1. Dziedzina funkcji

RN7ZDLQ51PEQV

Wyznaczanie dziedziny funkcji jest bardzo ważną umiejętnością w nauce o funkcjach. Wiemy, że funkcję możemy opisać różnymi sposobami. W jaki sposób wyznaczamy dziedzinę funkcji liczbowej? W jaki sposób możemy wyznaczyć dziedzinę funkcji opisanej za pomocą grafu, tabelki lub zbioru par uporządkowanych? Jak wyznaczamy dziedzinę funkcji, gdy znamy jej opis słowny? Czy jest specjalny sposób wyznaczania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wykresu lub wzoru? Poszukamy odpowiedzi na te pytania w poniższym materiale.

Twoje cele

Wyznaczysz dziedzinę funkcji opisanej za pomocą wzoru, tabelki, grafu, opisu słownego lub zbioru par uporządkowanych.
Wyznaczysz dziedzinę funkcji liczbowej opisanej za pomocą wykresu, tabelki lub wzoru.
Odczytasz z wykresu funkcji liczbowej dziedzinę funkcji.

Ważne!

Jeżeli $f$ jest funkcją ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ , to zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji $f$ , a jego elementy argumentami funkcji $f$ . Dziedzinę funkcji oznaczamy symbolicznie $D_{f}$ .

Funkcje możemy opisywać na wiele sposobów. Dla każdego z tych opisów pokażemy sposób wyznaczania dziedziny.

Odczytywanie dziedziny z grafu, tabeli, par uporządkowanych

Przykład 1

FunkcjafunkcjaFunkcja $f$ opisana jest słownie.

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ takiej, że $x \in ⟨27, 39⟩$ przyporządkowuje jej największy dzielnik, który jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie:

Z opisu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji są liczby naturalne należące do przedziału $⟨27, 39⟩$ .

Symbolicznie możemy zapisać $D_{f} = \{27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39\}$ .

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą grafu.

R1XRN3LNDKSPJ

Ilustracja przedstawia funkcję f opisaną za pomocą grafu. Zbiór x zawiera liczby: minus 4, minus 2, 0, 1, 2, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Zbiór y zawiera liczby: minus 1, 0, 1; Liczbom ze zbioru X przyporządkowano liczby ze zbioru Y rysując strzałki przebiegające od danego elementu z X do przyporządkowanemu mu elementu z Y. Przyporządkowanie jest następujące liczbie minus 4 liczbę minus 1, liczbie minus 2 liczbę minus 1, zeru zero, liczbie 1 liczbę 1, liczbie 2 liczbę 1 i liczbie trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka także liczbę jeden

Rozwiązanie:

Analizując graf odczytujemy dziedzinę funkcji.

Do dziedziny funkcji należą elementy umieszczone w lewej części grafu.

Stąd $D_{f} = {- 2, - 1 \frac{1}{3}, 0, 1, 2 \frac{1}{2}}$ .

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 3 \sqrt{3}$	$- 2 \sqrt{2}$	$- 1$	$0$	$\sqrt{2}$	$3$	$2 \sqrt{5}$	$6$	$8 \sqrt{2}$
$f (x)$	$27$	$8$	$1$	$0$	$2$	$9$	$20$	$36$	$128$

Rozwiązanie:

Do dziedziny funkcji należą liczby zapisane w pierwszym wierszu tabelki.

Stąd $D_{f} = \{- 3 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{2}, - 1, 0, \sqrt{2}, 3, 2 \sqrt{5}, 6, 8 \sqrt{2}\}$ .

Przykład 4

Na lekcjach chemii posługujemy się tabelką, która zawiera liczby atomowe pierwiastków. Liczba atomowa jest to liczba określająca, ile protonów znajduje się w jądrze danego atomu. Jest ona równa liczbie elektronów niezjonizowanego atomu.

Poniżej przedstawiona jest tabelka częściowa zawierająca liczby atomowe kilku pierwiastków.

Wskażemy dziedzinę tej funkcji, która symbolom pierwiastków przyporządkowuje liczby atomowe tych pierwiastków.

Symbol chemiczny	H	He	Li	Be	B	C	N	O	F	Ne	Na	Mg
Nazwa	wodór	hel	lit	beryl	bor	węgiel	azot	tlen	fluor	neon	sód	magnez
Liczba atomowa	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór pierwiastków chemicznych.

$D_{f} = \{H, He, Li, Be, B, C, N, O, F, Ne, Na, Mg\}$

Możemy przedstawić tę funkcję w postaci grafu. Elementy dziedziny funkcji umieścimy w lewej części grafu.

R1NT1Z36RENG6

Rysunek przedstawia graf składający się z dwóch zbiorów reprezentowanych przez dwie pionowo ustawione elipsy. Relacja między zbiorami określona jest za pomocą strzałek biegnących ze zbioru X po lewej stronie do zbioru Y po prawej stronie. Zbiór X składa się z symboli pierwiastków: wodoru, helu, litu, berylu, boru, węgla, azotu, tlenu, fluoru, neonu, sodu, magnezu. Każdemu pierwiastkowi przyporządkowany jest dokładnie jeden element ze bioru Y. Elementami zbioru Y są liczby od 1 do 12. Każdy element ze zbioru Y ma swoją parę.

Przykład 5

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego.

Funkcja $f$ każdej dwucyfrowej liczbie naturalnej $x$ należącej do przedziału $⟨10, 25⟩$ przyporządkowuje sumę jej cyfr. Wykonajmy tabelkę oraz graf tej funkcji i wskażmy jej dziedzinę.

Rozwiązanie:

Tabelka funkcji $f$ .

$x$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$
$f (x)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$

Dziedziną funkcji są liczby zapisane w pierwszym wierszu tabelki.

$D_{f} = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25\}$

Przedstawmy graf funkcji $f$ . Dziedzina funkcji umieszczona jest w lewej części grafu.

RUDKDKV9X2FGN

Przykład 6

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\{(- 4 \frac{2}{3}, - 2), (- 3 \frac{3}{7}, - 4), (- \frac{2}{9}, - \frac{4}{11}), (- 1, - \frac{5}{6}), (2 \frac{3}{4}, 5), (3 \frac{3}{8}, 6 \frac{4}{5}), (4, 7 \frac{3}{5}), (6 \frac{1}{5}, 8 \frac{4}{7})\}$

Rozwiązanie:

Każda para uporządkowana jest postaci $(x, f (x))$ .

Dziedzinę funkcji tworzą wszystkie liczby, które są umieszczone na pierwszym miejscu w każdej parze.

Stąd $D_{f} = \{- 4 \frac{2}{3}, - 3 \frac{3}{7}, - \frac{2}{9}, - 1, 2 \frac{3}{4}, 3 \frac{3}{8}, 4, 6 \frac{1}{5}\}$ .

Odczytywanie dziedziny funkcji z jej wykresu

Poniższe przykłady pokażą sposób określania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wykresu.

Przykład 7

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Określimy jej dziedzinę.

RKNLL356N1XMR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z ukośnego odcinka lewostronnie otwartego. Niezamalowany punkt początkowy odcinka ma współrzędne nawias, minus, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Zamalowany punkt końcowy odcinka ma współrzędne nawias, minus, dwa, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres ma kształt haka i zaczyna w punkcie otwartym o współrzędnych nawias, minus, dwa, średnik, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Od zamalowanego punktu o współrzędnych nawias, jeden, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu i dalej przyjmuje ona postać ukośnego odcinka aż do zamalowanego punktu nawias, sześć, średnik, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Aby z wykresu odczytać dziedzinę funkcji należy odcięte wszystkich punktów należących do dziedziny zrzutować prostopadle na oś $X$ .

Na osi $X$ powstaje zbiór wszystkich argumentów funkcji, czyli dziedzina funkcji.

RRP246GNH9V65

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo lewostronnie otwarty odcinek na osi X, będący rzutem dziedziny na tę oś. Odcinek przebiega od niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias, minus, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias, sześć, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

W przypadku naszego wykresu dziedziną funkcji $f$ jest zbiór:

$D_{f} = (- 5 \frac{1}{2}, 6⟩$

Przykład 8

W prostokątnym układzie współrzędnych przedstawiony jest wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji $f$ . Korzystając z wykresu funkcji określimy jej dziedzinę.

RHDN9COKAXJ67

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z ukośnej półprostej biegnącej od minus nieskończoności do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres funkcji jest ukośnym odcinkiem otwartym, którego początek znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, jeden, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres przypomina kształtem wykres funkcji logarytmicznej o początku w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Wykres biegnie dalej do plus nieskończoności.

Rozwiązanie:

RRVM8HNUZQFZO

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo rzut dziedziny na oś X, która pokrywa się z osią poza niezamalowanym punktem o współrzędnych nawias, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Dziedzina funkcji $f$ to:

$D_{f} = (- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Przykład 9

Korzystając z wykresu funkcji $f$ , przedstawionym w prostokątnym układzie współrzędnych, określimy dziedzinę tej funkcji.

RXB5J75V9CMHG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch zamalowanych punktów o współrzędnych nawias, minus, pięć, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres przyjmuje paraboliczny kształt od niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, do niemalowanego punktu o współrzędnych nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres przyjmuje postać ukośnego odcinka od zamalowanego punktu o współrzędnych nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias, pięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

RCTFVPT3ADXK2

Ilustracja przedstawia ten sam układ współrzędnych z tą samą funkcją. Tutaj narysowano dodatkowo rzut dziedziny na oś X. Rzut ten przebiega następująco: To niezamalowany punkt o współrzędnych nawias, minus, pięć, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, dalej odcinek prawostronnie otwarty od minus trzech do zera, dalej rzut składa się z odcinka od współrzędnej jeden do pięć.

Dziedzina funkcji $f$ to:

$D_{f} = \{- 5, - 3\} \cup (- 3, 0) \cup ⟨1, 5⟩$

Przykład 10

Określimy dziedzinę funkcji $f$ przedstawionej za pomocą wykresu.

RT24257RV16L8

Rozwiązanie:

R8MM2G3QAVM2B

Wykres przedstawia tę samą funkcję, co opisana wyżej, przy czym tutaj dodano rzut dziedziny na oś X. Rzut ten całkowicie pokrywa się z osią.

Do dziedziny funkcji należą wszystkie liczby rzeczywiste:

$D_{f} = ℝ$

Przykład 11

Na lekcjach chemii posługujemy się pojęciem rozpuszczalności.

Rozpuszczalność substancji to maksymalna ilość tej substancji, wyrażona w gramach, którą można rozpuścić w $100$ gramach rozpuszczalnika w danej temperaturze.

Poniżej przedstawione są wykresy rozpuszczalności kilku substancji. Określ dziedzinę funkcji, która temperaturze (w stopniach Celsjusza) przyporządkowuje rozpuszczalność danej substancji (w g na $100$ g wody).

R1SGKQDQOUCER

Ilustracja przedstawia wykres rozpuszczalności różnych substancji chemicznych: cukru, azotanu pięć potasu, jodku potasu, octanu sodu, chlorku amonu, chlorku sodu. Oś pionowa Y określa rozpuszczalność substancji w gramach na sto gram wody. Opisana jest od zera do dwustu pięćdziesięciu z podziałką co pięćdziesiąt. Oś pozioma X określa temperaturę w stopniach Celsjusza i jest opisana od zera do stu z podziałką co 20. Przybliżymy rozpuszczalność poszczególnych związków chemicznych. Rozpuszczalność cukru reprezentuje parabola. Cukier dla zera stopi ma rozpuszczalność około 180 gram na 100 gram wody i wychodzi poza skalę dwustu pięćdziesięciu gram przy pięćdziesięciu stopniach Celsjusza. Rozpuszczalność azotanu pięć potasu opisuje parabola. Azotan pięć potasu dla zera stopni ma rozpuszczalność około 10 gram na 100 gram wody i rośnie, dochodząc do dwustu czterdziestu gram dla stu stopni Celsjusza. Rozpuszczalność jodku potasu reprezentuje ukośna prosta. Jodek potasu ma rozpuszczalność 125 gram na 100 gram wody mającej zero stopni i osiąga rozpuszczalność około 210 gram dla wrzącej wody. Rozpuszczalność octanu sodu reprezentuje łukowata krzywa przypominająca lekko spłaszczoną parabolę. Octan sodu ma rozpuszczalność 120 g na 100 gram wody mającej zero stopni Celsjusza. Dla stu stopni Celsjusza octan ma z kolei rozpuszczalność 170 gram. Rozpuszczalność chlorku amony reprezentuje ukośna prosta. W wodzie o temperaturze 0 stopni Celsjusza rozpuścimy około 25 gram chlorku amonu, a w wodzie mającej 100 stopni Celsjusza rozpuścimy około 70 gram tego związku. Rozpuszczalność chlorku sodu reprezentuje pozioma prosta, co oznacza, że niezależnie od temperatury wody, zawsze rozpuścimy w niej 40 gram chlorku sodu.

Rozwiązanie:

Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi poziomej. Do dziedziny funkcji należą liczby określające temperaturę.

Wyznaczanie dziedziny funkcji określonej wzorem

Bardzo często obok wzoru opisującego funkcję, zapisana jest jej dziedzina. W jaki sposób postępujemy, gdy mamy tylko wzór funkcji? Jak wówczas określamy jej dziedzinę? Odpowiedzi na powyższe pytania uzyskasz, analizując poniższe przykłady.

Pamiętamy, że przez dziedzinę funkcji zapisanej za pomocą wzoru, rozumiemy zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których są wykonalne wszystkie działania zapisane we wzorze funkcji. Oznacza to, że dziedziną funkcji liczbowej jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji.

Przykład 12

Rozpatrzymy następujące funkcje opisane wzorami. Określimy dziedzinę każdej z tych funkcji.

a) $f (x) = - 2 x + 5$

b) $f (x) = \sqrt{x + 3}$

c) $f (x) = \frac{x^{3}}{x - 4}$

d) $f (x) = \frac{5}{\sqrt{x - 6}}$

Rozwiązanie:

Ad. a)

W zbiorze liczb rzeczywistych wykonalne jest mnożenie i dodawanie, tzn., każdą liczbę rzeczywistą możemy pomnożyć przez $(- 2)$ oraz do wyniku dodać liczbę pięć. Wynik tego działania też będzie liczbą rzeczywistą. Stąd wnioskujemy, że dziedziną funkcji $(x) = - 2 x + 5$ jest zbiór liczb rzeczywistych i zapisujemy $D_{f} = ℝ$ .

Ad. b)

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest liczbą rzeczywistą nieujemną. Wynika z tego, że wartość funkcji $f$ możemy obliczyć wtedy, gdy spełniona jest nierówność

$x + 3 \geq 0$ , czyli wtedy, gdy $x \geq - 3$ .

Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{x + 3}$ jest przedział $⟨- 3, \infty)$ .

Zapisujemy, że $D_{f} = ⟨- 3, \infty)$ .

Ad. c)

Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu, od każdej liczby rzeczywistej można odjąć liczbę cztery, dzielenie sześcianu liczby rzeczywistej przez $x - 4$ jest możliwe tylko wtedy, gdy $x - 4 \neq 0$ . W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez $0$ jest niewykonalne.

Otrzymujemy: $x \neq 4$ .

Dziedziną funkcji $(x) = \frac{x^{3}}{x - 4}$ jest zbiór $ℝ ∖ \{4\}$ , czyli $D_{f} = ℝ ∖ \{4\}$ .

Ad. d)

Określając dziedzinę tej funkcji należy uwzględnić objaśnienia z poprzednich podpunktów, tzn. $x - 6 \geq 0$ i $x - 6 \neq 0$ .

Warunki te można zastąpić jedną nierównością: $x - 6 > 0$ .

Stąd wynika, że $x > 6$ , czyli $D_{f} = (6, \infty)$ .

Ważne!

Określając dziedzinę funkcji opisanej za pomocą wzoru musimy pamiętać, że:

pierwiastki stopnie parzystego można obliczać tylko z liczb rzeczywistych nieujemnych.
mianownik ułamka musi być zawsze liczbą różną od $0$ .

Przykład 13

Wyznaczymy dziedziny następujących funkcji:

$f (x) = - 2 x + 5$ ,
$f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 5}$ ,
$f (x) = \sqrt{x + 7}$ ,
$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 8}}$ .

Rozwiązanie:

W zbiorze liczb rzeczywistych możemy każdą liczbę pomnożyć przez $(- 2)$ oraz do każdej liczby rzeczywistej możemy dodać liczbę $5$ .
Z tego faktu możemy wywnioskować, że dziedziną funkcji $f (x) = - 2 x + 5$ jest zbiór $ℝ$ .
Zapisujemy to $D_{f} = ℝ$ .
Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu i odjąć od niej liczbę $8$ . Dzielenie jest możliwe tylko wtedy, gdy dzielnik jest liczbą różną od $0$ .
Jest to możliwe wtedy, gdy $x^{2} - 5 \neq 0$ .
Otrzymujemy: $x^{2} \neq 5$ wtedy, gdy $x \neq \sqrt{5}$ i $x \neq - \sqrt{5}$ .
Czyli dziedziną funkcji $f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 5}$ jest zbiór $ℝ ∖ \{- \sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = ℝ ∖ \{- \sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ .
We wzorze opisującym funkcję, znajduje się pierwiastek kwadratowy.
Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.
Stąd wnioskujemy, że wartość funkcji $f$ możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność $x + 7 \geq 0$ , czyli $x \geq - 7$ .
Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{x + 7}$ jest przedział $⟨- 7, \infty)$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = ⟨- 7, \infty)$ .
W mianowniku ułamka mamy wyrażenie umieszczone pod znakiem pierwiastka kwadratowego. Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.
Pierwiastek kwadratowy umieszczony jest w mianowniku ułamka. Wiadomo, że dzielenie przez $0$ jest niewykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych.
W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f$ , należy rozwiązać nierówność $x - 8 > 0$ , czyli $x > 8$ .
Dziedziną funkcji $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 8}}$ jest przedział $(8, \infty)$ .
Możemy to zapisać: $D_{f} = (8, \infty)$ .

Czy wpływ na dziedzinę funkcji mają tylko pierwiastki kwadratowe i mianowniki ułamków?

Kolejne przykłady pozwolą odpowiedzieć na powyższe pytanie.

Przykład 14

Wyznacz dziedzinę funkcjidziedzina funkcji liczbowejdziedzinę funkcji:

$f (x) = \log_{2} (6 - 2 x)$ ,
$f (x) = \log_{(x - 3)} (3 x - 6)$ .

Rozwiązanie:

Z definicji logarytmu wiemy, że aby obliczyć wartość logarytmu, liczba logarytmowana musi być liczbą rzeczywistą dodatnią.
Wartość funkcji $f$ możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność
$6 - 2 x > 0$ , czyli $x < 3$ .
Dziedziną funkcji $f (x) = \log_{2} (6 - 2 x)$ jest przedział $(- \infty, 3)$ .
Stąd $D_{f} = (- \infty, 3)$ .
Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od $1$ .
W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f$ , musimy rozpatrzeć warunki dotyczące zarówno podstawy logarytmu, jak i liczby logarytmowanej. Dla przejrzystości rachunków, wyznaczymy oba zbiory osobno, a następnie wyznaczymy dziedzinę funkcji.
Najpierw zajmijmy się określeniem dziedziny ze względu na założenia podstawy logarytmu. Mamy zatem
$x - 3 > 0 \land x - 3 \neq 1$ , co daje nam
$x > 3 \land x \neq 4$ .
Zapiszemy rozwiązanie za pomocą przedziałów $x \in (3, 4) \cup (4, \infty)$ .
Teraz zajmijmy się warunkiem dotyczącym liczby logarytmowanej, która musi być nieujemną liczbą rzeczywistą. Zapiszemy
$3 x - 6 > 0$
$3 x > 6$
$x > 2$ .
Zatem ze względu na liczbę logarytmowaną $x \in (2, \infty)$ .
Zauważmy, że założenia podstawy logarytmu dają nam węższy zbiór, dla którego funkcja ma sens. Dziedzina całej funkcji jest iloczynem obu wyżej wyznaczonych zbiorów. Jako, że pierwszy zbiór zawiera się w drugim, to z rachunku zbiorów wynika, że $D_{f} = (3, 4) \cup (4, \infty)$ .

Podsumujmy dotychczasowe informacje dotyczące sposobu wyznaczania dziedziny funkcji opisanej za pomocą wzoru:

Ważne!

Jeżeli we wzorze funkcji występuje ułamek, to wyrażenie zapisane w mianowniku musi być zawsze różne od zera.
Jeżeli we wzorze funkcji występuje pierwiastek kwadratowy w liczniku, to wyrażenie podpierwiastkowe musi być zawsze większe lub równe zeru; jeśli w mianowniku, to musi być większe od zera.
Jeżeli we wzorze funkcji występuje logarytm o znanej podstawie, to wyrażenie logarytmowane musi być zawsze większe od zera.
Jeżeli we wzorze funkcji występuje logarytm i w podstawie logarytmu jest argument, to wyrażenie zapisane w podstawie logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią i różną od jedności.

Animacje multimedialne

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zadania, następnie sprawdź swoje rozwiązania z animacją. Po analizie animacji wykonaj wskazane polecenia.

RPUQBOGOQLV4G

Polecenie 1

Funkcja $f$ przedstawiona jest za pomocą opisu słownego. Sporządź tabelkę tej funkcji i wskaż jej dziedzinę.

Funkcja $f$ każdej liczbie naturalnej $x$ należącej do przedziału $(30, 42)$ przyporządkowuje liczbę jej dzielników.

Tabelka funkcji.

$x$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$	$41$
$f (x)$	$2$	$6$	$4$	$4$	$4$	$9$	$2$	$4$	$4$	$8$	$2$

Dziedzina funkcji $D_{f} = \{31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41\}$ .

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w kolejnej animacji. Spróbuj samodzielnie rozwiązać podane przykłady, następnie sprawdź swoje rozwiązania z podanymi w multimedium. Korzystając z podanych rozwiązań, wykonaj samodzielnie polecenia zamieszczone poniżej.

RVEAVS7G1R1MT

Polecenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Wyznacz jej dziedzinę.

R1QHVD5T29A6A

początkowym o współrzędnych nawias, minus, sześć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu i końcowym o współrzędnych nawias, minus, cztery, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Oba te punkty są wyróżnione jako punkty niezamalowane. Dalej wykres funkcji składa się z ukośnego odcinka o końcach zamalowanych. Początek odcinka znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias, minus, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie o współrzędnych nawias, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres funkcji składa się z ukośnego odcinka o początku w końcu poprzedniego odcinka i o końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Następnie wykres funkcji składa się z poziomego odcinka o początku w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, jeden, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu i końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Ostatnią składową wykresu funkcji jest ukośny odcinek o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu i o końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, pięć, średnik, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu.

Wykres funkcji $f$ składa się z pięciu odcinków. Dziedzinę funkcji odczytamy rzutując prostopadle końce tych odcinków na oś $X$ .

RU694E66LUBEP

Ilustracja przedstawia wykres funkcji opisany wyżej z tą różnicą, że tutaj zaznaczono rzut dziedziny na osi X. Rzut ten biegnie od minus sześciu (punkt niezamalowany) do jeden (punkt niezamalowany) i od jeden do pięciu (punkt niezamalowany), czyli składa się z dwóch odcinków otwartych.

Dziedzinę funkcji zapiszemy w postaci:

$D_{f} = (- 6, 1) \cup (1, 5)$

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu. Wyznacz dziedzinę i wzór tej funkcji.

R386KSJT5X15Q

Wykres funkcji $f$ składa się z trzech odcinków. Dziedzinę funkcji odczytamy rzutując prostopadle końce tych odcinków na oś $X$ .

R19H87ZNNTU5U

Ilustracja przedstawia wykres funkcji opisany wyżej z tą różnicą, że tutaj zaznaczono rzut dziedziny na osi X. Rzut ten biegnie od minus pięciu (punkt zamalowany) do zera (punkt zamalowany) i od jeden (punkt niezamalowany) do pięciu (punkt zamalowany), czyli składa się z dwóch odcinków, przy czym drugi wymieniony jest lewostronnie otwarty.

Dziedzina funkcji równa jest sumie przedziałów:

$D_{f} = ⟨- 5, 0⟩ \cup (1, 5⟩$

Funkcję $f$ możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 x}{5} + 3, & dla x \in ⟨- 5, 0⟩ \\ \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, & dla x \in (1, 3) \\ 3, & dla x \in ⟨3, 5⟩ \end{cases}$

Polecenie 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R4V9PXVJ5JDSG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie znajduje się wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych odcinków i łuku między nimi. Od lewej mamy ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach: nawias minus pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias minus dwa i pół średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Łuk zaczyna się w prawym końcu odcinka i biegnie w dół, przecinając oś Y w punkcie y równa się minus trzy. Jest to najniżej położony punkt łuku. Stąd łuk biegnie w górę do zamalowanego punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu. W punkcie tym zaczyna się drugi odcinek, którego prawy koniec znajduje się w zamalowanym punkcie nawias sześć i pół średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu.

Odczytaj z wykresu dziedzinę tej funkcji.

Określ dziedzinę tej funkcji?

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 5, 6 \frac{1}{2}⟩$ .

Można zapisać dziedzinę w inny sposób: $D_{f} = ⟨- 5, 6 \frac{1}{2}⟩$ .

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj samodzielnie rozwiązać pokazane przykłady, następnie sprawdź swoje rozwiązania. Wykonaj wskazane polecenia.

RXU2AE4BSA4VT

Korzystając z informacji przedstawionych w animacji, wykonaj polecenia.

Polecenie 5

Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru:

$f (x) = \frac{x^{3} + 5}{x^{2} - 4} + \frac{\sqrt{2 x - 8}}{x^{2} - 9}$ .

Liczba $x$ musi spełniać jednocześnie trzy warunki:

$(x^{2} - 4 \neq 0) \land (x^{2} - 9 \neq 0) \land (2 x - 8 \geq 0)$

Warunek pierwszy: $x \neq - 2 \land x \neq 2$ .

Warunek drugi: $x \neq - 3 \land x \neq 3$ .

Warunek trzeci: $x \geq 4$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział:

$D_{f} = ⟨4, \infty)$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$
$f (x)$	$3$	$4$	$6$	$8$	$12$	$14$	$18$	$20$	$24$

RNOLR1MLB5LKV

Ćwiczenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 2 \frac{3}{4}$	$- 1 \frac{7}{9}$	$- \frac{5}{21}$	$\frac{5}{7}$	$1 \frac{2}{3}$	$2$	$3 \frac{2}{3}$	$4$	$5$
$f (x)$	$- \frac{4}{11}$	$- \frac{9}{16}$	$- 4 \frac{1}{5}$	$\frac{7}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{11}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$

R1U9HVUJU6T4J

Ćwiczenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Wskaż dziedzinę funkcji $f$ .

$x$	$- 3 \sqrt{3}$	$- 2$	$- 1$	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{8}$	$2$	$3 \frac{2}{3}$
$f (x)$	$- \frac{\sqrt{3}}{9}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$5$	$\frac{8}{7}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{11}$

R1QK22NXECXBR

Ćwiczenie 4

Nauczyciel wychowania fizycznego przeprowadził test sprawnościowy. Jednym z elementów tego testu był bieg na $60 m$ .

Wyniki tego biegu zapisał w tabelce.

Imię ucznia	Wynik (w sekundach)
Ania	$9, 8$
Zosia	$9, 6$
Kasia	$10, 1$
Paulina	$10, 4$
Zuzia	$9, 7$
Karolina	$10, 2$
Antek	$8, 7$
Janek	$8, 6$
Kuba	$9, 1$
Michał	$8, 9$
Damian	$9, 2$
Daniel	$9, 6$
Staś	$8, 8$

R1AEXSL3PFMZZ

Ćwiczenie 5

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego grafu.

R1RHPKCRKPH9L

R18FR46XV7U2N

RJBSNL6RAF3JJ21

Ćwiczenie 6

R1JSLQDEHDEO421

Ćwiczenie 7

R1L28QC1DTEMN2

Ćwiczenie 8

R1MBCBPS7RKCH2

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

$x$	$- 1 - \sqrt{2}$	$1 - \sqrt{2}$	$\sqrt{2} - 1$	$2 \sqrt{2}$	$2 + 2 \sqrt{2}$
$f (x)$	$1 + \sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1$	$\sqrt{2}$	$2 \sqrt{2}$

RHZ5UOH6RDUKM

Ćwiczenie 11

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RR9XFGFJ6KTA4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z sześciu punktów. Punkty te mają następujące współrzędne: nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

ROPBQ7SL6VD7M

Ćwiczenie 12

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R1ZU92UXAO1Q4

RBRJRORQTSAMT

Ćwiczenie 13

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu jak na rysunku poniżej.

R5S91FR35MU9X

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus sześciu do sześciu i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f składający się z trzech obiektów. Pierwszy obiekt to krzywa składająca się z dwóch ukośnych odcinków i dwóch łuków układających się w kształt pomiędzy literą v i u. Od lewej mamy ukośny odcinek ograniczony niezamalowanym punktem nawias minus 5 średnik dwa i pół zamknięcie nawiasu i o prawym końcu w zamalowanym punkcie nawias minus trzy i pół średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie w dół pierwszy łuk, który przecina oś X w punkcie x równa się minus trzy. Prawy koniec łuku znajduje się w zamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik minus jeden i pół. Z tego punktu biegnie w górę drugi łuk, który przecina oś X w punkcie x równa się minus jeden. Prawy koniec drugiego łuku znajduje się w punkcie nawias zero średnik dwa. Z tego punktu biegnie ukośny odcinek ograniczony prawostronnie niezamalowanym punktem nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugą składową wykresu funkcji jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach nawias 2 średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu oraz nawias 4 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Trzecią składową wykresu jest zamalowany punkt o współrzędnych nawias 5 średnik jeden i pół.

R13N7FMJUP7K6

Ćwiczenie 14

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RV5D3DCBXKTVN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch ukośnych odcinków. Pierwszy z nich to odcinek o zamalowanym punkcie początkowym o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu i niezamalowanym końcowym o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres funkcji składa się z odcinka o początku z punkcie zamalowanym o współrzędnych nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnychnawias, trzy, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu.

R1QMF38SH15KG

Ćwiczenie 15

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

R5VOMXHX441EB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z trzech ukośnych odcinków. Pierwszy z nich to odcinek o niezamalowanym punkcie początkowym o współrzędnych nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i zamalowanym końcowym o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Dalej wykres funkcji składa się z odcinka o początku z punkcie zamalowanym o współrzędnych nawias, minus, jeden, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu i końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Z tego punktu poprowadzono trzeci ukośny odcinek o końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

R14GJ1LU7ATQT

Ćwiczenie 16

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RVU44PEKQMVXR

RMHHCQLCATRH3

Ćwiczenie 17

RAFGGQTNX1R3E

R19DZRFCSRUUU

Połącz wykres funkcji z jej dziedziną. Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji będący łukiem. Wykres funkcji ma swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch obiektów. Pierwszy z nich to łuk, który ma swój początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy i pół średnik dwa zamknięcie nawiasu, następnie przecina on oś x oraz oś y i jest prawostronnie ograniczony punktem o współrzędnych nawias dwa średnik dwa i pół zamknięcie nawiasu. Drugą składową wykresu jest ukośny odcinek o końcach w zamalowanych punktach: nawias trzy średnik zero pół zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik trzy i pół zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch obiektów. Pierwszy z nich to łuk, który pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu współrzędnych i ma swój koniec w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi składnik również ma kształt łuku, jego początek znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Łuk wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięciu i pionową osią y od minus 5 do pięciu. W układzie narysowano wykres funkcji o kształcie hiperboli składający się z dwóch obiektów. Pierwszy składnik wykresu znajduje się w całości w drugiej ćwiartce układu i ma początek w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus pięć średnik zero pół zamknięcie nawiasu a następnie biegnie on do nieskończoności, jego asymptotami są osie układu współrzędnych. Drugi składnik znajduje się w czwartej ćwiartce układu i biegnie od minus nieskończoności i ma swój koniec w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik minus zero pół zamknięcie nawiasu, wykres wypłaszcza się do osi układu współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias ostry, trzy, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu ostrego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy przecinek pięć, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 18

RVP3H6U11RK6F

Zaproponuj trzy różne wykresy funkcji, których dziedzina zawiera przedział $⟨ 0, 2 ⟩$ .

Ćwiczenie 19

RQQ8L5G3J4BU3

Połącz w pary wzór opisujący funkcję z jej dziedziną. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x, minus, pięć Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, minus, pięć, mianownik, x, minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego

Ćwiczenie 20

R1JQ23FLCHB8P

Poniżej przedstawiono wzory oraz dziedziny pewnych funkcji. Połącz w pary funkcję f, opisaną za pomocą wzoru z jej dziedziną. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć x, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, x, plus, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy x, minus, dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka z nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

RMZXE4SRNXCLA

Dopasuj do wzoru funkcji odpowiednią dziedzinę. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę i wybrać prawidłową odpowiedź.

Dla f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć x, minus, cztery koniec pierwiastka mamy 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego.

Dla f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy x, minus, dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka mamy 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego.

Dla f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka z nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem, zamknięcie nawiasu mamy 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, pięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias ostry, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu ostrego.

Dopasuj do wzoru funkcji odpowiednią dziedzinę. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę i wybrać prawidłową odpowiedź.

Dla f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z pięć x, minus, cztery koniec pierwiastka mamy 1. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z minus, siedem koniec pierwiastka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

R1DZUOACK52ZA3

Ćwiczenie 21

R1KDFTHZEROB61

Ćwiczenie 22

R1ZSSD6L6PQKJ2

Ćwiczenie 23

R1213LN71HB5F2

Ćwiczenie 24

R142ZX48SBNDP2

Ćwiczenie 25

RXLL5QRTZGDVK2

Ćwiczenie 26

R13O4GM77Q7FE2

Ćwiczenie 27

Połącz w pary dziedzinę funkcji z odpowiadającym jej przykładowym wzorem funkcji. D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x, minus, siedem, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, cztery, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, minus, sześć, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie x z nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mianownik, x, plus, siedem, koniec ułamka D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, zero przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x, minus, siedem, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, cztery, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, minus, sześć, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie x z nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mianownik, x, plus, siedem, koniec ułamka D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, sześć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x, minus, siedem, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, cztery, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, minus, sześć, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie x z nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mianownik, x, plus, siedem, koniec ułamka D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, siedem, zamknięcie nawiasu klamrowego Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x, minus, siedem, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, cztery, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x, minus, sześć, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm o podstawie x z nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek sześcienny z x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć, plus, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy, mianownik, x, plus, siedem, koniec ułamka

RANOH8MGDXCEC3

Ćwiczenie 28

RNBF4N2F93LSS2

Ćwiczenie 29

R1XE2RJHOUQAF3

Ćwiczenie 30

Uzupełnij zdania tak, aby otrzymać stwierdzenia prawdziwe. Przeciągnij odpowiednie wyrazy w puste pola. Jeżeli we wzorze funkcji występuje w liczniku ułamka wyrażenie 1. tylko wartości ujemne, 2. tylko wartości różne od zera, 3. każdą wartość rzeczywistą, 4. pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, 5. pod znakiem pierwiastka stopnia nieparzystego, 6. równą liczbie całkowitej, 7. dowolną liczbą rzeczywistą, 8. ujemną, 9. zawsze liczbą dodatnią, 10. tylko wartości nieujemne, 11. różną od jeden, 12. równą ułamkowi właściwemu, 13. dowolną liczbą naturalną, 14. liczbą dodatnią, 15. dowolną liczbą całkowitą, 16. liczbą rzeczywistą różną od zera, 17. różną od zera, to wyrażenie to może przyjmować 1. tylko wartości ujemne, 2. tylko wartości różne od zera, 3. każdą wartość rzeczywistą, 4. pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, 5. pod znakiem pierwiastka stopnia nieparzystego, 6. równą liczbie całkowitej, 7. dowolną liczbą rzeczywistą, 8. ujemną, 9. zawsze liczbą dodatnią, 10. tylko wartości nieujemne, 11. różną od jeden, 12. równą ułamkowi właściwemu, 13. dowolną liczbą naturalną, 14. liczbą dodatnią, 15. dowolną liczbą całkowitą, 16. liczbą rzeczywistą różną od zera, 17. różną od zera.

Mianownik ułamka musi być zawsze liczbą 1. tylko wartości ujemne, 2. tylko wartości różne od zera, 3. każdą wartość rzeczywistą, 4. pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, 5. pod znakiem pierwiastka stopnia nieparzystego, 6. równą liczbie całkowitej, 7. dowolną liczbą rzeczywistą, 8. ujemną, 9. zawsze liczbą dodatnią, 10. tylko wartości nieujemne, 11. różną od jeden, 12. równą ułamkowi właściwemu, 13. dowolną liczbą naturalną, 14. liczbą dodatnią, 15. dowolną liczbą całkowitą, 16. liczbą rzeczywistą różną od zera, 17. różną od zera.

Podstawa logarytmu musi być 1. tylko wartości ujemne, 2. tylko wartości różne od zera, 3. każdą wartość rzeczywistą, 4. pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, 5. pod znakiem pierwiastka stopnia nieparzystego, 6. równą liczbie całkowitej, 7. dowolną liczbą rzeczywistą, 8. ujemną, 9. zawsze liczbą dodatnią, 10. tylko wartości nieujemne, 11. różną od jeden, 12. równą ułamkowi właściwemu, 13. dowolną liczbą naturalną, 14. liczbą dodatnią, 15. dowolną liczbą całkowitą, 16. liczbą rzeczywistą różną od zera, 17. różną od zera i 1. tylko wartości ujemne, 2. tylko wartości różne od zera, 3. każdą wartość rzeczywistą, 4. pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, 5. pod znakiem pierwiastka stopnia nieparzystego, 6. równą liczbie całkowitej, 7. dowolną liczbą rzeczywistą, 8. ujemną, 9. zawsze liczbą dodatnią, 10. tylko wartości nieujemne, 11. różną od jeden, 12. równą ułamkowi właściwemu, 13. dowolną liczbą naturalną, 14. liczbą dodatnią, 15. dowolną liczbą całkowitą, 16. liczbą rzeczywistą różną od zera, 17. różną od zera.

Liczba logarytmowana musi być 1. tylko wartości ujemne, 2. tylko wartości różne od zera, 3. każdą wartość rzeczywistą, 4. pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, 5. pod znakiem pierwiastka stopnia nieparzystego, 6. równą liczbie całkowitej, 7. dowolną liczbą rzeczywistą, 8. ujemną, 9. zawsze liczbą dodatnią, 10. tylko wartości nieujemne, 11. różną od jeden, 12. równą ułamkowi właściwemu, 13. dowolną liczbą naturalną, 14. liczbą dodatnią, 15. dowolną liczbą całkowitą, 16. liczbą rzeczywistą różną od zera, 17. różną od zera.

Słownik

funkcja

funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi $x$ ze zbioru $X$ odpowiada dokładnie jeden element $y$ ze zbioru $Y$

wykres funkcji

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$

dziedzina funkcji liczbowej

zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji

2. Zbiór wartości funkcji

Podstawowe własności funkcji