1. Miejsca zerowe i monotoniczność funkcji liniowej

R1N6ZHBif951p

Nie musimy mieć wzoru funkcji liniowej, aby narysować jej wykres funkcji liniowej można odtworzyć na poddsat

W tym materiale poznasz wiele ciekawych własności funkcji liniowej.

Twoje cele

Wyznaczysz liczbę miejsc zerowych funkcji liniowej.
Określisz miejsca zerowe funkcji liniowej na podstawie wykresu.
Obliczysz miejsca zerowe funkcji liniowej na podstawie definicji miejsca zerowego lub wzoru.
Przeanalizujesz, od czego zależy monotoniczność funkcji liniowej.
Wyznaczysz, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Określisz różne własności funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru lub wykresu.
Wykorzystasz własności funkcji liniowej do rozwiązywania problemów matematycznych.

Miejsca zerowe funkcji liniowe

W życiu codziennym wiele czynności wykonujemy zgodnie z określonym schematem postępowania, czyli algorytmem. Podobnie jest z obliczaniem miejsc zerowych funkcji liniowej. Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji liniowej ma istotne znaczenie do odkrywania ciekawych własności tej funkcji. Mając dany wzór lub wykres funkcji liniowej, możemy wyznaczyć punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osią $X$ , o ile istnieją.

miejsce zerowe

Definicja: miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

Już wiesz

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Przez każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Istnienie miejsca zerowego funkcji liniowej zależy od położenia prostej, będącej wykresem tej funkcji w układzie współrzędnych.

Graficznie, miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią $X$ .

liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Własność: liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:

funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , gdy $a \neq 0$ i $b \in ℝ$ ,
RTDn4kdflAYfj
Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszym układzie zaznaczono wykres funkcji liniowej rosnącej oraz jej miejsce zerowe x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, wyraz wolny b znajduję się poniżej osi X. obok wykresu pojawia się nierówność a, większy niż, zero. W drugim układzie zaznaczono wykres funkcji liniowej malejącej oraz jej miejsce zerowe x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, wyraz wolny b znajduję się powyżej osi X. Obok wykresu znajduje się nierówność a, mniejszy niż, zero.
funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ ,

R1cabiziRag3W

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Zaznaczono w nim wykres funkcji liniowej nie posiadającej miejsca zerowego, jest ona poziomą prostą. Wyraz wolny b znajduję się powyżej osi X. Obok wykresu znajduje się równość a, równa się, zero.

funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b = 0$

RGQIXHcPzUsya

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Zaznaczono w nim wykres funkcji liniowej, która jest poziomą prostą położoną na osi X. Obok wykresu znajdują się równości a, równa się, zero Oraz b, równa się, zero.

Mając dany wzór funkcji, możemy bez szkicowania wykresu określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a \neq 0$ , to miejsce zerowe tej funkcji obliczamy na dwa sposoby:

Korzystamy z definicji miejsca zerowego funkcji, czyli wyznaczamy argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ . W tym celu rozwiązujemy równanie $f (x) = 0$ .
Jeżeli $0 = a x + b$ , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f$ , $g$ i $h$ .

ReQPEsH90qUYm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Zaznaczono na nim trzy proste. Pierwszą h nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero, drugą g nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy oraz trzecią f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x, minus, dziewięć. Pierwsza oraz druga prosta są poziome, a trzecia prosta jest ukośna. Druga oraz trzecia prosta przecinają się w punkcie nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Pierwsza oraz trzecia prosta przecinają się w punkcie nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Odczytamy miejsca zerowe tych funkcji.

Rozwiązanie

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $3$ .
Funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych.
Funkcja $h$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Przykład 2

Obliczymy miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

$f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{27}$ ,
$f (x) = \frac{5}{3} x + 10$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz $b = \sqrt{27}$ , zatem
$x_{0} = \frac{- \sqrt{27}}{- \frac{\sqrt{3}}{3}} = 9$ .
Ponieważ $a = \frac{5}{3}$ oraz $b = 10$ , zatem
$x_{0} = \frac{- 10}{\frac{5}{3}} = - 6$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , jeżeli wiemy, że miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = (- \frac{1}{2} m + 3) x + 2$ jest liczba $3$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $3$ jest miejscem zerowym, zatem zachodzi warunek $f (3) = 0$ .

Dlatego też do wyznaczenia wartości $m$ należy rozwiązać równanie:

$0 = (- \frac{1}{2} m + 3) \cdot 3 + 2$

Zatem $m = \frac{22}{3}$ - zauważmy przy tym, że dla tej liczby współczynnik stojący przy $x$ we wzorze funkcji, jest różny od zera.

Przykład 4

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa zadana wzorem $f (x) = (\frac{3}{4} m - 12) x + (m - 1)$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = a x + b$ nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ .

Ponieważ $a = \frac{3}{4} m - 12$ i $b = m - 1$ , więc zachodzą warunki:

$\frac{3}{4} m - 12 = 0$ i $m - 1 \neq 0$

Dlatego też funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $m = 16$ i $m \neq 1$ .

Wobec tego szukana wartość parametru $m$ wynosi $16$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $f (x) = a x - 4$ , jeżeli wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(- 3)$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $(- 3)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ należy rozwiązać równanie:

$0 = a \cdot (- 3) - 4$

Wobec tego $a = - \frac{4}{3}$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{4}{3} x - 4$ .

Przykład 6

Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji zadanej wzorem $f (x) = (2 m + 3) x - 1$ , w zależności od wartości parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 2 m + 3$ oraz $b = - 1$ , to funkcja:

ma jedno miejsce zerowe, gdy $a \neq 0$ , zatem $2 m + 3 \neq 0$ , wobec tego $m \neq - \frac{3}{2}$ ,
nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ , zatem $2 m + 3 = 0$ , wobec tego $m = - \frac{3}{2}$ .

Ponieważ $b \neq 0$ , zatem funkcja nie może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Polecenie 1

Przeanalizuj schemat interaktywny, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

RGpuTVt5Nv2xi1

Polecenie 2

Oblicz miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 2$
$f (x) = \frac{3}{5} x + 3$
$f (x) = - \sqrt{5} x - 2$
$f (x) = (\sqrt{2} - 1) x + 3$

$x_{0} = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}} = 4$
$x_{0} = \frac{- 3}{\frac{3}{5}} = - 5$
$x_{0} = \frac{2}{- \sqrt{5}} = \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$
$x_{0} = \frac{- 3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{- 3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = - 3 \sqrt{2} - 3$

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm określający liczbę miejsc zerowych funkcji liniowej postaci $f (x) = a x + b$ .

R1Nnzk1zRkPEh

W języku Python przygotuj algorytm określający liczbę miejsc zerowych funkcji liniowej postaci $f (x) = a x + b$ .

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

R11Ho44XZAVX9

x = None
a = None
wynik = None
b = None

"""Określanie miejsc zerowych funkcji liniowej f(x) = ax + b.
"""
def Miejsca_zerowe_funkcji_liniowej():
  global x, a, wynik, b
  a = 1
  b = -2
  if a == 0:
    if b == 0:
      print('Nieskończenie wiele miejsc zerowych.')
    else:
      print('Brak miejsc zerowych.')
  else:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Jedno miejsce zerowe postaci: x_0 = -(', b, ')/', a, ' = ', mz(), '.']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak(x):
  global a, wynik, b
  if x < 0:
    wynik = '-' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '+' + str(x)
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def mz():
  global x, a, wynik, b
  wynik = (-1 * b) / a
  return wynik


Miejsca_zerowe_funkcji_liniowej()

Monotoniczność funkcji liniowej

monotoniczność funkcji liniowej

Własność: monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = a x + b$ jest:

rosnąca, gdy $a > 0$ ,
RBNMH1Zh50X0T

malejąca, gdy $a < 0$ ,
RV1cMyUMI7tcM

stała, gdy $a = 0$ .
RTuuQX6pGtIh2

Monotonicznośćmonotoniczność funkcjiMonotoniczność oraz istnienie miejsca zerowegomiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowego funkcji liniowej decyduje o tym, w jakim przedziale funkcja przyjmuje wartości ujemne, a w jakim wartości dodatnie.

Niech $x_{0}$ będzie miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem
$f (x) = a x + b$ .

Jeżeli $a > 0$ , to:

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- \infty, x_{0})$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (x_{0}, \infty)$ .

Jeżeli $a < 0$ , to

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, x_{0})$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (x_{0}, \infty)$ .

Jeżeli $a = 0$ , to:

dla $b > 0$ funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie,

dla $b < 0$ funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne.

Punkty szczególne, które należą do wykresu funkcji liniowej:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $X$ ma współrzędne $(- \frac{b}{a}, 0)$ , dla $a \neq 0$ ,

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, b)$ .

R1PVrvOWuZqt6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią X i Y. Prosta rosnąca przechodzi przez osie tworząc punkty przecięcia w pierwszej drugiej oraz trzeciej ćwiartce.

Przykład 7

Na podstawie wykresu funkcji liniowej, odczytamy:

a) punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych,

b) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne, a dla jakich dodatnie.

RugcxMJ8tdW2n

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 3 do sześciu oraz pionową osią od minus 4 do dwóch. Zaznaczono prostą rosnącą mającą miejsce zerowe równe cztery i wyraz wolny równy minus trzy.

Rozwiązanie

a) Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $X$ : $(4, 0)$ .

Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 3)$ .

b) Z wykresu funkcji odczytujemy, że miejscem zerowym jest liczba $4$ .

Zauważmy, że funkcja jest rosnąca, zatem $a > 0$ .

Zatem funkcja przyjmuje wartości:

ujemne dla argumentów $x \in (- \infty, 4)$ ,

dodatnie dla argumentów $x \in (4, \infty)$ .

