Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Na ilustracji przedstawiono czworościan z częściowo odciętym wierzchołkiem.

Czworościan

Źródło: Just Another Photography Dude, dostępny w internecie: https://pexels.com/.

W tym materiale omówimy najmniejszy co do liczby ścian wielościan. Tak jak na płaszczyźnie każdy wielokąt można rozciąć na skończoną liczbę trójkątów, tak w przestrzeni trójwymiarowej każdy wielościan można przedstawić jako skończoną sumę czworościanów. Zastanowimy się nad własnościami czworościanów i spróbujmy je sklasyfikować.

Twoje cele

- Odróżnisz czworościan od innych brył.

- Rozpoznasz czworościany szczególne.

- Zastosujesz własności czworościanu do rozwiązywania zadań z geometrii przestrzennej.

Przeczytaj

Czworościan to wielościan o czterech ścianach. Łatwo zauważyć, że każda ze ścian czworościanu jest trójkątem.

Każdy czworościan ma wierzchołki, krawędzi i nie ma przekątnych – każdy odcinek łączący dwa wierzchołki czworościanu jest jego krawędzią.

Każdy czworościan jest ostrosłupem trójkątnym. Ponieważ wszystkie ściany czworościanu są trójkątami, więc każda z nich może być rozpatrywana jako podstawa i z każdego wierzchołka można poprowadzić wysokość:

Slajd 1 z 4

Przejdź do następnego slajdu

Wśród wszystkich czworościanów wyróżniamy:

- czworościany foremne, w których wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi:

- ostrosłupy prawidłowe, w których jedna ze ścian (którą przyjmujemy za podstawę) jest trójkątem równobocznym, zaś spodek wysokości ostrosłupa poprowadzonej do podstawy pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie:

- ostrosłupy proste, w których spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie, ale podstawą może być dowolny trójkąt:

Przyjrzyjmy się bliżej ostrosłupom prostym. Niech trójkąt będzie podstawą ostrosłupa, wierzchołkiem ostrosłupa nie leżącym w płaszczyźnie podstawy, zaś spodkiem wysokości ostrosłupa i środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Wówczas łatwo zauważyć, że trójkąty , i  są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok ( jest wspólnym bokiem wszystkich trójkątów, wszystkie trójkąty mają kąt prosty oraz , bo są promieniami tego samego okręgu). Zatem , czyli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa prostego są równej długości. Łatwo też zauważyć, że wszystkie krawędzie boczne nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samych kątem.

Jako ćwiczenie pozostawiamy twierdzenia odwrotne do powyższego:

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości, to jest to ostrosłup prosty.

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to jest to ostrosłup prosty.

Często pojawiającym się w zadaniach czworościanem jest taki, którego trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są wzajemnie prostopadłe:

Tego typu czworościany łatwo dostrzec w prostopadłościanach – krawędzie wzajemnie prostopadłe są krawędziami prostopadłościanu wychodzącymi z jednego jego wierzchołka, zaś pozostałe trzy krawędzie czworościanu są przekątnymi tego prostopadłościanu:

Ciekawym przypadkiem powyższego czworościanu jest taki, którego siatkę można uzyskać z kwadratu.

Problem 1

Zanim zaczniesz czytać dalej, spróbuj tak złożyć kwadrat, aby powstał czworościan. Kwadrat ma być siatką tego czworościanu.

Możesz teraz sprawdzić, jaki czworościan powstaje z siatki będącej kwadratem:

Na animacji przedstawiono jak powstaje czworościan z siatki będącej kwadratem o boku a. Linią przerywaną połączono środki dwóch sąsiednich boków, z wierzchołkiem łączącym dwa inne sąsiednie boki. Kwadrat zgina się wzdłuż linii przerywanych. Powstaje czworościan.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCJbqdKMnOtwiera się w nowym oknie

Przykład 1

Obliczymy objętość czworościanu, którego siatka jest kwadratem o boku .

Zauważmy, że kwadrat można złożyć wzdłuż linii narysowanych poniżej otrzymując czworościan.

Wprowadźmy oznaczenia:

Przyjmijmy trójkąt za podstawę czworościanu. Wówczas wysokością czworościanu będą odcinki i , które nałożą się na siebie nawzajem. Czyli wysokość czworościanu to .

W podstawie znajduje się trójkąt prostokątny równoramienny, więc jego pole to

.

