Spis treści

Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory

Materiał ten poświęcony jest przedziałom liczbowym. Analizując zawarte tu przykłady, poznasz rodzaje przedziałów liczbowych i ich interpretację geometryczną.

Już wiesz

Animacja ilustruje na osi liczbowej rozwiązywanie nierówności liniowych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RXKaKI6fRWOYIOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja ilustruje na osi liczbowej rozwiązywanie nierówności liniowych.

Rozwiązania powyższych nierówności doprowadziły nas do zdefiniowania przedziałów nieograniczonych.

Definicja:  Przedziały nieograniczone

Niech

będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

- Zbiór liczb spełniających nierówność

nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy .

- Zbiór liczb spełniających nierówność

nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy .

- Zbiór liczb

spełniających nierówność nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy .

- Zbiór liczb

spełniających nierówność nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy .

Przyjrzyjmy się teraz przedziałom ograniczonym.

Przykład 1

- Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które jednocześnie spełniają nierówności

i .

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy (-3, 5).

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RCPFpxmDMMClQOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 niezamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy (-3, 5).

Taki przedział nazywamy otwartym. Należą do niego wszystkie liczby większe od

i jednocześnie mniejsze od . Przedział otwarty oznaczamy

. Nierówności i  możemy zastąpić nierównością podwójną .

- Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek

.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R9QghuCT8sgQnOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punktach o współrzędnych -3 i 5 zamalowane kółka. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy <-3, 5>.

Taki przedział nazywamy domkniętym. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe

i jednocześnie mniejsze lub równe . Przedział domknięty oznaczamy .

- Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek

.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko, w punkcie 5 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy (-3, 5>.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1SrpBXL9zYDbOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 niezamalowane kółko, w punkcie 5 zamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe od -3 i mniejsze lub równe 5. Zapis: x należy (-3, 5>.

Taki przedział jest otwarty z lewej strony i  domknięty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe od

i jednocześnie mniejsze lub równe . Musimy pamiętać, że liczba nie należy do tego przedziału, a liczba do niego należy. Przedział ten oznaczamy .

- Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają warunek

.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 zamalowane kółko, w punkcie 5 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy <-3, 5).

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1WvJGs3F5NeGOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. W punkcie o współrzędnej -3 zamalowane kółko, w punkcie 5 niezamalowane kółko. Zaznaczone liczby większe lub równe -3 i mniejsze od 5. Zapis: x należy <-3, 5).

Taki przedział jest domknięty z lewej strony i  otwarty z prawej. Należą do niego wszystkie liczby większe lub równe

i jednocześnie mniejsze od . Musimy pamiętać, że liczba należy do tego przedziału, a liczba do niego nie należy. Przedział ten oznaczamy .

Definicja:  Przedziały ograniczone

Niech

i  będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym .

- Przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór liczb

spełniających warunek . Przedział ten oznaczamy .

- Przedziałem obustronnie domkniętym nazywamy zbiór liczb

spełniających warunek . Przedział ten oznaczamy .

Przykład 2

Usystematyzujemy wiadomości dotyczące przedziałów.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału

i do przedziału .

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 7 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna. Zapis: (0, 7) iloczyn zbioru <-2, 4> =(0, 4>.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RBbFYs4cJny9aOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 7 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich część wspólna. Zapis: (0, 7) iloczyn zbioru <-2, 4> =(0, 4>.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przedział

zawiera liczby, które należą do obu przedziałów jednocześnie. Przedział jest częścią wspólną (iloczynem) przedziałów i .

Symbolicznie zapisujemy

.

Przykład 4

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby należące do przedziału

lub do przedziału .

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma. Zapis: (0, 7) suma zbioru <-2, 4> =<-2, 7).

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1aXbXRlsCFPYOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -5 do 7. W punktach o współrzędnych -2 i 4 zamalowane kółka, w punktach 0 i 7 niezamalowane kółka. Zaznaczone przedziały (0, 7) i <-2, 4> oraz ich suma. Zapis: (0, 7) suma zbioru <-2, 4> =<-2, 7).

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przedział

zawiera liczby, które należą do jednego z dwóch przedziałów (lub do obu jednocześnie). Przedział jest sumą przedziałów i .

Symbolicznie zapisujemy

.

Definicja:  Część wspólna przedziałów. Suma przedziałów

- Częścią wspólną (iloczynem) przedziałów

i  nazywamy zbiór złożony z liczb, które należą jednocześnie do obu przedziałów. Iloczyn przedziałów oznaczamy .

- Sumą przedziałów

i  nazywamy przedział zawierający wszystkie liczby z przedziałów i . Sumę przedziałów oznaczamy

Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które

1. należą do sumy przedziałów

oraz ,

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2.należą do sumy przedziałów

oraz ,

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3. należą do części wspólnej przedziałów

i ,

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. należą do części wspólnej przedziałów

i .

Zasób oparty o element wizualny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż odpowiedź