Spis treści

Potęga o wykładniku wymiernym

Analizując treści zawarte w tym materiale przypomnisz sobie definicję potęgi o wykładniku wymiernym i prawa działań na potęgach. Przykłady pokazują zastosowania tych praw.

Definicja: Potęga o wykładniku

Dla dowolnej liczby nieujemnej

i liczby naturalnej większej od przyjmujemy

.

Dla liczby naturalnej

większej od , liczby całkowitej i liczby dodatniej przyjmujemy

.

W szczególności, gdy

otrzymujemy . Równość tę przyjmujemy też dla . Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są prawdziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej

i dowolnych liczb wymiernych i  prawdziwe są równości

- (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)

- (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)

- (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich

i  oraz dowolnej liczby wymiernej prawdziwe są równości

- (wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)

- (wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

Ćwiczenie 1

Połącz w pary równe sobie liczby.

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Wykażemy, że:

.

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

.

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

.

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczby

oraz są równe. Podnosimy obie strony pierwszej równości do kwadratu

.

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

.

Podobnie podnosimy obie strony drugiej równości do kwadratu.

.

Zatem

.

Liczby

oraz są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są równe.

.