Spis treści

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela

Zdjęcie okładkowe (poglądowe) wirującego bączka zabawki. Bączek składa się z płaskiej, poziomej powierzchni w kształcie okręgu ze szprychami i prostopadłego bolca przechodzącego przez środek tej powierzchni. Bolec ustawiony jest pionowo. Na tle zdjęcia umieszczono tytuł "Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym".

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym

Czy to nie ciekawe?

Przez tysiąclecia ludzkość zmagała się – i nadal się zmaga – z problemem efektywnego gromadzenia energii. Jak wykonać pracę, zmagazynować energię i wykorzystać ją później? Jednym z rozwiązań było gromadzenie energii mechanicznej w kołach zamachowych. Czym jest koło zamachowe? Czy nadal jest stosowane?

Rys. a. Koło zamachowe "Szaleniec z Maleńca", z zakładu hutniczego w Maleńcu. [Źródło: Marek K. Misztal [CC BY-SA]]

Twoje cele

W tym materiale:

- dowiesz się, jak obliczamy energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej,

- zrozumiesz, jak wykorzystuje się energię mechaniczną akumulowaną w kołach zamachowych,

- wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania zagadnień dotyczacych bryły sztywnej w ruchu obrotowym.

Przeczytaj

Warto przeczytać

Energia kinetyczna punktu materialnego o masie , poruszającego się z prędkością wynosi, jak pamiętamy, . Wyznaczenie energii tego ciała w ruchu  obrotowym wymaga przypomnienia relacji , gdzie to wartość prędkości kątowej tego ciała wokół osi odległej o  i prostopadłej do wektora prędkości liniowej. Wstawiając ten związek do wzoru na energię kinetyczną otrzymamy:

Oznacza to, że dwa ciała o tej samej masie, obracające się z tą samą prędkością kątową wokół tej samej osi, będą miały różną energię kinetyczną, jeśli są w różnej odległości od tej osi. Z drugiej strony, energie te będą różne dla dwóch identycznych ciał będących w tej samej odległości od osi, jeśli ciała te będą poruszać się z różnymi prędkościami kątowymi.

Powyższy przykład jest dość elementarny. Zastanówmy się teraz nad sytuacją, w której obracają się nie punkty materialne lecz bryła sztywna.

W specjalnym przypadku bryły będącej zbiorem punktów materialnych, jej energia kinetyczna w ruchu obrotowym jest sumą energii kinetycznych wszystkich jej (punktowych) składników:

W ostatnim przekształceniu skorzystaliśmy z definicji momentu bezwładności:

dla skończonego układu punktów materialnych. Okazuje się, że wyprowadzenie to działa dla ogólnego przypadku bryły sztywnej:

Dla zainteresowanych

Uwaga: Związek energii kinetycznej ruchu obrotowego dla bryły sztywnej jest uogólnieniem obowiązującym dla bryły składającej się ze skończonej liczby punktowych mas na przypadek ciągłego rozkładu materii.

We wzorze na moment bezwładności suma po skończonym zbiorze zamienia się na całkę z gęstości (stałej, jeśli bryła jest jednorodna) mnożonej przez kwadrat odległości od osi (Rys. 1.). Wykonujemy ją po obszarze całej bryły:

Całkę należy w tym przypadku rozumieć następująco: dzielimy bryłę na N części (niebieski sześcianik na Rys. 1. odpowiada jednemu elementowi spośród wszystkich, na które ją podzieliliśmy), dla każdej obliczamy gęstość, mnożymy przez kwadrat odległości tej części od osi obrotu i sumujemy po wszystkich częściach od 1 do N. Im większe N, tym „drobniejszy” i „dokładniejszy” podział bryły i tym bliższy wynik takiego sumowania jest rzeczywistemu wynikowi.

Rys. 1. Bryła sztywna wraz z oznaczoną odleglością rozważanego punktu od osi obrotu

Przyjrzyjmy się zastosowaniom tego wzoru w kilku szczególnych przypadkach.

Przykład 1 – bryła o tej samej masie, ale różnych rozmiarach

Z dwóch kawałków ołowiu o masie każdy, wykonano dwa walce, o promieniu i , przy czym . Różnią się oczywiście w związku z tym wysokością, jak na Rys. 2. Oba walce obracają się wokół swoich osi symetrii z prędkością kątową . Który z nich ma większą energię kinetyczną?

Rys. 2. Dwa walce o równych masach i gęstościach, ale różnych wartościach promienia i wysokości

Skoro , to . Obie bryły mają tę samą masę, ale różnią się rozkładem tej masy w przestrzeni. W przypadku spłaszczonego walca większa część tej masy znajduje się w większej odległości od osi obrotu niż w przypadku walca o mniejszym promieniu. Stąd większa energia kinetyczna ruchu obrotowego przy tej samej prędkości kątowej.

Przykład 2 – bryły o jednakowej masie i różnym kształcie

Z tej samej masy ołowiu odlano kulę i walec o tym samym promieniu. Na wstępie zastanówmy się, jaki jest związek pomiędzy promieniem kuli i wysokością walca. Skoro obie bryły wykonano z tej samej substancji, to wobec równej gęstości, równość mas oznacza równość ich objętości. Stąd:

więc,

Możemy zatem wykonać Rys. 3. i zadać pytanie: które z tych ciał będzie miało większą energię kinetyczną, jeśli rozpędzimy je do tej samej prędkości kątowej wokół wskazanych osi?

Rys. 3. Kula i walec o tej samej masie i tym samym promieniu

Przypomnijmy, że moment bezwładności walca to , a kuli .

Wobec tego walec ma większą energię kinetyczną. Aby lepiej zrozumieć ten wynik, spójrzmy na Rys. 4.

Rys. 4. Walec i kula o tej samej objętości i tym samym promieniu

Widzimy nałożony na siebie przekrój kuli i walca o tym samym promieniu i tej samej objętości. Wyobraźmy sobie, że dzielimy te figury na cienkie warstwy o bardzo małej grubości, jak w prawej części Rys. 4. Zwróćmy uwagę, że w przypadku kuli w odległości od osi obrotu znajduje się tylko mały jej fragment położony na obwodzie kuli. Jednakże w przypadku walca, jest to cała zewnętrzna powierzchnia walcowa o grubości . Innymi słowy – większa część walca znajduje się w większej odległości od osi obrotu niż w przypadku omawianej kuli. Stąd przy tej samej prędkości obrotowej większa jest energia kinetyczna walca.

Innym sposobem czysto geometrycznego uzasadnienia otrzymanej nierówności jest zauważenie, że części kuli oznaczone przez A dają mniejszy wkład do momentu bezwładności niż części walca oznaczone przez B. Części te mają z założenia równe objętości, a więc i masy.

Dla zainteresowanych

Wzór na moment bezwładności (np.: walca) ma postać: . Żeby znaleźć współczynnik k wyobraź sobie, że umownie wycinamy z walca pierścień o wewnętrznym promieniu RIndeks dolny 11. Moment bezwładności będzie wtedy równy różnicy momentów dwóch walców o promieniach R i RIndeks dolny 11 oraz masach  i , gdzie masa walca o ustalonej wysokości jest proporcjonalna do pola powierzchni kołowej podstawy .

Otrzymujemy zatem:

Masa pierścienia wynosi:

Otrzymujemy więc:

Jeśli pierścień jest dostatecznie cienki:

Biorąc pod uwagę, że:

Dochodzimy do ostetcznych wniosków:

Przykład 3 – praca wykonana przy wprawieniu bryły w ruch obrotowy

Z żelaza odlano okrągłą obręcz o masie i promieniu . Obręcz zamocowana jest poprzez szprychy o pomijalnej masie na osi, może się zatem obracać dookoła osi przechodzącej przez swój środek masy. Oś połączona jest mechanizmem kół zębatych z maszyną, która rozpędza obręcz do pewnej prędkości kątowej . Jaką pracę wykonała ta maszyna?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, skorzystajmy z twierdzenia o pracy i energii – zmiana energii układu wymaga wykonania pracy i wielkości te są sobie równe: . Zatem nie musimy analizować siły (i momentu siły) jaką maszyna działała na obręcz poprzez koła zębate - wystarczy, że spojrzymy na stan początkowy i końcowy: energia kinetyczna ruchu obrotowego zmieniła się z 0 do , czyli zmiana energii wyniosła . Wobec tego praca wykonana przez maszynę to .

Odwróćmy teraz pytanie z przykładu 3: jaką pracę może wykonać ta rozkręcona obręcz? Ponownie skorzystamy z twierdzenia o pracy i energii, odpowiadając: . Ta właśnie myśl, że można najpierw wykonać pracę, aby wprawić w ruch obrotowy masywną bryłę sztywną, a następnie wykorzystać jej energię kinetyczną do wykonania pracy, leży u podstaw konstrukcji koła zamachowego. Przykłady takich urządzeń widoczne są na Rys. 5a-d.

Rys. 5a. Koła zamachowe. Zabawka „gyrotwister/powerball” [Źródło: Benjamín Núñez González / CC BY-SA]

Rys. 5b. Koła zamachowe. Koło dwumasowe samochodu.

Rys. 5c. Koła zamachowe. Kopalnia "Luiza".

Rys. 5d. Koła zamachowe. Koło garncarskie.

Koło zamachowe zaprezentowane we wstępie (Rys. a.) to „Szaleniec z Maleńca” – masa tego koła wynosiła aż 38 ton! Młyn wodny rozpędzał je stopniowo, poprzez system przekładni, a zgromadzona w ten sposób energia kinetyczna była wystarczająca, aby następnie mogła zostać przekazana i wykorzystana w urządzeniach w hucie. Widoczne na Rys. 5b. koło dwumasowe również jest magazynem energii kinetycznej – służy do tłumienia drgań w układzie napędowym samochodu. Garncarz również używa koła zamachowego, rozpędza koło garncarskie (Rys. 5d) na początku swojej pracy, a potem korzysta z rozpędzonej tarczy przy tworzeniu glinianych wyrobów. Natomiast zabawka typu „powerball” (Rys. 5a) polega na rozkręceniu za pomocą sznurka masywnej kuli, zachowując się następnie jak żyroskop. Wszystkie te urządzenia wykorzystują energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej.

Słowniczek

Koło zamachowe (ang. flywheel)

(ang.: flywheel) bryła obrotowa o dużym momencie bezwładności, która wykorzystywana jest do magazynowania energii mechanicznej.

młyn wodny (ang. watermill)

(ang.: watermill) budowla z urządzeniem do przemiału ziarna na mąkę i kaszę, poruszanym za pomocą koła wodnego lub turbiny wodnej, usytuowana nad rzekami.

Film samouczek

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym

W tym miejscu przeanalizujesz co ma większą energię kinetyczną: kula czy walec, jeśli mają tę samą masę i prędkość kątową, a walec ma tę samą wysokość co kula.

Jest to zadanie podobne do opisanego w przykładzie w treści e-materiału – ale teraz zamiast takiego samego promienia mamy taką samą wysokość (wynik jest odwrotny niż w przykładzie).

Zapoznaj się z audiodeskrypcją samouczka.

Polecenie 1

Wykonaj do tego filmu rysunek analogiczny do tego zaprezentowanego w przykładzie 2 w rozdziale „Przeczytaj”. Czy widzisz, dlaczego teraz kula ma większą energię kinetyczną?

Pokaż rozwiązanie

Polecenie 2

Skoro wiesz już jak wygląda moment bezwładności jednorodnego walca względem jego osi symetrii (patrz rozdział „Przeczytaj”), zastanów się jak wygląda moment bezwładności jednorodnego walca względem osi prostopadłej do walca i przechodzącej przez jego środek?

Pokaż rozwiązanie

Polecenie 3

Moment bezwładności jednorodnej kuli względem dowolnej osi przechodzącej przez środek kuli jest już znany (patrz w rozdziale „Przeczytaj”). Ile wynosi moment bezwładności cienkiej, pustej w środku sfery względem dowolnej osi przechodzącej przez środek sfery?

Pokaż rozwiązanie

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Który wzór opisuje energię kinetyczną bryły sztywnej o momencie bezwładności , obracającej się z prędkością kątową ?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Ćwiczenie 2

Dwa walce o promieniu obracają się wokół tej samej osi z prędkością kątową . Pierwszy walec ma wysokość . Drugi jest dwukrotnie wyższy. Które z poniższych zdań odnośnie ich energii kinetycznej jest prawdziwe?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Wyższy walec ma dwa razy większą energię kinetyczną, ponieważ ma dwa razy większą masę

- Wyższy walec ma cztery razy większą energię kinetyczną, ponieważ ma dwa razy większą masę

- Żadne z wymienionych

- Oba walce mają taką samą energię kinetyczną, skoro obracają się z tą samą prędkością i mają ten sam promień

Ćwiczenie 3

Koło zamachowe w kształcie walca o promieniu = 0,5 m ma masę = 10 kg i obraca się z prędkością kątową o wartości = 10 obrotów na sekundę. Jaka jest energia kinetyczna tego koła? Odpowiedź podaj w kJ z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź:          kJ

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 4

Z pewnego materiału wykonano kulę i walec o tym samym promieniu i tej samej masie. Z jaką prędkością kątową musi obracać się kula (względem swojej średnicy), aby mieć taką energię kinetyczną jak walec obracający się z prędkością kątową (względem jego własnej osi)?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 5

