środku O1 oraz L jest punktem leżący na okręgu o środku w punkcie O 2 ma kształt przypominający serce. W przedostatnim etapie animacji tabletu pokazuje się możliwość odczytania miary pól figur. Po zaznaczeniu tej możliwości dowiadujemy się, że pole figury sercowej jest równe 542,06 oraz pole koła o promieniu SA również równy jest 542, 06. W ostatnim etapie pojawia się możliwość zmiany położenia punktu B leżącego na okręgu o promieniu SA. Wówczas pole figury sercowej i pole koła o promieniu SA zmniejsza się lub powiększa odpowiednio z powiększającym lub zmniejszającym się promieniem. Bez względu na wielkość promienia obydwie miary pola są takie same.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PRFndazsT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 3

Długość boku kwadratu jest równa

.

Na bokach kwadratu rysujemy księżyce Hipokratesa. Zapoznaj się z poniższym apletem przedstawiającym wspomniane księżyce.

W aplecie przedstawiono rysunek lunuli kwadratowej. Na bokach kwadratu A B C D zbudowano cztery półokręgi o średnicy równej długości boku rozważanego kwadratu. Na kwadracie A B C D został również opisany okrąg. Obszar ograniczony łukami półokręgów oraz łukiem okręgu opisanego na kwadracie tworzy cztery księżyce zwane lunulą kwadratową. Obok rysunku znajduje się możliwość pokazania miar pól figur. Pole jednego księżyca lunuli jest równe 64, a pole kwadratu jest równe 256. Treść komentarza dotycząca miar pól figur jest następująca: Co dostrzegasz. Postaw odpowiednią hipotezę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PRFndazsT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figurę utworzoną z tych księżyców nazwiemy lunulą (Luna po łacinie to Księżyc).

Oblicz pole jednej z części lunuli oraz pole lunuli, jeżeli bok kwadratu jest równy

.

Porównaj to pole z polem kwadratu. Co zauważasz?

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 4

Lunula trójkątna powstaje na bazie trójkąta prostokątnego równoramiennego.

W aplecie przedstawiono rysunek lunuli trójkątnej. Na bazie trójkąta prostokątnego równoramiennego A B C zostały wykreślone dwa łuki. Pierwszy łuk o środku w punkcie C i promieniu CA równym CB ora drugi łuk o środku w punkcie S, gdzie S jest środkiem przeciwprostokątnej A B i promieniu SA równym SB. Wówczas obszar pomiędzy tymi łukami przypominający kształtem księżyc zwany jest lunulą trójkątną. Obok rysunku znajduje się możliwość pokazania miar pól figur. Pole księżyca lunuli jest równe 11,98638400823, a pole trójkąta A B C jest równe tyle samo. Treść komentarza dotycząca miar pól figur jest następująca: Jaką hipotezę możesz postawić? Spróbuj ją udowodnić.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PRFndazsT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjrzyj się, jak powstaje lunula trójkątna i wykonaj podobną konstrukcję.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

1. Oblicz pole połowy kwadratu (czyli pole trójkąta prostokątnego równoramiennego).

2. Oblicz pole lunuli.

3. Porównaj te pola. Co zauważasz?

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 5

Koło o środku w punkcie

i promieniu równym podzielono na jednakowe części. Następnie zamalowano na zielono niektóre z części – jak na rysunku. Oblicz pole zaznaczonych na zielono części tego koła, a następnie dopasuj prawidłowe wyniki.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

a) Pole zaznaczonej na zielono części pierwszej figury wynosi    .

b) Pole zaznaczonej na zielono części drugiej figury wynosi    .

c) Pole zaznaczonej na zielono części trzeciej figury wynosi    .

d) Pole zaznaczonej na zielono części czwartej figury wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Koło o środku w punkcie

ma promień równy . Oblicz pole pomalowanego na zielono wycinka tego koła.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

a) Pole pomalowanego na zielono wycinka pierwszej figury wynosi    .

b) Pole pomalowanego na zielono wycinka drugiej figury wynosi    .

c) Pole pomalowanego na zielono wycinka trzeciej figury wynosi    .

d) Pole pomalowanego na zielono wycinka czwartej figury wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Oblicz pole koła, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- Wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze ma pole równe , więc pole tego koła wynosi    .

- Wycinek koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze ma pole równe , więc pole tego koła wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

W okręgu o promieniu zaznaczono łuk wyznaczony przez kąt środkowy o mierze . Wyznacz długość tego łuku, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt , to długość tego łuku wynosi     .

- Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt , to długość tego łuku wynosi     .

- Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt , to długość tego łuku wynosi     .

- Jeżeli łuk jest wyznaczony przez kąt , to długość tego łuku wynosi     .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Kwiatek składa się z czterech jednakowych płatków i środka w kształcie koła. Płatek ma kształt wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze

w kole o promieniu . Środkowe koło ma promień równy . Oblicz pole powierzchni kwiatka. Wynik podaj z dokładnością do .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 10

Które z linii mają tę samą długość? Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- i

- i

- i

- i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Oblicz długość łuku w okręgu o promieniu

, wyznaczonego przez kąt środkowy .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznacz, ile wynosi długość łuku.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

W kole o środku w punkcie

i promieniu poprowadzono cięciwy i . Cięciwa ma długość .

Oblicz sumę pól odcinków koła wyznaczonych przez te cięciwy. Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 13

Kąt środkowy w kole ma miarę . Długość łuku wyznaczonego przez ten kąt jest równa . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Pole koła jest równe .

- Pole tego wycinka jest równe .

- Długość okręgu ograniczającego to koło jest równa .

- Średnica tego koła jest równa .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Wykaż, że pole zaznaczonej na zielono lunuli jest równe polu trójkąta

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 15

Jaki promień ma koło, w którym wycinkowi o polu odpowiada kąt o mierze ? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę.

Odpowiedź: Koło ma promień         .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Jaki promień ma okrąg, w którym kąt środkowy o mierze jest oparty na łuku o długości ? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę.

Odpowiedź: Promień okręgu wynosi         .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Narysuj koło o promieniu

. Zamaluj część tego koła o polu .

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 18

Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego w kole o promieniu

przez cięciwę łączącą końce dwóch prostopadłych do siebie promieni.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 19

Narysuj dowolny okrąg. Na okręgu zamaluj łuk stanowiący:

1. długości okręgu,

2. długości okręgu,

3. długości okręgu.

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrazy lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

- Średnica koła wyznacza dwa     odcinki kołowe.

- Kąt środkowy wyznacza w kole     wycinki kołowe.

trzy     cztery     dwa     różne     jednakowe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Udowodnij, że średnica dzieli koło na dwa przystające odcinki kołowe.

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 22

Zaznacz, jaką miarę ma kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym długości okręgu.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

W kole zaznaczono dwa wycinki kołowe o równych polach. Wykaż, że wycinki te wyznaczone są przez kąty środkowe o jednakowych miarach.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź