Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Na ilustracji przedstawiono sześcienne metalowe bloczki ułożone jeden na drugim z okrągłymi oknami.

Kąty między ścianami w czworościanie

Źródło: Michel Catalisano, dostępny w internecie: www.unsplash.com, domena publiczna.

Czy wiesz, że kąty dwuścienne występują również w naturze? Przykładem jest cząsteczka nadtlenku wodoru, która w określonych warunkach występuje w postaci różnych konformerów, jest to struktura zbudowana z tak samo połączonych ze sobą atomów, jednak różniących się położeniem przestrzennym z uwagi na rotację wokół pojedynczych wiązań. W wyniku rotacji cząsteczka przyjmuje różne konformacje i tak poniżej przedstawiono strukturę nadtlenku wodoru w fazie stałej. Występujący w niej kąt dwuścienny jest właśnie wynikiem zmiany konformacyjnej i sprawia, że cząsteczka ta znajduje się w najniższej energetycznie konformacji, co jest kluczowe dla uporządkowania przestrzennego, jakie cechuje kryształy. W fazie gazowej, jak i w fazie ciekłej cząsteczka nadtlenku wodoru zmienia swoją konformację. Przykładowo w cieczy w układzie zaczynają odgrywać istotną rolę oddziaływania wodorowe i to one determinują zmianę konformacyjną, która prowadzi w tym przypadku do zmiany położenia przestrzennego atomów, co prowadzi do eliminacji kąta dwuściennego.

Cząsteczka nadtlenku wodoru w stanie stałym

Twoje cele

- Obliczysz miary kątów pomiędzy ścianami w czworościanie.

- Zastosujesz funkcje trygonometryczne do wyznaczania miar kątów dwuściennych.

Przeczytaj

Przypomnijmy, że w celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianami (zwanego kątem dwuściennym) znajdujemy najpierw wspólną krawędź tych dwóch ścian. Następnie do wybranego punktu na tej krawędzi prowadzimy dwa odcinki, jeden zawarty w pierwszej ścianie, drugi – w drugiej, tak aby były one prostopadłe do tej krawędzi. Kąt pomiędzy tymi odcinkami to kąt liniowy kąta dwuściennego (czyli kąt pomiędzy tymi ścianami).

Zastanówmy się, czy zawsze z trójkąta równobocznego o boku długości i trzech trójkątów równoramiennych o podstawie długości i ramionach długości możemy zbudować ostrosłup prawidłowy trójkątny. Zauważmy, że spodek wysokości takiego ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym. Zatem, aby można było złożyć z tych trójkątów ostrosłup, to długość krawędzi bocznej musi być dłuższa od dwóch trzecich długości wysokości podstawy:

, czyli .

Wyznaczymy kąty pomiędzy ścianami tego ostrosłupa.

Przykład 1

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej wyznaczymy kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

W celu wyznaczenia kąta pomiędzy ścianą boczną a podstawą obieramy punkt będący środkiem krawędzi . Zauważmy, że odcinki i  są wysokościami trójkątów i , ponieważ pierwszy trójkąt jest równoramienny a drugi równoboczny wiec spodki obu wysokości dzielą odcinek na pół w punkcie . Wysokości te są oczywiście prostopadłe do krawędzi .

Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy długość wysokości :

.

Ponieważ , więc .

Wysokość trójkąta równobocznego ma długość . Ponadto .

Z trójkąta prostokątnego wyznaczamy:

.

Znając długości odcinków i  możemy wyznaczyć miarę kąta .

Przykład 2

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

Trójkąty i  są przystające, więc wysokości prowadzone z wierzchołków i  przetną się punkcie leżącym na krawędzi . Z poprzedniego przykładu wiemy, że wysokość ściany bocznej opuszczona z punktu ma długość . Zatem pole ściany bocznej wynosi . Pole to jest również równe , czyli

,

.

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy:

,

,

,

,

,

.

Znając długości odcinków i  możemy wyznaczyć miarę kąta .

Przykład 3

Uzasadnimy, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt pomiędzy ścianami bocznymi jest większy od .

Rozwiązanie

Zauważmy, że z warunku wynika, że , więc

,

Stąd cosinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi , więc .

Przykład 4

Dany jest czworościan , którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku długości , a krawędź o długości jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Wyznaczymy kąt pomiędzy ścianami i .

Rozwiązanie

Sporządzamy rysunek pomocniczy:

Z trójkątów prostokątnych i  wyznaczamy . Zatem trójkąt  jest trójkątem ostrokątnym.

Wspólną krawędzią ścian i  jest . Zaznaczamy wysokość ściany opuszczoną z wierzchołka . Wysokość ta przecina krawędź w punkcie . Wyznaczamy odcinek prostopadły do krawędzi . Punkt leży na krawędzi lub jej przedłużeniu. W celu wyznaczenia kąta dwuściennego pomiędzy ścianami i  należy wyznaczyć miarę kąta płaskiego .

Rozważmy ścianę :

Z trójkąta prostokątnego obliczamy . Trójkąt jest podobny do trójkąta (cecha kąt-kąt-kąt). Zatem , czyli .

Ponadto , czyli .

Rozważmy ścianę :

Trójkąt jest podobny do trójkąta  (cecha kąt-kąt-kąt). Stąd , czyli . Ponadto , czyli , więc .

Rozważmy trójkąt :

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy , więc . Oznaczamy kąt przez . Wówczas z twierdzenia cosinusów dla trójkąta otrzymujemy:

,

,

,

.

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy .

Ciekawostka

W matematyce definiuje się też pojęcie kąta wielościennego. Jest to część przestrzeni domknięta skończoną liczbą kątów płaskich takich, że wszystkie kąty mają wspólny wierzchołek i każde dwa następne kąty mają wspólne ramię.

Na przykład wierzchołek  wyznacza kąt ograniczony przez kąty płaskie , , , oraz . Możemy też powiedzieć, że ten kąt jest wyznaczony przez pięć płaszczyzn przecinających się w punkcie , które tworzą jego ściany.

Każdy z czterech wierzchołków czworościanu wyznacza kąt trójścienny.

Słownik

kąt dwuścienny

suma dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednego z dwóch obszarów, które te półpłaszczyzny wycinają z przestrzeni.

kąt liniowy kąta dwiściennego

kąt płaski będący częścią wspólną kąta dwuściennego oraz płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi.

kąt trójścienny

część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię wyznaczoną przez trzy półproste o wspólnym początku nieleżące w jednej płaszczyźnie; półproste te nazywamy krawędziami kąta trójściennego, a ich wspólny początek wierzchołkiem kąta trójściennego

Animacja 3D

Polecenie 1

Przeanalizuj dokładnie poniższą animację 3D. Zastanów się, dysponując jakimi danymi można wyznaczyć długości odpowiednich odcinków i ostatecznie miarę kąta dwuściennego pomiędzy ścianami bocznymi w czworościanie.

Film przedstawia procedure wyznaczania kąta dwuściennego między dwoma ścianami w czworościanie.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DNsTppUebOtwiera się w nowym oknie

Film przedstawia procedure wyznaczania kąta dwuściennego między dwoma ścianami w czworościanie.

Polecenie 2

Wyznacz miarę kąta dwuściennego pomiędzy dwiema ścianami czworościanu foremnego.

Pokaż odpowiedź

Polecenie 3

W czworościanie kąty płaskie , i  mają miarę , gdzie . Wykaż, że cosinus kąta dwuściennego pomiędzy sąsiednimi ścianami wynosi .

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wskaż zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Istnieje ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość a krawędź boczna ma długość .

- Wszystkie kąty dwuścienne pomiędzy ścianami czworościanu mają takie same miary.

- Istnieje ostrosłup trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość a krawędź boczna ma długość .

- Kąt płaski wyznaczony przez dwie krawędzie czworościanu o wspólnym wierzchołku nazwiemy kątem dwuściennym.

- W celu zaznaczenia kąta pomiędzy ścianami znajdujemy najpierw wspólną krawędź tych dwóch ścian. Następnie do wybranego punktu na tej krawędzi prowadzimy dwa odcinki, jeden zawarty w pierwszej ścianie, drugi - w drugiej, tak aby były one prostopadłe do tej krawędzi.

Ćwiczenie 2

Wpisz poprawną odpowiedź (liczbę całkowitą).

Dany jest sześcian . Miara kąta pomiędzy ścianami i  czworościanu wynosi około         .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Wysokością czworościanu o podstawie trójkąta równobocznego jest krawędź . Niech oznacza kąt pomiędzy ścianą a podstawą czworościanu. Natomiast kąt pomiędzy krawędziami i . Wówczas:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o długości krawędzi podstawy i objętości . Wyznacz miarę kąta pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 5

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o polu podstawy i polu powierzchni bocznej . Wyznacz miarę kąta pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 6

Dany jest prostopadłościan , gdzie jest kwadratem o przekątnej długości . Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy czworościanu wynosi . Udowodnij, że przekątna prostopadłościanu ma długość .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Dany jest czworościan , w którym podstawa jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym . Wiedząc, że i  oblicz miarę kąta dwuściennego pomiędzy ścianami i  oraz i .

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 8

Dany jest czworościan o podstawie trójkąta prostokątnego , w którym kąt jest kątem prostym oraz . Ściana jest trójkątem równobocznym. Natomiast ściana jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym . Oblicz miarę kąta pomiędzy ścianami i .

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Dla nauczyciela

Autor: Adrian Karpowicz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Kąty pomiędzy ścianami w czworościanie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum lub technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- oblicza miary kątów pomiędzy ścianami w czworościanie,

- stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania miar kątów dwuściennych.

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

- dyskusja;

- burza mózgów;

- pokaz.

Formy pracy:

- praca w parach;

- praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do Internetu;

- projektor multimedialny;

- e–podręcznik.

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

- Przed lekcją uczniowie zapoznają się z materiałem z sekcji „Przeczytaj”. Zapisują swoje uwagi do tekstu.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel przedstawia temat i cele lekcji.

2. Nauczyciel prowadzi rozmowę z uczniami na temat materiału zamieszczonego w sekcji „Przeczytaj”. Zostają wyjaśnione wszelkie wątpliwości, jakie pojawiły się podczas lektury tego tekstu. Nauczyciel stara się, aby sami uczniowie nawzajem wyjaśniali swoje wątpliwości.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prezentuje animację 3D, w której przedstawione jest jak wyznaczyć kąt dwuścienny w czworościanie, który nie musi być ostrosłupem trójkątnym prawidłowym. Uczniowie zastanawiają się w parach nad rozwiązaniem Polecenia 2 i Polecenia 3. Wybrane osoby prezentują rozwiązanie.

2. Cała klasa zastanawia się nad rozwiązaniem zadania 7 i 8. Pomysły prezentowane są na forum klasy. Przedstawione zostają rozwiązania tych zadań.

Faza podsumowująca:

Podsumowanie lekcji. Omówienie ewentualnych pytań dotyczących omawianego materiału.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych 1 – 6.

Materiały pomocnicze:

CzworościanOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Animacja 3D może zostać wykorzystana na lekcji o odcinkach w czworościanie.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Animacja 3D

Sprawdź się

Dla nauczyciela