Na końcu liny przewieszonej przez bloczek o promieniu i masie , zawieszony jest ciężar o masie . Jaką drogę pokona ten ciężar do momentu, aż bloczek będzie się obracał z prędkością kątową ?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 6

Do koła masowego o momencie bezwładności , obracającego się z prędkością podłączono za pomocą przekładni podnośnik ciężarów. Po uniesieniu ciężaru o masie prędkość kątowa koła masowego zmniejszyła się do . Na jaką wysokość został podniesiony ciężar?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 7

Jak nazywa się urządzenie służące do magazynowania energii mechanicznej, opierające swoją zasadę działania na wprawianiu w ruch obrotowy koła o dużym momencie bezwładności?

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Koło bezwładne

- Koło obrotowe

- Koło inercyjne

- Koło zamachowe

Ćwiczenie 8

Które z poniższych zdań dotyczących koła zamachowego są prawdziwe? (możliwe kilka poprawnych odpowiedzi)

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- Magazynuje energię mechaniczną

- Jest napędzane energią kinetyczną z koła wodnego

- To urządzenie wykorzystywane w minionych wiekach w hutach, dziś już nie mające zastosowań w technice

- Ma duży moment bezwładności

Ćwiczenie 9

Z jednakowych porcji pewnego metalu odlano walec oraz kulę, przy czym wysokość walca równa jest promieniowi kuli . Obie bryły wprawiono w ruch obrotowy, każdą względem jej osi symetrii. Jaki jest stosunek wartości ich prędkości kątowych, jeśli równe są ich energie kinetyczne?

Uzupełnij

Pokaż podpowiedź

Dla nauczyciela

Imię i nazwisko autora:

Dariusz Aksamit

Przedmiot:

Fizyka

Temat zajęć:

Energia kinetyczna bryły sztywnej w ruchu obrotowym

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.

Zakres rozszerzony

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:

3) prowadzi obliczenia szacunkowe i poddaje analizie otrzymany wynik;

16) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik zgodnie z zasadami zaokrąglania oraz zachowaniem liczby cyfr znaczących wynikającej z dokładności pomiaru lub z danych.

III. Mechaniki bryły sztywnej. Uczeń:

5) oblicza energię ruchu bryły sztywnej jako sumę energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:

- kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

- kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

- kompetencje cyfrowe,

- kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. objaśnia, jak oblicza się energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej.

2. podaje przykłady, jak wykorzystać energię mechaniczną akumulowaną w kołach zamachowych,

3. wykorzystuje zdobytą wiedzę do rozwiązywania zagadnień dotyczacych bryły sztywnej w ruchu obrotowym.

Strategie i metody nauczania:

odwrócona klasa (flipped-classroom)

Formy zajęć:

praca indywidualna

Środki dydaktyczne:

komputer z dostępem do Internetu i projektorem multimedialnym

Materiały pomocnicze:

brak

PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Nauczyciel przed zajęciami zachęca uczniów do zapoznania się z materiałem na temat muzeum hutnictwa w Maleńcu, dostępnego w Internecie pod adresem: [http://maleniec.pl]. Można również pobrać plik i rozdać uczniom wydruki. Nauczyciel prosi uczniów o przeczytanie materiału, zwracając w trakcie lektury szczególna uwagę na fragmenty poświęcone opisom urządzeń technicznych. W trakcie lekcji nauczyciel rozpoczyna dyskusję nad materiałem.

Faza realizacyjna:

Nauczyciel prosi ochotników o wyjaśnienie roli, jaką odgrywa koło zamachowe („Szaleniec z Maleńca”). Prosi również o wypisanie parametrów technicznych koła – następnie prosi ochotnika o obliczenie na tablicy energii kinetycznej tego koła przy zadanej prędkości obrotowej. Nauczyciel prosi uczniów o indywidualne rozwiązanie zadań 4, 5, i 6. Na koniec nauczyciel rozwiązuje te zadania na tablicy, umożliwiając uczniom porównanie swoich rozwiązań.

Faza podsumowująca:

Nauczyciel prezentuje na projektorze film samouczek, zalecając do domu wykonanie polecenia aktywizującego.

Praca domowa:

Praca zadana w fazie podsumowującej oraz zadania 1,2,3 z zestawu ćwiczeń.

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium:

Można również rozpocząć od zapoznania się z filmem samouczkiem, następnie przechodząc do lektury opisu huty w Maleńcu.

Table of Contents

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela