Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Ilustracja przedstawia kolorowe liczydło.

Liczenie liczb

Źródło: Pexels, dostępny w internecie: https://pexels.com/.

portret Juliana Tuwima, Stanisław Ignacy Witkiewicz, 1929

Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

J. Tuwim, Rachunek (fragment), z tomiku Wiersze zebrane, (1935)

Liczą mnie jacyś przez noc całą,

Piszą i piszą, a wciąż mało...

Skacze pokraczny szyfr.

Już jestem słaby i zmęczony,

Piszą biliony, kwadryliony,

Roi się szereg nieskończony

Cyfr...

Wokół wszyscy liczą i liczą – czas, pieniądze, średnią ocen, dni do wakacji...

W tym materiale też będziemy liczyć – tym razem nic innego, tylko liczby. Liczenie liczb może wydać Ci się nieco dziwne, więc potraktuj proponowane tu zadania jako powtórzenie wiadomości z kombinatoryki i wprawka przed zadaniami z rachunku prawdopodobieństwa.

Twoje cele

- Określisz liczbę liczb spełniających dane warunki.

- Wykorzystasz aparat kombinatoryczny do wyznaczania liczby zdarzeń elementarnych w doświadczeniach „z liczbami”.

- Stworzysz model matematyczny problemu z kontekstem realistycznym.

Przeczytaj

Chcąc określić liczbę wszystkich wyników doświadczenia losowego „na tworzenie liczb spełniających określone warunki” lub chcąc określić liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniu związanym z liczbami, najczęściej korzystamy ze wzorów kombinatorycznych, które przypominamy poniżej.

Wzory kombinatoryczne

Opis wzoru

Wzór

Liczba permutacji zbioru –elementowego.

Liczba –elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru –elementowego.

Liczba –elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru –elementowego.

Liczba –elementowych kombinacji zbioru –elementowego.

Przykład 1

Zapoznaj się z filmem, który pokazuje jak można wykorzystać permutacje do zliczania ilości liczb spełniających określone warunki.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego liczenia liczb.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D14ojd2sqOtwiera się w nowym oknie

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego liczenia liczb.

W następnym przykładzie skorzystamy z reguły mnożenia.

Reguła: mnożenia

Jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych  decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa

,

gdzie:

, – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji .

Przykład 2

Obliczymy ile jest liczb pięciocyfrowych w których cyfry:

1. nie mogą się powtarzać,

2. mogą się powtarzać.

Rozwiązanie:

1. Liczbą pięciocyfrową można traktować jako pięciowyrazowy ciąg utworzony ze zbioru dziesięciu cyfr.

Wszystkich takich liczb jest więc:

Wśród rozważanych ciągów są też takie, które mają na początku .

Zatem wszystkich liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest

.

.

2. Chcąc utworzyć liczbę czterocyfrową, w której cyfry mogą się powtarzać, mamy sposobów wyboru cyfry jedności tysięcy (cyfrą jedności tysięcy nie może być zero). Na każdym z pozostałych miejsc może stać jedna z dziesięciu cyfr.

Korzystamy z reguły mnożenia i wyznaczmy liczbę liczb:

Odpowiedź:

Liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest , a o powtarzających się cyfrach jest .

Przykład 3

W dwóch koszykach znajdują się karteczki, na których zapisane są cyfry.

W pierwszym koszyku są karteczki z cyframi , , . W drugim koszyku są karteczki z cyframi: , , , , .

Losujemy dwie karteczki z pierwszego koszyka i trzy z drugiego. Z wylosowanych cyfr układamy liczby pięciocyfrowe. Obliczymy, ile można utworzyć takich liczb.

Rozwiązanie:

Z pierwszego koszyka losujemy dwie cyfry spośród trzech (kolejność losowania nie ma znaczenia):

Z drugiego koszyka losujemy trzy cyfry spośród pięciu (kolejność losowania nie ma znaczenia):

Mamy teraz pięć karteczek na których zapisane są różne cyfry.

Mamy

możliwości utworzenia liczb pięciocyfrowych.

Korzystamy z reguły mnożenia i obliczamy ile jest wszystkich możliwości utworzenia liczb spełniających warunki zadania.

Odpowiedź:

Można utworzyć liczb spełniających warunki zadania.

Przykład 4

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb naturalnych dziewięciocyfrowych, w zapisie dziesiętnym których nie występuje zero, występują dokładnie trzy jedynki, dwie dwójki, a pozostałe cyfry nie mogą się powtarzać.

Rozwiązanie:

Najpierw wybieramy trzy miejsca spośród dziewięciu dla jedynek.

Dwie dwójki można ustawić na

miejscach.

Pozostały nam jeszcze

miejsca.

Na tych miejscach możemy rozmieścić pozostałych siedem cyfr (, , , , , , ) na

sposobów.

Zatem wszystkich liczb jest więc

.

Odpowiedź:

Jest liczb spełniających warunki zadania.

