Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia kolumny w kształcie walca ustawione w rządku.

Kąty między odcinkami a płaszczyznami w walcu

Źródło: jamespoppy z Pixabay, domena publiczna.

Umiesz już wykreślać przekroje walca. W tym materiale dokonasz analizy zadań dotyczących kątów między odcinkami a płaszczyznami walca. Nauczysz się kreślić rysunki pomagające zaplanować strategię rozwiązania takich zadań. Przekonasz się, że zadania geometrii przestrzennej możesz rozwiązywać wykorzystując podstawowe twierdzenia geometrii płaskiej.

Twoje cele

- Nauczysz się zaznaczać kąty między płaszczyznami a odcinkami w walcu.

- Wykorzystasz związki miarowe geometrii płaskiej do rozwiązywania zagadnień związanych z geometrią przestrzenną.

Przeczytaj

W tym materiale wykorzystamy definicję kąta między prostą a płaszczyzną. Przeanalizujemy zadania dotyczące kątów jakie możemy wykreślić w walcu pomiędzy jego płaszczyzną podstawy a odpowiednim odcinkiem.

Zapoznaj się z apletem Geogebry i zaznacz odpowiednio kąty:

- kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy;

- kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a wysokością walca;

- kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a płaszczyzną podstawy;

- kąt pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy a wysokością walca.

Aplet przedstawia walec z zaznaczonymi dwoma średnicami podstaw. Pierwsza dolna podstawa posiada środek w punkcie O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz średnice A B. Druga górna podstawa, posiada środek w punkcie O indeks dolny dwa koniec indeksu oraz średnicę D C. Poniżej walca znajduje się 10 interaktywnych opcji umożliwiających utworzenie wszystkich możliwych kątów między prostą a płaszczyzną walca. Opcja pierwsza. Przekrój osiowy. Opcja druga. Tworząca walca B C. Opcja trzecia. Średnica walca. Opcja czwarta. Odcinek łączący brzeg podstawę ze środkiem drugiej podstawy. Opcja piąta. Kąt nachylenia przekątnej przekroju do płaszczyzny podstawy. Opcja szósta. Kąt między przekątną przekroju i wysokością walca. Opcja siódma. Kąt między odcinkiem łączącym brzeg podstawy ze środkiem drugiej podstawy i płaszczyzną podstawy. Opcja ósma. Wysokość walca O indeks dolny jeden koniec indeksu O indeks dolny dwa koniec indeksu. Opcja dziewiąta. Promień walca. Opcja dziesiąta. Przekątna przekroju.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D7x5gnQlkOtwiera się w nowym oknie

Zwróć uwagę, że do zaznaczenia poszczególnych kątów wystarczy wykreślić sam przekrój osiowy walca. Spostrzeżenie to pomoże nam zaplanować strategię rozwiązania zadań.

Przykład 1

Pole powierzchni przekroju osiowego walca wynosi . Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego a płaszczyzną podstawy walca ma miarę . Oblicz objętość walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

- długość wysokości walca;

- długość średnicy podstawy walca.

Objętość walca obliczymy ze wzoru .

Z warunków zadania otrzymujemy zależności i .

Wyznaczając z drugiej zależności i podstawiając odpowiednio do pierwszej zależności, otrzymujemy .

Wynika stąd, że i . Ostatecznie objętość walca wynosi stąd .

Przykład 2

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem o przekątnej długości i tworzy ona z wysokością walca kąt miary . Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

Rozwiązanie

Wykreślmy rysunek pomocniczy. Prostokąt przedstawia powierzchnię boczną walca.

Przyjmijmy oznaczenia:

- długość wysokości walca;

- obwód okręgu tworzącego podstawę walca, gdzie oznacza długość promienia podstawy walca;

- długość przekątnej powierzchni bocznej walca po rozwinięciu;

- miara kąta pomiędzy wysokością walca a przekątną powierzchni bocznej walca.

Pole całkowite walca obliczymy ze wzoru . Zauważmy, że z trójkąta otrzymujemy zależności: i , stąd i .

Wynika stąd, że .

Przykład 3

Wysokość walca ma długość . Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem . Oblicz pole powierzchni bocznej walca. Rozważ dwa przypadki.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

- długość wysokości;

- długość średnicy podstawy walca.

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru .

Przypadek 1

Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem i . Z trójkąta i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność , dalej mamy , stąd .

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem .

Przypadek 2

Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem równobocznym, zatem i . Z trójkąta i twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność , dalej mamy , stąd .

Pole boczne walca w tym przypadku wynosi zatem .

Przykład 4

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe , a pole jego powierzchni bocznej wynosi . Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Rozwiązanie

Wykreślamy przekrój osiowy walca i przyjmujemy oznaczenia:

- długość wysokości walca;

- długość średnicy podstawy walca;

- miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy i . Wyznaczmy z drugiej zależności i podstawmy odpowiednio do równania . Stąd mamy .

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą , zatem . Wynika stąd, że . Zauważmy, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem .

Przykład 5

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej jest równy . Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy przekątna przekroju osiowego walca z jego podstawą.

Rozwiązanie

Wykreślmy przekrój osiowy walca i przyjmijmy oznaczenia:

- długość wysokości walca;

- długość średnicy podstawy walca;

- miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a podstawą walca.

Z warunków zadania mamy zależność , gdzie oznacza pole powierzchni bocznej walca i  pole powierzchni całkowitej walca. Mamy zatem . Stąd po uproszczeniu . Należy wyznaczyć tangens kąta , zatem z trójkąta mamy . Zauważmy, że , stąd , stąd , dalej mamy , a stąd . Ostatecznie .

