Spis treści

Ciąg arytmetyczny

W tym materiale zawarte są wiadomości na temat ciągów arytmetycznych. Poznasz podstawowe definicje, twierdzenia oraz przykładowe rozwiązania typowych zadań związanych z tym tematem. Swoją wiedzę będziesz mógł sprawdzić rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia.

Przykład 1

Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania tekstowego przy pomocy ciągu arytmetycznego.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1T3KkhLFANToOtwiera się w nowym oknie

atrapa:opis animacji

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia przykładowe rozwiązanie zadania tekstowego przy pomocy ciągu arytmetycznego.

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg

nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją .

Jeśli więc ciąg jest skończony i ma

wyrazów, to dla dowolnej liczby całkowitej . Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to dla dowolnej liczby całkowitej .

Animacja przedstawia różne rodzaje ciągów arytmetycznych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RQvAfaAV9pii9Otwiera się w nowym oknie

atrapa:opis animacji

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia różne rodzaje ciągów arytmetycznych.

Zauważmy, że jeżeli znamy

, czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę tego ciągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.

,

,

,

Wystarczy zatem do pierwszego wyrazu dodać

razy różnicę tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób wzór na –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Tytuł apletu: Ciąg arytmetyczny. W aplecie zamieszczono układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie zaznaczonych jest dziewięć punktów , których współrzędne są kolejno równe , , , , , , , oraz . Po lewej stronie układu współrzędnych znajduje się komentarz do apletu, dwa suwaki, czyli dwa poziome odcinki, a na każdym z nich znajduje się punkt. Punktem można manewrować po całej długości odcinka, zmieniając wartość danego parametru przypisanego do suwaka. Treść komentarza: Zmieniaj wartości na suwakach i obserwuj jak zmienia się wykres ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym . Poniżej umieszczono dwa suwaki obok siebie.Pierwszy z nich przypisany jest do parametru <matha1, czyli do pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego. Suwak ustawiony jest w wyjściowym momencie dla . Możemy zmieniać tu wartości od minus trzech (punkt przesuwamy na (punkt przesuwamy najbardziej na lewo) do trzech (punkt przesuwamy najbardziej na prawo). Wartości zmieniają się co pół. Drugi suwak dotyczy różnicy ciągu arytmetycznego r . Wyraz ten może przyjąć wartości od minus dwóch do dwóch, zmieniając się co pół i na początku ustawiony jest na poziomie , stąd taki wzór ogólny podany wyżej po drugiej równości. Wraz ze zmianą parametrów będzie zmiał się wzór ogólny ciągu. Suwaki działają niezależnie, to znaczy, że wartości <matha1 i r mogą być różne. Pod suwakami znajduje się możliwość kliknięcia w kwadrat, który odznacza się ptaszkiem i rozwija wniosek dotyczący wykresu ciągu arytmetycznego. Jego treść jest następująca: Wyrazy ciągu leżą na prostej o równaniu . Na wykresie pojawia się wtedy prosta przechodząca przez wszystkie wymienione wcześniej punkty. Podamy teraz przykłady dla różnych od pocżatkowych parametrów oraz r. Przykład pierwszy będzie dla oraz . Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o zadanych parametrach będzie miał postać . Punkty na wykresie będą następujące , , , , , , , oraz . Po ponownym naciśnięciu na opcje "Pokaż wniosek" na wykresie pojawia się nam prosta malejąca przechodząca przez wszystkie punkty. Przykład drugi będzie dla oraz. Wzór ogólny ciągu arytmetycznego o zadanych parametrach będzie miał postać . Punkty na wykresie będą dla każdego argumentu od x równego jeden do x równego dziesięć wartość równą dwa. Prosta pokazująca się po naciśnięciu "Pokaż wniosek" będzie równoległa do osi X i będzie przechodzić przez wszystkie punkty.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PtdYnKhgiOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego

o różnicy jest równy .

Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość

możemy też zapisać w postaci równoważnej .

Polecenie 1

Aplet przedstawia punkty w układzie współrzędnych, które są pewnymi wyrazami ciągu. W pięciu przykładach należy tak zmienić położenie niektórych punktów (inny kolor), aby stały się one wyrazami tego ciągu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PtdYnKhgiOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

Aplet przedstawia pięć przykładów, w których dane są dwa punkty w układzie współrzędnych, będące wyrazami pewnego ciągu. Należy tak zmienić położenie dodatkowego trzeciego punktu, aby stał się trzecim wyrazem tego ciągu. Pierwszym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 3) i (2, 2). W drugim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -3) i (2, -1). W trzecim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -4) i (2, -1) W czwartym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 2) i (2, pięć dziesiątych). W piątym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -2) i (2, -2).

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PtdYnKhgiOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym

jest ciągiem arytmetycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.

Zbadamy różnicę

dwóch kolejnych wyrazów ciągu . Wyznaczmy najpierw

.

Wtedy

.

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od

), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetyczny, a otrzymana liczba to właśnie różnica tego ciągu.

Zauważmy, że

.

Wzór na

–ty wyraz to , co jest zgodne z tym, że .

Przykład 3

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

jest równy , a różnica tego ciągu jest równa . Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.

Korzystając ze wzoru na

–ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy

,

.

Przykład 4

Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy

, a siódmy wyraz tego ciągu jest równy . Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.

Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.

- Sposób

:

Zapiszemy, korzystając ze wzoru na

–ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy i :

oraz

.

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi

i :

.

Rozwiążmy ten układ:

,

,

,

,

.

Możemy teraz, ponownie stosując wzór na

–ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz jedenasty:

.

- sposób

:

Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o

, gdyż oraz .

Zatem

. Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o . Zatem

.

Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.

Animacja przedstawia arytmetyczny ciąg rosnący, malejący oraz stały i porównuje te ciągi do nut zapisanych na pięciolinii.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1K8mbBnIZ6CJOtwiera się w nowym oknie

21a_Ciag arytmetyczny_ciag arytmetyczny_nutki

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia arytmetyczny ciąg rosnący, malejący oraz stały i porównuje te ciągi do nut zapisanych na pięciolinii.

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe

.

Polecenie 3

Aplet przedstawia różne wykresy ciągów arytmetycznych w układzie współrzędnych. Należy podać wzór ogólny ciągu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PtdYnKhgiOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego

leży na prostej o równaniu , czyli , gdzie oraz (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalone dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc ciąg jest:

- rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy

tej prostej jest dodatni, czyli ;

- malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdywspółczynnik kierunkowy

tej prostej jest ujemny, czyli ;

- stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy

tej prostej jest równy zero, czyli .

Przykład 5

Ciąg

jest arytmetyczny oraz i . Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu .

Ze wzoru na

–ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy , i  w zależności od i .

Możemy wtedy zapisać równanie

, podane w treści zadania, w postaci .

Stąd

.

Podobnie możemy zapisać równanie

w postaci .

W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą

.

Przekształcamy je w sposób równoważny

,

,

.

Obliczamy wyróżnik tego równania

.

Zatem równanie to ma dwa rozwiązania

oraz .

To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści zadania warunki.

Gdy

, to , a gdy , to .

Ćwiczenie 1

Poniżej przedstawiono wzór ogólny ciągu arytmetycznego , pierwszy wyraz ciągu oraz różnicę ciągu .

Połącz w pary wzór ogólny ciągu z odpowiednimi wartościami i .

, Połączony z:

, Połączony z:

, Połączony z:

, Połączony z:

, Połączony z:

, Połączony z:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Uporządkuj liczby tak, aby uzyskać malejący ciąg arytmetyczny. Złap element i przesuń go w górę lub w dół.