Zatem objętość otrzymanego czworościanu możemy obliczyć stosując wzór na objętość ostrosłupa:

.

Przykład 2

Dany jest czworościan o polu powierzchni . Na każdej krawędzi wyznaczono jej środek i otrzymane punkty połączono w taki sposób, aby odcinki łączące środki krawędzi leżały na powierzchni ostrosłupa. Otrzymane odcinki tworzą krawędzie nowego wielościanu. Wyznaczymy pole jego powierzchni.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Punkty , , , , , są środkami odcinków , , , , oraz . Po ich połączeniu otrzymujemy krawędzie nowego wielościanu, który okazuje się być ośmiościanem jak niżej

Zauważmy teraz, że przeciwległe ściany otrzymanego ośmiościanu są przystające. Możemy to uzasadnić na przykładzie ścian oraz . Odcinek ma długość równą połowie odcinka (łączy środki boków trójkąta ) oraz odcinek ma długość równą połowie odcinka (łączy środki boków trójkąta ). Ponadto , bo łączy środki boków trójkąta , zaś łączy środki boków trójkąta , oraz , bo łączy środki boków trójkąta , zaś łączy środki boków trójkąta . Zatem na mocy cechy bok-bok-bok trójkąty oraz są przystające. Poza tym oba są podobne w skali do trójkąta (na mocy cechy bok-bok-bok podobieństwa trójkątów). Zatem pole każdego z tych trójkątów jest równe pola trójkąta , więc suma tych pól to pola trójkąta . Analogicznie postępujemy dla pozostałych par trójkątów będących ścianami ośmiokąta. Stąd już łatwo wyciągnąć wniosek, że pole powierzchni ośmiokąta jest równe połowie pola powierzchni czworokąta, czyli wynosi .

Środek kuli wpisanej w czworościan

W każdy czworościan można wpisać kulę. Jest to kula, która jest styczna do wszystkich ścian czworościanu (ma z każdą z nich dokładnie jeden punkt wspólny). Środek kuli wpisanej w czworościan jest równoodległy od wszystkich jego ścian. Odległość jest równa promieniowi kuli.

Środek kuli opisanej na czworościanie

Na każdym czworościanie można opisać kulę. Kula opisana na czworościanie to taka kula, której powierzchnia (sfera) zawiera wszystkie wierzchołki czworościanu. Środek kuli opisanej na czworościanie jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków. Odległość ta jest równa promieniowi kuli.

Przypomnijmy, że na płaszczyźnie przez trzy dowolne punkty nie leżące na jednej prostej przechodzi dokładnie jeden okrąg. W przestrzeni trójwymiarowej można udowodnić analogiczne twierdzenie:

Przez cztery różne punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna sfera.

Przykład 3

Wyznaczymy promień kuli opisanej na czworościanie, którego ściany spełniają następujące warunki:

- jedna ze ścian jest trójkątem równobocznym o boku oraz

- trzy pozostałe ściany są przystającymi trójkątami prostokątnymi równoramiennymi o przeciwprostokątnej .

W rozwiązaniu tego zadania skorzystamy z faktu, że przez dowolne cztery punkty, które nie leżą na jednej płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna sfera.

Zauważmy najpierw, że omawiany czworościan jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, w którym kąt między krawędziami bocznymi jest prosty.

Slajd 1 z 2

Przejdź do następnego slajdu

Zauważmy, że rozważany ostrosłup można otrzymać z sześcianu w następujący sposób:

- wierzchołek ostrosłupa jest jednym z wierzchołków sześcianu,

- krawędzie boczne ostrosłupa są krawędziami sześcianu,

- krawędzie podstawy ostrosłupa są przekątnymi ścian sześcianu.

Łatwo obliczyć, że krawędź sześcianu ma długość .

Ponieważ punkt przecięcia przekątnych sześcianu jest równoodległy od wszystkich jego wierzchołków, więc jest środkiem kuli opisanej na sześcianie.

Skoro cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie wyznaczają strefę w sposób jednoznaczny, więc kula opisana na czworościanie i kula opisana na sześcianie jest tą samą kulą. Jej promień to połowa przekątnej sześcianu:

.

Słownik

wysokość ostrosłupa

odległość wierzchołka nie leżącego w podstawie ostrosłupa od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę podstawy; również odcinek o długości równej tej odległości

czworościan

wielościan o czterech ścianach; ściany czworościanu są trójkątami

Prezentacja multimedialna

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj polecenie 2.

