Czy wiesz, że istnieje uniwersalny wzór na pole dowolnego wielokąta foremnego?

Wykorzystuje on pojęcie apotemy, czyli promienia okręgu wpisanego w dany wielokąt.

Pole to połowa iloczynu długości apotemy i obwodu wielokąta. Prześledźmy na kilku przykładach jak dokładnie „działa” ten wzór. Zobaczmy, że cała trudność zadania sprowadza się do znalezienia długości apotemy.

Na początek przeanalizujmy trójkąt równoboczny. Oczywiście wzór na pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Możemy go wyprowadzić korzystając z różnych wzorów na pole trójkąta.

Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to jedna trzecia wysokości, czyli jej długość możemy zapisać jako $\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Obwód trójkąta równobocznego to oczywiście $3a$. Mamy więc, że pole równa się $\frac{1}{2}·\frac{a\sqrt{3}}{6}·3a$, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Zauważmy, że apotema jest wysokością granatowego trójkąta, zatem jego pole to $\frac{a·r}{2}$. Wyjściowy trójkąt równoboczny możemy podzielić na trzy trójkąty przystające do granatowego trójkąta.

Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – kwadrat. Wzór na pole kwadratu znamy już od szkoły podstawowej - pole kwadratu o boku $a$ to $a^2$. Wzór ten możemy wyprowadzić korzystając ze wzoru na pole trapezu, równoległoboku i wielu innych zależności.

Sprawdźmy teraz wzór wykorzystujący apotemę. Spróbujmy wyprowadzić wzór na pole kwadratu korzystając ze wzoru, który dziś poznaliśmy, tj. z faktu, że pole wielokąta foremnego można obliczyć mnożąc połowę apotemy przez obwód wielokąta. Apotema to połowa długości boku kwadratu, czyli jej długość możemy zapisać jako $\frac{a}{2}$. Obwód kwadratu to oczywiście $4a$. Mamy więc, że pole równa się $\frac{1}{2}·\frac{a}{2}·4a$, czyli – tak jak się spodziewaliśmy – $a^2$.

Zauważmy, że apotema jest wysokością zielonego trójkąta, zatem jego pole to $\frac{a·r}{2}$. Wyjściowy kwadrat możemy podzielić na cztery trójkąty przystające do zielonego trójkąta.

Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – pięciokąt foremny. W przypadku pięciokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens trzydziestu sześciu stopni, która wynosi pierwiastek z pięć minus dwa pierwiastki z pięciu. Oczywiście pięciokąt możemy podzielić na pięć przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym $360$ przez $5$, czyli $72$ stopnie. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens trzydziestu sześciu stopni. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to $a$ dzielone przez $2$ pierwiastki z pięciu minus dwa pierwiastki z pięciu. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole pięciokąta foremnego.

Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – sześciokąt foremny. W przypadku sześciokąta foremnego wiemy, że na jego pole składa się sześć przystających trójkątów równobocznych o boku równym długości krawędzi sześciokąta. Zatem jego pole to $6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Zobaczmy, czy ten wynik uzyskamy stosując wzór wykorzystujący apotemę. Otrzymujemy znany nam wzór, że pole sześciokąta foremnego, to $\frac{3}{2}{a}^2\sqrt{3}$.

Przeanalizujmy inny wielokąt foremny – ośmiokąt foremny. W przypadku ośmiokąta foremnego nie znamy wzorów, do których możemy się odwołać. Obliczenie dokładnej wartości apotemy wymaga wyznaczenia wartości tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia, która wynosi minus jeden plus pierwiastek z dwóch. Spróbuj wyprowadzić tę wielkość korzystając ze wzorów na tangens podwojonego kąta. Oczywiście ośmiokąt możemy podzielić na osiem przystających trójkątów równoramiennych, o kącie przy wierzchołku równym $360$ przez $8$, czyli $45$ stopni. Apotema to inaczej wysokość uzyskanego trójkąta. Możemy ją policzyć wykorzystując tangens dwudziestu dwóch i pół stopnia. Zobaczymy wtedy, że długość apotemy to $\frac{a·\left(\sqrt{2}+1\right)}{2}$. Znając długość apotemy możemy wyznaczyć wzór na pole ośmiokąta foremnego.