- Poziom 1:

- Poziom 2:

- Poziom 3:

- Poziom 4:

- Poziom 5:

- Poziom 6:

- Poziom 7:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wyrazami nieskończonego ciągu są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez dają resztę , a trzeci wyraz tego ciągu . Oblicz siedemdziesiąty wyraz tego ciągu. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

Siedemdziesiąty wyraz ciągu wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz właściwą odpowiedź.

Zdanie

Prawda

Fałsz

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy .

Ciąg jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 5

Liczby , , , , , w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz , , i . Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Pomiędzy liczby i  wstawiono siedem liczb, tak aby razem z liczbami i  tworzyły ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby, a następnie uzupełnij luki wpisując właściwe wartości.

Tymi liczbami w kolejności rosnącej są:

,         ,         ,         ,         ,         ,         .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Dany jest ciąg arytmetyczny , w którym oraz . Wyznacz równanie prostej, w której zawarty jest wykres ciągu . Uzupełnij poniższe zdanie tak, aby było zdaniem prawdziwym. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.

Równaniem prostej, w której zawarty jest wykres ciągu jest    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Które z poniższych wykresów przedstawiają wykres ciągu arytmetycznego?

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Które z własności spełniają wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 10

Liczby , , są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego określonego dla . Jaki jest wzór ogólny tego ciągu? Wybierz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Dany jest ciąg arytmetyczny , w którym i . Ile wynosi pierwszy wyraz ciągu? Wybierz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem . Która z poniższych równości jest prawdziwa? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem . Który wyraz będzie najmniejszym wyrazem dodatnim tego ciągu? Wybierz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę. Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.

- Ciąg    .

- Ciąg    .

- Ciąg    .

nie jest ciągiem arytmetycznym     nie jest ciągiem arytmetycznym     jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi      jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi      jest ciągiem arytmetycznym i jego różnica wynosi      nie jest ciągiem arytmetycznym

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Ćwiczenie 15

Poniżej przedstawiono ciągi arytmetyczne oraz ich różnice. Połącz w pary właściwy ciąg wraz z odpowiadającą mu różnicą.

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Połączony z:

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że oraz . Uzupełnij poniższe zdanie tak, aby było zdaniem prawdziwym. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź.

Wzorem ogólnym tego ciagu jest    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 17

Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego , którego różnica jest równa oraz ósmy wyraz jest równy . Uzupełnij lukę wpisując odpowiednią wartość.

Pierwszy wyraz ciągu wynosi         .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 18

Wyznacz takie liczby , , i , żeby ciąg był arytmetyczny. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawne odpowiedzi.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 19

Oblicz pierwszy wyraz i różnicę malejącego ciągu arytmetycznego , w którym oraz . Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

Pierwszy wyraz tego ciagu wynosi    , a różnica wynosi    .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 20

Ciąg arytmetyczny składa się z trzech wyrazów. Ich suma jest równa , a suma ich kwadratów jest równa . Znajdź wyrazy tego ciągu. Zaznacz prawidłową odpowiedź.

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

- lub

- lub

- lub

- lub

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 21

Miary kątów w pewnym czworokącie tworzą ciąg arytmetyczny. Największy z kątów ma miarę . Oblicz miary pozostałych kątów tego czworokąta. Uzupełnij luki wpisując właściwe liczby.

Miary pozostałych kątów w kolejności malejącej wynoszą         ,          oraz         .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 22

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Odpowiedz na poniższe pytania.

a. Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

b. Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna przez

.

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 24

Oblicz, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, w którym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa , suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa , a wyraz jedenasty jest równy . Uzupełnij lukę odpowiednią liczbą.

Ten ciąg arytmetyczny ma          wyrazów.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności

oraz dla , to różnica tego ciągu jest równa .

Uzupełnij

Uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokaż podpowiedź

Pokaż rozwiązanie

Ćwiczenie 26

Zapoznaj się z poniższym apletem i wykonaj polecenia.

Aplet przedstawia różne wykresy ciągów arytmetycznych w układzie współrzędnych. Należy podać wzór ogólny ciągu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PtdYnKhgiOtwiera się w nowym oknie

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.