Slajd 1. Czworościan ma cztery ściany. Na ilustracji przedstawiono czworościan, każdą ze ścian wyróżniono innym kolorem. Slajd 2. Czworościan ma cztery wierzchołki. Na rysunku zaznaczono cztery wierzchołki A, B, C, D czworościanu. Slajd 3. Czworościan ma sześć krawędzi. Na rysunku, kolorami wyróżniono każdą z sześciu krawędzi czworościanu. Slajd 4. Czworościan foremny. Wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Na rysunki przedstawiono czworościan. Wszystkie krawędzie czworościanu oznaczono małą literą a. Slajd 5. Czworościan to ostrosłup trójkątny. Każda ściana może być jego podstawą i do każdej ściany możemy poprowadzić wysokość ostrosłupa. Na rysunku przedstawiono czworościan i poprowadzono wysokość do podstawy, oraz do każdej z trzech ścian bocznych. Slajd 6. Ostrosłup prosty. Spodek wysokości pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na podstawie. Na rysunku przedstawiono ostrosłup o podstawie ABC, na której opisano okrąg. Z wierzchołka D ostrosłupa, poprowadzono wysokość, której spodek leży poza powierzchnią podstawy, w punkcie S, stanowiącym środek okręgu, na którym opisano podstawę ostrosłupa. Slajd 7. Ostrosłup prawidłowy to ostrosłup prosty, w którego podstawie jest figura foremna. Na rysunku przedstawiono ostrosłup ABCD, którego podstawę stanowi trójkąt równoboczny. Na podstawie ABC, opisano okrąg. Z wierzchołka D, poprowadzono wysokość, której spodek znajduje się w punkcie S, stanowiącym środek okręgu, w który wpisano podstawę. Obok zapisano własności. Długość boku AB równa się długości boku BC, równa się długości boku AC. Slajd 8. Każdy wielościan można przedstawić jako skończoną sumę czworościanów. Na ilustracji przedstawiono wielościan, złożony z dwóch, stycznych do siebie podstawami czworościanów. Slajd 9. Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan , który jest sumą pięciu czworościanów. Czterech przystających czworościanów , , , i , oraz czworościanu .

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dk9jx7FfUOtwiera się w nowym oknie

Polecenie 2

Dany jest prostopadłościan o krawędziach długości , , . Oblicz objętość czworościanu, którego krawędzie pokrywają się z przekątnymi ścian tego prostopadłościanu.

Pokaż odpowiedź

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie te spośród figur narysowanych poniżej, które są czworościanami.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Ćwiczenie 2

Dana jest siatka pewnego czworościanu.

Oblicz objętość tego czworościanu.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Połącz w pary czworościany z ich cechami charakterystycznymi.

czworościan foremny

ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznymPołączony z: czworościan foremny

ostrosłup prosty trójkątny

wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymiPołączony z: ostrosłup prosty trójkątny

ostrosłup prawidłowy trójkątny

ściany boczne są trójkątami równoramiennymiPołączony z: ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ćwiczenie 4

Poniżej narysowane są siatki pewnych czworościanów. Do każdego czworościanu przeciągnij i upuść jego nazwy oraz własności. Różne litery oznaczają różne wielkości.

siatka 1

siatka 2

siatka 3

siatka 4

siatka 5

Przenieś element.Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości.

Przenieś element.Jest czworościanem foremnym.

Przenieś element.Jest ostrosłupem prostym.

Przenieś element.Jest ostrosłupem prawidłowym.

Przenieś element.Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości.

Przenieś element.Wszystkie ściany mają takie samo pole.

Przenieś element.Wszystkie ściany mają takie samo pole.

Przenieś element.Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości.

Przenieś element.Jest ostrosłupem prawidłowym.

Przenieś element.Ma cztery krawędzie długości oraz dwie krawędzie długości .

Przenieś element.Jest ostrosłupem prawidłowym.

Ćwiczenie 5

Jaka jest objętość czworościanu, którego krawędzie zawierają się w przekątnych ścian sześcianu o krawędzi ?

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Rozwiąż test. Oceń poprawność zdań.

Zdanie

Prawda

Fałsz

Objętość kuli opisanej na czworościanie foremnym jest większa niż objętość tego czworościanu.

Środek kuli wpisanej w czworościan jest równoodległy od wszystkich wierzchołków tego czworościanu.

Środek kuli opisanej na czworościanie leży zawsze wewnątrz tego czworościanu.

Środek kuli opisanej na czworościanie jest równoodległy od wierzchołków tego czworościanu.

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego mają równe długości, to jest to ostrosłup prosty.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Dany jest czworościan . Krawędzie wychodzące z wierzchołka tego czworościanu są parami prostopadłe. Wykaż, że kwadrat pola trójkąta jest równy sumie kwadratów pól trójkątów , oraz .

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać poprawne rozwiązanie zadania.

- Poziom 1:Zauważmy najpierw, że przy przyjętych oznaczeniach suma kwadratów pól trójkątów , oraz jest równa

.

- Poziom 2:W tym celu oznaczmy spodek tej wysokości przez , jej długość przez oraz .

Wówczas .

- Poziom 3:

- Poziom 4:Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach , oraz mamy:

, , .

- Poziom 5:Wobec powyższego kwadrat pola trójkąta jest równy , co dowodzi tezy twierdzenia.

- Poziom 6:Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach i  otrzymujemy równania:

- Poziom 7:Po odjęciu powyższych równań stronami otrzymujemy . Zaś po podstawieniu wyznaczonego do wybranego z nich mamy:

- Poziom 8:Aby to osiągnąć, wyznaczamy długości odcinków , i  w zależności od , , .

- Poziom 9:Powyższe wyrażenie po uproszczeniu przyjmuje postać .

- Poziom 10:Mając dane długości odcinków , i , możemy obliczyć wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka .

- Poziom 11: oraz

- Poziom 12:Teraz jesteśmy już gotowi wyrazić pole trójkąta w zależności od , , :

- Poziom 13:

- Poziom 14:Teraz naszym celem jest pokazanie, że kwadrat pola trójkąta jest równy .

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz

Przedmiot: Matematyka

Temat: Czworościan

Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

- kompetencje cyfrowe;

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

- odróżnia czworościan od innych brył;

- rozpoznaje czworościany szczególne;

- wykorzystuje własności czworościanu do rozwiązywania zadań z geometrii przestrzennej.

Strategie nauczania:

- konstruktywizm;

- konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

- dyskusja;

- mapa myśli.

Formy pracy:

- praca indywidualna;

- praca w grupach;

- praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

- komputery z dostępem do internetu;

- projektor multimedialny;

- e-podręcznik;

- arkusze papieru, pisaki.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie zastanawiają się z czym kojarzą słowo czworościan podają przykłady jak taka bryła wygląda.

2. Nauczyciel prosi uczniów aby przypomnieli definicję ostrosłupa oraz jego podstawowe własności.

3. Nauczyciel podaje temat lekcji, wspólnie z uczniami określa kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie definiują czworościan i jego własności.

2. Nauczyciel dzieli uczniów na 4 grupy. Każda z grup tworzy mapę myśli zawierającą podział czworościanów i ich własności. Po prezentacji prac grup powstaje jedna, wspólna dla całej klasy mapa myśli z klasyfikacją czworościanów.

3. Wybrani uczniowie rysują siatki dla poszczególnych czworościanów.

4. Uczniowie w grupach rozwiązują ćwiczenie 4 w sekcji „Sprawdź się”.

5. Uczniowie analizują przykłady pokazujące czworościan opisany na kuli i wpisany w kulę.

6. Uczniowie zapoznają się z prezentacją multimedialną i rozwiązują polecenie z nią związane.

7. Uczniowie rozwiązują ćwiczenia 5-7 w sekcji „Sprawdź się”.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji.

2. Na zakończenie nauczyciel dokonuje oceny pracy wylosowanej grupy. Prosi o samoocenę uczniów dotyczącą współpracy w zespole oraz wykonanego zadania. Dokonuje oceny pracy wybranych uczniów.

Praca domowa:

- Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane  na zajęciach.

Materiały pomocnicze:

Czworościan foremnyOtwiera się w nowym oknie

Wskazówki metodyczne:

Prezentację multimedialną i polecenie z nią związane można wykorzystać jako zadania domowe. Elementy znajdujące się w prezentacji mutimedialnej można również wykorzystać w lekcji „Czworościan foremnny” lub „Kąty między ścianami w czworościanie”.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Prezentacja multimedialna

Sprawdź się

Dla nauczyciela