Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Na ilustracji przedstawiono metalowe prostopadłościany ułożone jeden na drugim, z okrągłymi oknami.

Kąty między prostymi a płaszczyznami w graniastosłupie

Źródło: Michel Catalisano, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

W tym materiale skupimy się na kątach między odcinkami zawartymi w graniastosłupie a płaszczyznami jego ścian. Poprawne rozpoznawanie oraz wyznaczanie kątów będzie miało kluczowe znaczenie na przykład podczas rozważania przekrojów wielościanów. Zagadnienie omówimy na możliwie największej liczbie przykładów graniastosłupów prostych oraz pochyłych. Ale zaczniemy od przypomnienia definicji kąta między prostą i płaszczyzną

Twoje cele

- Rozpoznasz kąt między przekątnymi ścian bocznych a podstawami graniastosłupa.

- Rozpoznasz kąt między przekątnymi graniastosłupa a jego podstawami.

- Rozpoznasz kąty pomiędzy przekątnymi graniastosłupa a jego ścianamibocznymi.

Przeczytaj

Przypomnijmy definicję kąta między prostą a płaszczyzną.

Definicja: Kąt między prostą a płaszczyzną

Jeśli prosta jest równoległa do płaszczyzny (ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych albo nie ma żadnego), to przyjmujemy, że kąt między a  jest równy .

Jeśli prosta przebija płaszczyznę (ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny), to kąt między a  definiujemy jako kąt między a rzutem prostokątnym na .

Graniastosłup trójkątny

Najprostszy graniastosłup to ten o podstawie trójkąta. Nie ma on przekątnych, bo wszystkie odcinki łączące wierzchołki graniastosłupa trójkątnego zawierają się w jego powierzchni, co czyni je przekątnymi ścian bocznych lub krawędziami.

Na poniższym rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy. Aby poprawnie zaznaczyć ten kąt, potrzebujemy rzutu prostokątnego tej przekątnej na płaszczyznę podstawy. Ponieważ graniastosłup jest prosty, rzut ten zawiera krawędź podstawy.

Graniastosłup trójkątny i przekątna ściany bocznej

Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy

Sytuacja wygląda nieco inaczej, gdy graniastosłup jest pochyły. Wówczas rzut przekątnej na płaszczyznę podstawy może nie zawierać krawędzi.

Graniastosłup pochyły trójkątny i przekątna ściany bocznej

Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy

Graniastosłup czworokątny

W graniastosłupie czworokątnym pojawia się przekątna graniastosłupa – odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa, ale nie zawarty w jego powierzchni.

Poniżej ilustrujemy kąty między przekątną graniastosłupa prostego o podstawie trapezu a płaszczyzną ścian bocznych albo podstawą. W każdym przypadku najpierw rzutujemy prostokątnie przekątną na rozważaną płaszczyznę.

Graniastosłup czworokątny i jego przekątna

Kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy

Kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną ściany

Kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną ściany

Choć analiza powyższych przykładów może być interesująca, dużo częściej będziemy zajmować się prostopadłościanem. Na poniższym rysunku zaznaczono kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą. Na wszystkich rysunkach znajduje się ten sam prostopadłościan widziany z różnych stron.

Przyjęto oznaczenia:

– kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy ,

– kąt między przekątną a płaszczyzną ściany ,

– kąt między przekątną a płaszczyzną ściany .

W tym przypadku kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną jest równy kątowi między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Analogicznie dla kątów między przekątną graniastosłupa a ścianami bocznymi.

Kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą

Ponownie sytuacja wygląda inaczej, gdy graniastosłup jest pochyły.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa pochyłego o podstawie kwadratu a płaszczyzną podstawy.

Przykład 1

Dany jest graniastosłup o podstawie rombu. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa ma długość i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze . Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość . Wyznaczymy miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na powyższym rysunku. Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego możemy wyznaczyć wysokość graniastosłupa: .

Z trójkąta prostokątnego mamy:

Zatem jest trójkątem prostokątnym o bokach długości , , . Oznacza to, że jest to trójkąt o kątach , , .

Zatem kąt między przekątną graniastosłupa a jego podstawą ma miarę .

