Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Grafika interaktywna

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Co mówi III prawo Keplera?

Źródło: dostępny w internecie: https://www.nasa.gov/sites/default/files/thumbnails/image/pia12114_0.jpg [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Czy to nie ciekawe ?

Johannes Kepler był niemieckim uczonym żyjącym na przełomie XVI i XVII wieku. Dzięki analizie wieloletnich obserwacji duńskiego astronoma - Tycho Brahe - sformułował on trzy prawa, które opisują ruch ciał Układu Słonecznego. Jak później się okazało, opisują również ruch obiektów każdego innego układu planetarnego. Pierwsze dwa prawa opisują ruch ciała-planety wokół Słońca. Trzecie prawo odnosi się do zależności w ruchu kilku ciał wokół masy centralnej. Kepler dokonał analizy ruchu planet w oparciu o dane obserwacyjne, nie znając jeszcze prawa grawitacji (Newton urodził się prawie sto lat później).

Twoje cele

W tym materiale:

- poznasz definicję trzeciego prawa Keplera,

- zrozumiesz, jaka jest zależność pomiędzy rozmiarami orbit planet a ich okresami obiegu w tym samym układzie planetarnym,

- wyznaczysz stałą opisującą III prawo Keplera dla Układu Słonecznego,

- zauważysz związek pomiędzy obserwowanym ruchem planet a prawem powszechnego ciążenia.

Przeczytaj

Warto przeczytać

Rys. 1. Porter Kelpera, autor nieznany, 1610.

Źródło: dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Johannes_Kepler_1610.jpg [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Kepler, jako wybitny matematyk, był cenionym uczonym. Był zwolennikiem teorii Kopernika, co w tamtych czasach nie było powszechne. Bardzo dokładnie analizował dane obserwacyjne zbierane przez lata przez duńskiego astronoma Tychona Brahe - jednego z jednego z najwybitniejszych obserwatorów nocnego nieba tamtych czasów – Tycho Brahe. Dzięki wielkiej bazie pomiarów położeń planet na niebie mógł wyznaczyć zależności pomiędzy parametrami charakteryzującymi planety. Na mocy pierwszych dwóch praw dokładnie określił kształt orbit planet. Następnie porównał średnie odległości z czasem obiegu planet wokół Słońca. W ten sposób sformułował prawo, określające zależność pomiędzy okresem obiegu planet a ich odległościami w Układzie Słonecznym.

III prawo Kelpera

Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym.

Kepler w tamtym czasie wiedział, że stosunek ten jest taki sam dla wszystkich planet, ale nie było jeszcze wtedy wiadomo, dlaczego tak się dzieje. Natomiast dzięki rozwojowi nauki, przede wszystkim odkryciu prawa grawitacji, wiadomo, że stała ta ma postać:

,

czyli zależy od stałej grawitacji

oraz masy Słońca. Dzięki temu prawu znając jedynie wielką półoś orbity planety oraz jej okres bez problemu możemy wyznaczyć masę gwiazdy centralnej z bardzo dobrym przybliżeniem.

Wykorzystując prawo powszechnego ciążenia oraz wiedzę na temat ruchu planet wokół Słońca, można zapisać uogólnione III prawo Keplera w postaci:

,

gdzie

to masa Słońca, – masa planety, – stała grawitacji.

Ponieważ masa planety jest znikomo mała w porównaniu z masą Słońca (

), często pomija się ją w obliczeniach, dostając postać zapisaną powyżej jako podstawowe III prawo Keplera. Natomiast nie do przecenienia jest rola, jaką uogólnione III prawo Keplera odgrywa w astrofizyce - to dzięki niemu, obserwując i analizując wzajemny ruch składników w układach podwójnych gwiazd oraz pozasłonecznych układach planetarnych mamy możliwość wyznaczania mas odległych obiektów.

Odkrycie prawa powszechnej grawitacji pozwoliło wyznaczyć stałą dla każdego układu planetarnego, w szczególności Układu Słonecznego. Wiedząc, że:

- masa Słońca:

= 1,989 ∙ 10Indeks górny 3030 kg,

- stała grawitacji:

= 6,67430(15) ∙ 10Indeks górny -11-11,

dostajemy wartość stałej w uogólnionym III prawie Keplera równą 3,3626 ∙ 10Indeks górny 1818 w Układzie Słonecznym. Dzięki temu możemy, na przykład, wyznaczyć wielką półoś orbity planety na podstawie okresu jej obiegu. Dziś już wiadomo, że prawo to jest słuszne w każdym układzie planetarnym.