Przykład 5

W ostatnim przykładzie pokażemy zastosowania wariacji z powtórzeniami do wyznaczania liczby liczb spełniających określone warunki.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący liczenia liczb.

play_circle_outlineOdtwórz/Zatrzymaj

volume_upWycisz dźwięk

Głośność

record_voice_overAlternatywna ścieżka   subtitlesNapisy    1x Prędkość odtwarzania   fullscreenPełny ekran

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D14ojd2sqOtwiera się w nowym oknie

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący liczenia liczb.

Słownik

reguła mnożenia

jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych  decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa

,

gdzie:

, – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać przedstawione tam zadanie, a dopiero następnie porównaj z rozwiązaniem.

Slajd 1 z 5

Ilustracja interaktywna numer jeden. Napis, Obliczymy, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy osiemnaście. Zauważmy, że liczbę możemy zapisać na trzy sposoby, jako iloczyn ośmiu liczb jednocyfrowych. Rozważymy więc trzy sytuacje. Sytuacja pierwsza, . Sytuacja druga, . Sytuacja trzecia, .

1

1. {audio}Zauważmy, że liczbę możemy zapisać na trzy sposoby, jako iloczyn ośmiu liczb jednocyfrowych. Rozważymy więc trzy sytuacje.

Przejdź do następnego slajdu

Polecenie 2

Oblicz, ile można utworzyć liczb nieparzystych czterocyfrowych o różnych cyfrach z cyfr , , , .

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 2

Ile jest liczb naturalnych dziesięciocyfrowych w zapisie dziesiętnym których tylko pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe cyfry są nieparzyste? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 3

W koszu jest tyle piłeczek, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych o różnych cyfrach podzielnych przez . Przeciągnij poprawną odpowiedź.

W koszu jest     piłeczek.

Ćwiczenie 4

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe w zapisie dziesiętnym których występują tylko cyfry , , , przy czym cyfra występuje dokładnie cztery razy. Oblicz, ile jest takich liczb. Uzupełnij obliczenia, przeciągając odpowiednie liczby.

Miejsce dla cyfry można wybrać na     sposobów.

Na pozostałych     miejscach można wpisać jedną z pozostałych dwóch cyfr.

Tych możliwości jest    .

Wszystkich takich liczb dziesięciocyfrowych jest    .

Ćwiczenie 5

Oblicz, ile jest liczb naturalnych dodatnich mniejszych od podzielnych przez , ale niepodzielnych przez .

Uzupełnij rozwiązanie zadania, wpisując odpowiednie liczby naturalne.

Niech będzie zbiorem liczb naturalnych dodatnich mniejszych od podzielnych przez .

Niech będzie zbiorem liczb naturalnych dodatnich mniejszych od podzielnych przez .

Niech będzie zbiorem liczb naturalnych dodatnich mniejszych od podzielnych przez , ale niepodzielnych przez .

Wtedy:

Zbiór składa się z liczb podzielnych przez         .

Ćwiczenie 6

Ze zbioru liczb losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Zaznacz, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Zdanie

Prawda

Fałsz

Jest możliwości wylosowania takiej trójki liczb, która utworzy ciąg arytmetyczny o różnicy, bedącej liczbą całkowitą.

Jest możliwości wylosowania takiej trójki liczb, która utworzy ciąg arytmetyczny malejący o różnicy, będącej liczbą całkowitą.

Jest możliwości wylosowania takiej trójki liczb, która utworzy ciąg geometryczny o ilorazie, będącym liczbą naturalną dodatnią.

Ćwiczenie 7

Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, których suma cyfr jest równa .

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Ćwiczenie 8

Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, które w dzieleniu przez dają resztę .

Pokaż rozwiązanie

Pokaż odpowiedź

Dla nauczyciela

Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Liczenie liczb

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum,  zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

XI. Kombinatoryka. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- określa liczbę liczb spełniających dane warunki;

- wykorzystuje aparat kombinatoryczny do wyznaczania liczby zdarzeń elementarnych w doświadczeniach „z liczbami”;

- tworzy model matematyczny problemu z kontekstem realistycznym.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

- domino;

- kula śniegowa.

Formy pracy:

- praca w grupach;

- praca w parach;

- praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie metodą domina (kostki domina przygotowuje wcześniej nauczyciel) powtarzają wzory kombinatoryczne.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują metodą kuli śniegowej.

2. Uczniowie indywidualnie zapoznają się z materiałem z sekcji „Przeczytaj”, a następnie w parach zapoznają się z filmem samouczkiem. Wymieniają się pozyskanymi informacjami.

3. Pary łączą się w czwórki, a następnie w ósemki i wspólnie ustalają algorytm rozwiązywania zadań na wyznaczanie liczby liczb spełniających określone warunki.

4. Korzystając z ustalonego algorytmu, uczniowie wspólnie rozwiązują ćwiczenia 5 – 8.

Faza podsumowująca:

1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup i par.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest wykonanie ćwiczeń interaktywnych 1 – 4 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

Zliczanie obiektów z podziałem na etapy (cyfry w liczbach)Otwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Film samouczek można wykorzystać na zajęciach poświęconych określaniu liczby zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Galeria zdjęć interaktywnych

Sprawdź się

Dla nauczyciela