Graniastosłup sześciokątny

Im więcej krawędzi w podstawie graniastosłupa, tym więcej możliwości – wszak każda przekątna graniastosłupa tworzy jakiś kąt z każdą ścianą tego graniastosłupa.

Rozważmy graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąty pomiędzy przekątnymi (są dwie różne) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego a jego podstawą.

Zaznaczamy jeszcze kąt między przekątną tego graniastosłupa a ścianą boczną zawierającą jeden z końców przekątnej.

Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej

Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a ścianą boczną

Przykład 2

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. O krawędzi podstawy i wysokości . Wyznaczymy miarę kąta między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

Rozważmy kąt między przekątną ściany , a płaszczyzną ściany . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie możemy wyznaczyć długość przekątnej :

Niech będzie rzutem prostokątnym  na płaszczyznę ściany . Wówczas kąt jest prosty. Ponadto można zauważyć, że , stąd . Ponieważ , więc .

Z trójkąta prostokątnego mamy:

Trójkąt prostokątny ma boki długości , oraz .

Wynika stąd, że jest to trójkąt o kątach , , , więc .

Słownik

graniastosłup

wielościan, którego dwie ściany są równoległymi wielokątami przystającymi, zaś pozostałe ściany są równoległobokami; równoległe ściany nazywamy podstawami graniastosłupa, zaś pozostałe to ściany boczne

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego ściany boczne są prostokątami

graniastosłup pochyły

graniastosłup, w którym istnieją ściany boczne, które nie są prostokątami

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, w którego podstawie znajduje się wielokąt foremny

Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

W poniższej prezentacji multimedialnej przedstawiono kąty między odcinkami graniastosłupów prawidłowych a płaszczyznami zawierającymi ich ściany. Przeanalizuj poszczególne rysunki. Na ich podstawie wykonaj Polecenie 2.

Slajd 1. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawie dolnej , oraz górnej . Zaznaczono kąt alfa między przekątną BG ściany bocznej graniastosłupa a jego podstawą. Slajd 2. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawie dolnej , oraz górnej . Z wierzchołka G poprowadzono odcinek prostopadły do boku HI w punkcie G prim. Zaznaczono kąt alfa między przekątną GB ściany bocznej graniastosłupa a sąsiednią ścianą boczną. Slajd 3. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny, o podstawie dolnej , oraz górnej . Zaznaczono kąt alfa między przekątną FB ściany bocznej graniastosłupa a jego podstawą. Slajd 4. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny, o podstawie dolnej , oraz górnej . Zaznaczono przekątną AF graniastosłupa, oraz przekątną AC podstawy. oznaczono alfa i jest to kąt między przekątną graniastosłupa a jego podstawą. Slajd 5. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny, o podstawie dolnej , oraz górnej . Zaznaczono przekątną AF graniastosłupa, oraz przekątną BF ściany bocznej. oznaczono alfa i jest kątem między przekątną graniastosłupa a jego ścianą boczną. Slajd 6. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy pięciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od E do I. Zaznaczono przekątną AD podstawy, oraz przekątną AH graniastosłupa. oznaczono alfa i jest kątem między przekątną graniastosłupa a przekątną jego podstawy. Slajd 7. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy pięciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od E do I. Zaznaczono przekątną graniastosłupa AH. Z wierzchołka A, oraz H, poprowadzono prostą prostopadłą do krawędzi JF w punkcie R. oznaczono alfa i jest kątem między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną mającą z tą przekątną wspólny wierzchołek. Slajd 8. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Zaznaczono dłuższą przekątną AI graniastosłupa, oraz dłuższą przekątną AD jego podstawy. oznaczono alfa i stanowi on kąt między przekątną graniastosłupa a jego podstawą. Slajd 9. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Zaznaczono krótszą przekątną AH graniastosłupa, oraz krótszą przekątną AC jego podstawy. oznaczono alfa i stanowi on kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a jego podstawą. Slajd 10. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Wierzchołek H, zrzutowano na płaszczyznę ściany bocznej i zaznaczono punkt M. Zaznaczono krótszą przekątną AH graniastosłupa. oznaczono alfa i stanowi on kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej, mającą z tą płaszczyzną wspólny wierzchołek. Slajd 11. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Zaznaczono dłuższą przekątną AI graniastosłupa, oraz przekątną AG ściany bocznej. Zaznaczono trójkąt prostokątny , z kątem prostym przy wierzchołku G. oznaczono alfa i stanowi on kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej, mającą z tą płaszczyzną wspólny wierzchołek.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DcEmhLxeiOtwiera się w nowym oknie

Polecenie 2

Rozwiąż poniższy test jednokrotnego wyboru.

Slajd 1 z 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Punkt jest rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę . Na poniższym rysunku zaznaczono kąt między:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

- Wysokością podstawy a ścianą boczną.

- Wysokością podstawy a przekątną ściany bocznej.

Przejdź do następnego slajdu

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Slajd 1 z 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę . Na rysunku poniżej zaznaczono kąt między:

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Krawędzią boczną a wysokością graniastosłupa.

- Wysokością graniastosłupa a płaszczyzną podstawy graniastosłupa.

- Krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy graniastosłupa.

Przejdź do następnego slajdu

Ćwiczenie 4

Zaznacz te ilustracje, na których zdania umieszczone przy rysunkach są prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Ćwiczenie 5

Krawędź boczna długości graniastosłupa pochyłego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Podstawą graniastosłupa jest romb o boku długości i kącie ostrym . Wysokość graniastosłupa jest równa . Wyznacz kąty między przekątnymi graniastosłupa a płaszczyzną jego podstawy.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku długości , ściany boczne są kwadratami. Oblicz sinusy kątów między przekątnymi graniastosłupa a jego podstawą.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy i wysokości . Wyznacz kąt między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Kąty między prostymi a płaszczyznami w graniastosłupie

Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

- kompetencje cyfrowe

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

- rozpoznaje kąt między przekątnymi ścian bocznych a podstawami graniastosłupa;

- rozpoznaje kąt między przekątnymi graniastosłupa a jego podstawami.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm;

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- odwrócona klasa;

- dyskusja;

- metoda kota i myszy.

Formy pracy:

- praca indywidualna;

- praca w parach;

- praca w grupach;

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

- zasoby multimedialne zawarte w e-materiale;

- tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z zagadnieniami, które będą poruszane podczas lekcji.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel określa temat lekcji: „Kąty między prostymi a płaszczyznami w graniastosłupie” oraz cele, wybrana osoba formułuje kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie indywidualnie zapoznają się z treścią w sekcji „Przeczytaj” i zapisują w zeszycie minimum dwa pytania. Następnie nauczyciel dzieli uczniów na dwie grupy. Grupy na przemian zadają przygotowane wcześniej pytania grupie przeciwnej, która udziela odpowiedzi. Nauczyciel uzupełnia wyjaśnienia.

2. Nauczyciel wyświetla zawartość sekcji „Prezentacja multimedialna”. Po zapoznaniu się uczniów z rodzajami kątów przedstawionymi w prezentacji uczniowie rozwiązują polecenia powiązane z medium.

3. Nauczyciel dzieli klasę na 4-osobowe grupy. Uczniowie rozwiązują ćwiczenia 1-4 na czas (od łatwiejszego do trudniejszych). Grupa, która poprawnie rozwiąże ćwiczenia jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić uczniów ocenami za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy i komentowane przez nauczyciela.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, zwracając uwagę na nabyte umiejętności, odnosząc się do wyświetlonych na tablicy interaktywnej celów z sekcji „Wprowadzenie”.

Praca domowa:

1. Uczniowie zapoznają się z medium w sekcji „Prezentacja multimedialna” i rozwiązują polecenia z nim związane.

Materiały pomocnicze:

- Graniastosłup prosty i jego własności. Związki miarowe w graniastosłupachOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

- Medium w sekcji „Prezentacja multimedialna” można wykorzystać na lekcji jako podsumowanie i utrwalenie wiedzy w temacie „Kąty między prostymi a płaszczyznami w graniastosłupie”.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Dla nauczyciela