Planeta

Średnia odległość

do Słońca (AU)

Okres obiegu

(dni)

Merkury

0.389

87.77

7.64

Wenus

0.724

224.70

7.52

Ziemia

1

365.25

7.50

Mars

1.524

686.95

7.50

Jowisz

5.2

4332.62

7.49

Saturn

9.510

10759.2

7.43

Tab. 1. Dane użyte przez Keplera (1618).

W Tab. 1. przedstawiono dane, którymi posługiwał się Kepler oraz w ostatniej kolumnie prawie stałą wartość wiążącą okres obiegu z odległością planety od Słońca. Po odkryciu tego wzorca Kepler napisał: Wydawało mi się, że śnię... Ale jest absolutnie pewne i dokładne, że stosunek, który istnieje między okresami dowolnych dwóch planet, jest dokładnie stosunkiem 3/2 potęgi ich średniej odległości od Słońca (J. Kepler, Harmonices Mundi, 1619).

Rys. 2. W ostatnim rozdziale książki "Harmonie świata" Kepler opisał swoje trzecie prawo.

Źródło: dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Harmonices_Mundi_0001-lg.jpg [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Kepler potrafił w swoich czasach stwierdzić jedynie, że stosunki sześcianu wielkiej półosi do kwadratu okresu obiegu dla każdej planety są stałe. Nie była wtedy znana wartość stałej

i nie była znana masa Słońca. Dzięki odkryciu tego prawa przez Keplera, Newton mógł potwierdzić swoje przypuszczenia, że siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości oddziałujących ciał i sformułować prawo powszechnej grawitacji. Więcej o zależności III prawa Keplera i prawa powszechnego ciążenia dowiesz się w e-materiale pt. „Jaki jest wiązek między III prawem Keplera a prawem powszechnego ciążenia?”.

Słowniczek

teoria heliocentryczna

teoria mówiąca o tym, że wszystkie planety krążą po orbitach wokół Słońca. Sformułowana została przez Mikołaja Kopernika w pierwszej połowie XVI wieku. Wcześniej zakładano, że Ziemia jest centrum wszystkiego – była to teoria geocentryczna.

jednostka astronomiczna

jednostka długości używana do opisu odległości w układach planetarnych. Jedna jednostka astronomiczna (AU) to średnia odległość Ziemi od Słońca. Często przyjmuje się przybliżenie, że 1 AU = 150 mln km. Wartość dokładna to 1 AU = 149 597 870 700 m

Grafika interaktywna

Co mówi III prawo Keplera?

Polecenie 1

Zapoznaj się z informacjami przedstawionymi na poniższej grafice interaktywnej. Klikając na numerki przyporządkowane planetom zobaczysz

- stałą występującą w III prawie Keplera,

- okres obiegu planety,

- wartość wielkiej półosi orbity tej planety.

Ilustracja interaktywna 1. Merkury Okres obiegu 0.24 lat

Wielka półoś 0.38 AU

T 1.0497, 2. Wenus Okres obiegu 0.62 lat

Wielka półoś 0.72 AU

T 1.0299, 3. Ziemia Okres obiegu 1.00 lat

Wielka półoś 1.00 AU

T 1.0000, 4. Mars Okres obiegu 1.88 lat

Wielka półoś 1.52 AU

T 1.0064, 5. Jowisz Okres obiegu 11.86 lat

Wielka półoś 5.20 AU

T 1.0004, 6. Saturn Okres obiegu 29.45 lat

Wielka półoś 9.54 AU

T 0.9989, 7. Uran Okres obiegu 84.07 lat

Wielka półoś 19.19 AU

T 1.0001, 8. Neptun Okres obiegu 164.88 lat

Wielka półoś 30.07 AU

T 0.9999

Źródło: dostępny w internecie: https://www.nasa.gov/sites/default/files/thumbnails/image/pia12114_0.jpg [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Polecenie 2

Dopasuj podane wielkości do odpowiadających im planet.

Usun AU     Usun AU     Usun     Usun lat     Usun

Źródło: dostępny w internecie: https://www.nasa.gov/sites/default/files/thumbnails/image/pia12114_0.jpg [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Co opisuje III prawo Keplera?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- ruch satelitów wokół Ziemi

- prędkość danej planety w różnych punktach orbity wokół Słońca

- zależność pomiędzy okresem obiegu a wielkością orbity

- kształt orbit planet

Ćwiczenie 2

Jaką postać przyjmuje III prawo Keplera, jeżeli chcemy wyznaczyć dowolną:

a) wielką półoś orbity,

b) okres obiegu planety.

Dla uproszczenia przyjmijmy oznaczenie, że stała w III prawie Keplera równa jest .

a) wielka półoś orbity =

b) okres obiegu planety =

Ćwiczenie 3

Uzupełnij tabelę wykorzystując III prawo Keplera. Wyniki podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

planeta

Wielka półoś [AU]

Okres obiegu [lata ziemskie]

Merkury

0,241

Wenus

0,616

Ziemia

1,000

1,000

Mars

1,524

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tabelę. Za jednostki przyjmij AU dla wielkiej półosi oraz rok ziemski dla okresów. Wyniki podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

planeta

Wielka półoś [AU]

Okres obiegu [lata ziemskie]

Jowisz

11,86

Saturn

29,45

Uran

19,19

Neptun

30,07

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 5

Wyznacz wielką półoś orbity komety Hale'a-Boppa wiedząc, że okres jej obiegu wokół Słońca to 2456 lat. Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych AU.

Wielką półoś orbity wynosi:          AU.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Planeta skalista Mars ma dwa niewielkie księżyce : Fobos i Deimos. Fobos okrąża Marsa po orbicie o wielkiej półosi równej 9375 km, z okresem 0,319 dnia (nieco ponad pół godziny). Wiedząc, ze Deimos znajduje się w średniej odległości 23458 km od Marsa, oblicz jego okres obiegu. Wynik podaj w godzinach, minutach.

Okres obiegu wynosi          godzin          minut.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Tak samo jak Ziemia okrąża Słońce, tak też Księżyc okrąża Ziemię. Wyznacz wielką półoś orbity Księżyca w jednostkach astronomicznych z zaokrągleniem do dwóch cyfr znaczących. Przyjmij, że masa Ziemi wynosi 5,972 ∙10Indeks górny 24kg, okres obiegu Księżyca wokół niej to 27,3 dnia, a .

Wielką półoś orbity wynosi          AU.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Pewnego satelitę wojskowego wystrzelono na orbitę okołoziemską. Znajduje się on na orbicie o wielkiej półosi równej 23 222 km. Oblicz okres jego obiegu wokół Ziemi w godzinach. Masa Ziemi : , . Wynik zaokrąglij do całości.

Okres obiegu wynosi          h

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 9

W centrum naszej galaktyki znajduje się supermasywna czarna dziura Sagittarius A*. Od 1992 roku międzynarodowy zespół naukowy w obserwatorium ESO Very Large Telescope (VLT) w Chile obserwuje gwiazdę S2 krążącą wokół tej czarnej dziury. Spróbuj wypatrzeć na poniższym filmie poklatkowym (łączącym zdjęcia zrobione na przestrzeni kilkunastu lat) tę gwiazdę.

Film przedstawia ruchy gwiazd po orbitach eliptycznych wokół czarnej dziury. Na ciemnym tle pokazano jasne punkty poruszające się ruchem eliptycznym w różnych płaszczyznach. Film powstał w oparciu o zdjęcia wykonane na przestrzeni lat, przy pomocy teleskopu umieszczonego w obserwatorium w Chile.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RGv2JvozM7KnXOtwiera się w nowym oknie

ESO/ R.Genzel and S. Gillessen

Źródło: https://www.eso.org/public/usa/videos/eso0846j/?lang, domena publiczna.

Film przedstawia ruchy gwiazd po orbitach eliptycznych wokół czarnej dziury. Na ciemnym tle pokazano jasne punkty poruszające się ruchem eliptycznym w różnych płaszczyznach. Film powstał w oparciu o zdjęcia wykonane na przestrzeni lat, przy pomocy teleskopu umieszczonego w obserwatorium w Chile.

Na pewno udało Ci się zauważyć eliptyczną orbitę tej gwiazdy w centralnej części filmu. Na poniższym rysunku przedstawiono szcegółowe wyniki pomiaru trajektorii gwiazdy S2.

ESO/MPE/GRAVITY Collaboration

Źródło: dostępny w internecie: https://www.eso.org/public/usa/images/eso1825c/ [dostęp 4.05.2022], domena publiczna.

Na podstawie tych pomiarów oszacowano czas obiegu gwiazdy S2 wokół czarnej dziury na

lat. Korzystając z danych pokazanych na tym rysunku (dopasowanej do punktów pomiarowych elipsy i skali w niej umieszczonej) oszacuj, ile razy cięższa od Słońca jest badana czarna dziura. Podczas obliczeń przyjmij, że masa S2 jest zaniedbywalnie mała w stosunku do masy Sagittariusa A*.

10Indeks górny              .

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Pokaż wyjaśnienie

Dla nauczyciela

Imię i nazwisko autora:

Monika Sitek

Przedmiot:

fizyka

Temat zajęć:

Jaka jest treść III prawa Keplera?

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.

IV. Posługiwanie się informacjami pochodzącymi z analizy materiałów źródłowych, w tym tekstów popularnonaukowych.

Zakres rozszerzony

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:

16) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik zgodnie z zasadami zaokrąglania oraz zachowaniem liczby cyfr znaczących wynikającej z dokładności pomiaru lub z danych;

18) przedstawia własnymi słowami główne tezy tekstu popularnonaukowego z dziedziny fizyki lub astronomii.

IV. Grawitacja i elementy astronomii. Uczeń:

5) interpretuje III prawo Keplera jako konsekwencję prawa powszechnego ciążenia; stosuje do obliczeń III prawo Keplera dla orbit kołowych.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje cyfrowe,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. rozumie zależność w III prawie Keplera;

2. wykorzystuje w obliczeniach III prawo Keplera;

3. analizuje ruch planet w różnych układach na podstawie III prawa Keplera.

Strategie nauczania:

fliped-classroom

Metody nauczania:

burza mózgów, analiza pomysłów

Formy zajęć:

praca w grupach

Środki dydaktyczne:

urządzenie multimedialne z dostępem do Internetu dla grup uczniów

Materiały pomocnicze:

e-materiały : „Zastosowanie praw Keplera w obliczeniach”, „Pierwsze prawo Keplera”, „Jaki jest związek między III prawem Keplera, a prawem powszechnego ciążenia?”, „Jaka jest treść I prawa Keplera?”

PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Uczniowie zapoznają się z całym e-materiałem samodzielnie w domu. Nauczyciel pyta uczniów, co było niezrozumiałe w e-materiale. Wyjaśnia uczniom wątpliwości. Jeżeli jakiś uczeń zrozumiał bez problemów cały materiał, wyjaśnia kolegom i koleżankom niejasności.

Faza realizacyjna:

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy po 3 -4 osoby w każdej grupie. Każda grupa dostaje zestaw danych:

- informacje o gwieździe (kilkuzdaniowy tekst) w tym jej masę, promień, odległość od Ziemi, wiek;

- wybiórcze informacje o planetach okrążających daną gwiazdę: parametry orbity.

Uczniowie w grupach analizują ten układ planetarny. Ich zadaniem jest wyznaczyć na mocy III prawa Keplera okresy obiegu planet.

Jeżeli grupa jest złożona z wybitnych uczniów dodatkowo dostają informację (wymyśloną) o księżycu okrążającym jedną lub dwie planety w tym układzie. Na przykład gwiazda podobna do Słońca, wokół której krążą 4 planety, dwie z nich mają księżyce w zadanej odległości od tej planety. Ewentualnie jedna planeta ma 3 księżyce w zadanej odległości.

Faza podsumowująca:

Każda grupa prezentuje klasie swój układ planetarny. Może to być w formie krótkiej pogadanki, ale również w postaci plakatu, grafiki lub prezentacji multimedialnej.

Praca domowa:

W ramach powtórzenia i utrwalenia wiadomości uczniowie rozwiązują zadania: 2, 3, 5, 7 z zestawu ćwiczeń .

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium

Uczniowie mogą wykorzystać multimedium na lekcji „Zastosowanie praw Keplera w obliczeniach”.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Grafika interaktywna

Sprawdź się

Dla nauczyciela