Spis treści

Geometria przestrzenna

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące budowy, pól i objętości figur przestrzennych. Po wykonaniu wszystkich zadań możesz rozwiązać test, który znajduje się na końcu materiału i zawiera zadania utrwalające i rozwijające uzyskane umiejętności.

Aby wyobrazić sobie figurę przestrzenną lub rozpoznać ją, często wystarczają jej widoki z trzech stron: z góry, z przodu i z boku.

Ćwiczenie 1

Połącz w pary siatki, z których można złożyć sześcian pomalowany w ten sam sposób. element 2 pierwszej pary Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 drugiej pary, 2. element 1 trzeciej pary, 3. element 1 pierwszej pary element 2 drugiej pary Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 drugiej pary, 2. element 1 trzeciej pary, 3. element 1 pierwszej pary element 2 trzeciej pary Możliwe odpowiedzi: 1. element 1 drugiej pary, 2. element 1 trzeciej pary, 3. element 1 pierwszej pary

Połącz w pary siatki, z których można złożyć sześcian pomalowany w ten sam sposób.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Z sześcianów o objętości zbudowano trzy bryły przedstawione na rysunku poniżej.

Połącz w pary objętość z odpowiednią bryłą.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Poniższe figury zbudowane są z jednakowych sześcianów. Jaką najmniejszą liczbą sześcianów należy uzupełnić figurę na rysunku, aby otrzymać prostopadłościan? Połącz w pary figurę z brakującą liczbą sześcianów,.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 4

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

- W ostrosłupie jedenastokątnym są o  krawędzie więcej niż w ostrosłupie dziewięciokątnym.

- Suma liczby ścian, krawędzi i wierzchołków w ostrosłupie trójkątnym jest równa .

- W ostrosłupie czworokątnym jest razy więcej krawędzi niż ścian.

- Suma liczby krawędzi i wierzchołków w ostrosłupie pięciokątnym jest równa .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Sześcian o krawędzi długości

ma pole powierzchni równe .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli połączymy kwadratowe ściany dwóch takich sześcianów, otrzymamy graniastosłup o polu powierzchni

.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Gdy połączymy trzy sześciany, przykładając do siebie ich ściany, będziemy mogli otrzymamy dwie różne bryły.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każda z brył będzie miał takie samo pole powierzchni, wynoszące .

Zaznacz bryły o polu powierzchni równej .

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Bryły przedstawione na rysunku zbudowane są z pięciu jednakowych sześcianów o krawędzi długości

. Wyznacz pola powierzchni tych brył.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wpisz w wyznaczone miejsca odpowiedni wynik.

a) Pole powierzchni bryły wynosi          .

b) Pole powierzchni bryły wynosi          .

c) Pole powierzchni bryły wynosi          .

d) Pole powierzchni bryły wynosi          .

e) Pole powierzchni bryły wynosi          .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Bryła przedstawiona na rysunku zbudowana jest z sześciu jednakowych sześcianów o krawędzi długości

. Wyznacz pola powierzchni tych brył.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wpisz w wyznaczone miejsca odpowiedni wynik.

a) Pole powierzchni bryły wynosi          .

b) Pole powierzchni bryły wynosi          .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono bryły oraz ich siatki.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Połącz w pary bryły z ich siatkami.

Bryła

Siatka c)Połączony z: Bryła

Bryła

Siatka b)Połączony z: Bryła

Bryła

Siatka a)Połączony z: Bryła

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Połącz w pary dwie równoważne informacje.

Jej powierzchnię nazywamy sferą

StożekPołączony z: Jej powierzchnię nazywamy sferą

Siatka sześcianu

Siatka składająca się z dwóch kół o promieniu oraz prostokąta o wymiarach .Połączony z: Siatka sześcianu

Bryła, która ma jeden wierzchołek

Ostrosłup sześciokątnyPołączony z: Bryła, która ma jeden wierzchołek

Ma ścian i  wierzchołków

KulaPołączony z: Ma ścian i  wierzchołków

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Siatka składająca się z sześciu przystających kwadratówPołączony z: Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ma wierzchołków

Bryła składająca się z kwadratu i czterech przystających trójkątówPołączony z: Ma wierzchołków

Prostopadłościan

Siatka składająca się z trzech przystających prostokątów i dwóch trójkątów równobocznychPołączony z: Prostopadłościan

Siatka walca

Równoległościan, którego każda ściana jest prostokątemPołączony z: Siatka walca

Siatka czworościanu foremnego

Graniastosłup pięciokątnyPołączony z: Siatka czworościanu foremnego

Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Siatka składająca się z czterech przystających trójkątów równobocznychPołączony z: Siatka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Siatka stożka składa się z powierzchni bocznej, która jest częścią koła i podstawy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rysunki przedstawiają powierzchnie boczne stożków. Są to części kół, o równych promieniach. Uporządkuj je w kolejności od powierzchni bocznej stożka o najmniejszym promieniu podstawy do powierzchni bocznej stożka o największym promieniu podstawy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wskaż prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- , , ,

- , , ,

- , , ,

- , , ,

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Rysunek przedstawia powierzchnie boczne dwóch stożków, przy czym promienie kół, z których wycięto obie figury mają równe promienie. Który ze stożków ma dłuższą wysokość?

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- Stożek

- Stożek

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Animacja pokazuje ostrosłup o podstawie trójkąta A B C o wierzchołku w punkcie W. Zmieniając położenie jednego z wierzchołków podstawy należy skonstruować ostrosłup o podstawie trójkąta równobocznego o boku długości równej 6 cm i wysokości H = 4 cm.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PpD5pozV1Otwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Animacja pokazuje graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E. Zmieniając położenie jednego z wierzchołków podstawy należy skonstruować graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego o boku długości równej 4 cm i wysokości H = 4 cm.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PpD5pozV1Otwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Animacja pokazuje walec. Zmieniając długość promienia podstawy należy skonstruować walec o promieniu r =3 cm i wysokości H =4 cm.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PpD5pozV1Otwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj zadanie.

Animacja pokazuje stożek. Zmieniając długość promienia podstawy należy skonstruować stożek o promieniu r =4 cm i wysokości H =6 cm.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PpD5pozV1Otwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 5

Zapoznaj się z poniższą infografiką, w której znajdziesz wszystkie najpotrzebniejsze wzory używane w geometrii przestrzennej.

Ilustracja interaktywna.

Zasób oparty o element wizualny.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, oraz wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstaw.

Wzór na pole powierzchni całkowitej: Wzór na objętość:

Wzór na przekątną bryły:

2

Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równej długości.

Wzór na pole powierzchni całkowitej:

Wzór na objętość:

Wzór na przekątną bryły:

3

Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

- pole podstawy graniastosłupa

- pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych graniastosłupa)

Wzór na objętość graniastosłupa:

- pole podstawy graniastosłupa

- wysokość graniastosłupa

4

Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

- pole podstawy ostrosłupa

- pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych ostrosłupa)

Wzór na objętość ostrosłupa:

- pole podstawy ostrosłupa

- wysokość ostrosłupa

5

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, to ostrosłup, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.

Wzór na pole powierzchni całkowitej: Wzór na objętość:

6

Ostrosłup prawidłowy czworokątny, to ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat.

Wzór na pole powierzchni całkowitej: Wzór na objętość:

7

Czworościan foremny, to ostrosłup, który ma w podstawie oraz ścianach bocznych trójkąty równoboczne.

Wzór na pole powierzchni całkowitej:

Wzór na objętość:

8

Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola wokół prostej zawartej w jego średnicy.

Wzór na pole powierzchni :

Wzór na objętość:

9

Stożek to bryła przestrzenna, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.

Wzór na pole podstawy :

Wzór na pole boczne :

Wzór na pole powierzchni całkowitej :

Wzór na objętość :

10

Walec to bryła przestrzenna, która powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z boków.

Wzór na pole podstawy :

Wzór na pole boczne :

Wzór na pole powierzchni całkowitej : Wzór na objętość :

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Test

Geometria przestrzenna - powtórzenie

Liczba pytań:

10

Limit czasu:

35 min

Twój ostatni wynik:

-

Uruchom