Słownik

przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca; przekrój osiowy walca jest prostokątem

kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Rozważmy odcinek łączący brzeg podstawy walca, czyli dowolny punkt okręgu podstawy, ze środkiem drugiej podstawy. W galerii zdjęć interaktywnych przedstawiono metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca oraz metodę kreślenia kąta pomiędzy tym odcinkiem a wysokością walca. Zapoznaj się z tymi technikami i wykonaj polecenia umieszczone pod galerią.

Slajd 1 z 5

Ilustracja interaktywna numer jeden. Rozważmy odcinek łączący dowolny punkt okręgu podstawy i środek drugiej podstawy. Zastanówmy się jak zaznaczyć kąt pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca. Zgodnie z definicją kąt pomiędzy płaszczyzną a prostą, to kąt pomiędzy prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Zrzutujmy zatem prostopadle odcinek na dolną podstawę walca. Ilustracja przedstawia walec z zaznaczonymi środkami obu podstaw. Środek dolnej podstawy został oznaczony jako O Środek górnej podstawy został oznaczony jako O indeks dolny jeden koniec indeksu i jest połączony z punktem A znajdującym się na okręgu dolnej podstawy walca.

Przejdź do następnego slajdu

Polecenie 2

W walcu poprowadzono odcinek łączący brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy. Wyznacz cosinus kąta zawartego pomiędzy tym odcinkiem a płaszczyzną podstawy walca, jeśli długość wysokości walca wynosi , zaś długość promienia podstawy walca wynosi .

Pokaż odpowiedź

Polecenie 3

Wysokość walca ma długość . Oblicz pole powierzchni bocznej walca wiedząc, że , gdzie kąt jest kątem zawartym pomiędzy odcinkiem łączącym brzeg jednej z podstaw walca ze środkiem drugiej podstawy i wysokością walca.

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z podstawą kąt , taki że . Pole przekroju osiowego walca wynosi . Oblicz objętość walca. W rachunkach przyjmij . Zakoduj odpowiednio cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

cyfra setek

cyfra dziesiątek

cyfra jedności

Ćwiczenie 3

Wysokość walca ma długość . Przekątne przekroju osiowego walca przecinają się pod kątem . Oceń prawdziwość podanych zdań.

Prawda

Fałsz

Objętość walca może wynosić .

Objętość walca może wynosić .

Ćwiczenie 4

Objętość walca jest równa , a pole jego powierzchni bocznej wynosi . Zaznacz poprawne odpowiedzi.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Jeden z kątów pomiędzy przekątnymi przekroju osiowego walca ma miarę .

- Promień podstawy walca ma długość .

- Wysokość walca ma długość .

- Kąt pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a wysokością walca ma miarę .

Ćwiczenie 5

Pole przekroju osiowego walca jest równe , a przekątna tego przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem. Przekątna otrzymanego prostokąta ma długość i tworzy z wysokością walca kąt . Wyznacz objętość tego walca.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego powierzchni całkowitej wynosi . Uzasadnij, ze stosunek długości promienia podstawy walca do długości wysokości walca wynosi .

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Wysokość walca jest o  krótsza od średnicy podstawy walca, natomiast przekątna przekroju osiowego walca jest o  dłuższa od promienia podstawy walca. Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy walca.

Pokaż rozwiązanie

Dla nauczyciela

Autor: Małgorzata Bochenek

Przedmiot: Matematyka

Temat: Kąty między odcinkami a płaszczyznami w walcu

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria

Zakres podstawowy. Uczeń:

6) oblicza objętość i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

- kompetencje cyfrowe

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

- rozpoznaje kąty pomiędzy odcinkami i płaszczyznami w walcu;

- bada związki miarowe między odcinkami i płaszczyznami na wykreślonym przekroju osiowym walca;

- zaznacza kąty pomiędzy odcinkami i płaszczyznami w walcu;

- przeprowadza proste rozumowanie pomagające ustalić strategię rozwiązania zadania.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm

- konektywizm

Metody i techniki nauczania:

- pokaz;

- klasyczna metoda problemowa;

- dyskusja w grupach i na forum klasy.

Formy pracy:

- praca indywidualna

- praca w grupach

- praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do internetu

- projektor multimedialny

- e-podręcznik

- arkusze papieru, pisaki

- model walca

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

Nauczyciel prosi uczniów o zapoznanie się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel wskazuje temat: „Kąty między odcinkami i płaszczyznami w walcu” i cele zajęć.

2. Nauczyciel określa kryteria sukcesu po przeprowadzonej lekcji.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie analizują wyświetlone przez nauczyciela przykłady z sekcji „Animacja”.

2. Nauczyciel dzieli klasę na 5 grup i przydziela każdej grupie jedno polecenie z sekcji „Przeczytaj”. Uczniowie przygotowują rozwiązania i wspólnie omawiają sposób rozwiązania zadania umieszczonego w danym poleceniu na forum klasy.

3. Uczniowie w grupach dzielą się na mniejsze podgrupy i przygotowują rozwiązania ćwiczeń od 1 do 7 z sekcji „Sprawdź się.”

4. Wyznaczony przez nauczyciela uczeń przedstawia rozwiązanie zadania na forum klasy.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel omawia ewentualne problemy z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Podsumowanie lekcji.

Praca domowa:

1. Uczniowie rozwiązują w parach ćwiczenie 8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

- Bryły obrotowe - walecOtwiera się w nowym oknie

- Pole powierzchni walcaOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może wykorzystać galerię zdjęć interaktywnych  do rozwiązywania zagadnień dotyczących odcinka łączącego brzeg podstawy walca, czyli dowolny punkt okręgu podstawy, ze środkiem drugiej podstawy.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela