Spis treści

Działania na pierwiastkach

W tym materiale poznasz pojęcia i twierdzenia związane z pierwiastkami.

- Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej nazywamy liczbę nieujemną taką, która podniesiona do drugiej potęgi jest równa .

Zatem, dla dowolnej liczby nieujemnej : wtedy i tylko wtedy, gdy i .

- Pierwiastkiem sześciennym z liczby nazywamy taką liczbę , która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa .

Zatem, dla dowolnej liczby : wtedy i tylko wtedy, gdy .

Zauważmy, że powyższe definicje różnią się założeniami dla liczb i . Ponieważ jest zawsze liczbą nieujemną, to pierwiastki kwadratowe obliczamy wyłącznie z liczb nieujemnych. Natomiast może być zarówno ujemne, jak i nieujemne, dlatego pierwiastek sześcienny obliczamy z dowolnej liczby .

Podobnie możemy zapisać definicje pierwiastka stopnia większego niż , pamiętając o odpowiednim założeniu dotyczącym liczby podpierwiastkowej.

- Jeśli jest liczbą parzystą większą od , to pierwiastkiem stopnia z liczby nieujemnej nazywamy liczbę nieujemną taką, która podniesiona do potęgi jest równa .

- Jeśli jest liczbą nieparzystą większą od to pierwiastkiem stopnia z liczby nazywamy liczbę taką, która podniesiona do potęgi jest równa .

Twierdzenie: Działania na pierwiastkach

Jeśli i  są liczbami nieujemnymi, i  są liczbami naturalnymi większymi od , jest dodatnią liczbą naturalną, to:

- ,

Jeśli w powyższym twierdzeniu liczby i  (stopnie pierwiastków) są nieparzyste, to twierdzenie pozostanie prawdziwe również dla ujemnych liczb podpierwiastkowych ( lub ).