Wiedząc o tym, od czego zależy monotoniczność funkcji liniowej, możemy wyznaczać wartości parametrów we wzorze funkcji, dla których funkcja rośnie, maleje lub jest stała.

Przykład 8

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = (- \frac{2}{3} m + \frac{1}{2}) x - 3$ jest malejąca.

Rozwiązanie

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a = - \frac{2}{3} m + \frac{1}{2}$ .

Jeżeli funkcja jest malejąca, to $a < 0$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$- \frac{2}{3} m + \frac{1}{2} < 0$

Zatem $m \in (\frac{3}{4}, \infty)$ .

Przykład 9

Obliczymy pole figury ograniczonej osiami układu współrzędnych oraz wykresem funkcji liniowej zadanej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x + \frac{9}{5}$ .

Rozwiazanie

Obliczymy punkty przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych.

$0 = - \frac{1}{2} x + \frac{9}{5}$ , zatem $x = \frac{18}{5}$ .

Punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(\frac{18}{5}, 0)$ .

Punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $(0, \frac{9}{5})$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RNlS6OsqL4d0A

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 3 do sześciu oraz pionową osią od minus 1 do trzech. Zaznaczono prostą malejącą przecinającą oś Y w punkcie dziewięć piątych oraz mającą miejsce zerowe równe 18 piątych.

Zauważmy, że figurą ograniczoną prostą, która jest wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych jest trójkąt prostokątny.

Do wyznaczenia pola tego trójkąta użyjemy wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Z rysunku możemy odczytać, że $a = \frac{18}{5}$ oraz $h = \frac{9}{5}$ .

Zatem $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{9}{5} = \frac{81}{25}$ .

Przykład 10

Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = 3 m x + \frac{3}{4}$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, 2)$ . Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie

Ponieważ punkt o współrzędnych $(- 1, 2)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

$2 = 3 \cdot m \cdot (- 1) + \frac{3}{4}$ , zatem $m = - \frac{5}{12}$

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}$ .

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a = - \frac{5}{4}$ .

Obliczamy miejsce zerowe tej funkcji.

$- \frac{5}{4} x + \frac{3}{4} = 0$ , zatem $x = \frac{3}{5}$

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów $x \in (- \infty, \frac{3}{5})$ .

Przykład 11

Określimy monotoniczność funkcji zadanej wzorem $f (x) = (6 - 2 m) x + 2$ w zależności od wartości parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 6 - 2 m$ , wobec tego:

funkcja jest rosnąca, gdy $6 - 2 m > 0$ , zatem $m \in (- \infty, 3)$ ,

funkcja jest malejąca, gdy $6 - 2 m < 0$ , zatem $m \in (3, \infty)$ ,

funkcja jest stała, gdy $6 - 2 m = 0$ , zatem $m = 3$ .

Przykład 12

Funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = - 3 x + b - 4$ . Wyznaczymy liczbę $b$ , dla której:

a) miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(- 2)$ ,

b) wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $1$ .

Rozwiązanie

a) Korzystając ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej, rozwiązujemy równanie:

$\frac{- b + 4}{- 3} = - 2$

Zatem $b = - 2$ .

b) Jeżeli wykres funkcji liniowej przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $1$ , to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie $b - 4 = 1$ .

Zatem $b = 5$ .

Polecenie 4

Przeanalizuj schemat interaktywny, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1Oe3G2D5LJFm1

Polecenie 5

Określ monotoniczność, miejsca zerowe oraz wyznacz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne, jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem:

a) $f (x) = - \frac{1}{5} x + 2$

b) $f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{8}{9}$

a) monotoniczność: funkcja malejąca

miejsce zerowe: $10$ ,

$f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, 10)$

$f (x) < 0$ dla $x \in (10, \infty)$

b) monotoniczność: funkcja rosnąca

miejsce zerowe: $\frac{8}{3}$

$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, \frac{8}{3})$

$f (x) > 0$ dla $x \in (\frac{8}{3}, \infty)$

Polecenie 6

Zbuduj algorytm określający monotoniczność, miejsca zerowe oraz wyznacz argumenty, dla których funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Rw25yXInhiTar

Przygotuj w języku Python algorytm określający monotoniczność, miejsca zerowe oraz wyznacz argumenty, dla których funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

Poniżej przedstawiono przykładowe rozwiązanie.

RT4q0G2PcfaJq

Linia 1. x znak równości None. Linia 2. a znak równości None. Linia 3. wynik znak równości None. Linia 4. b znak równości None. Linia 6. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Określanie miejsc zerowych funkcji liniowej f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości ax plus b kropka. Linia 7. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 8. def W podkreślnik C5 podkreślnik 82asno podkreślnik C5 podkreślnik 9Bci podkreślnik funkcji podkreślnik liniowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 9. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b. Linia 10. a znak równości 0. Linia 11. b znak równości 0. Linia 12. if a zamknij nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 13. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x2 zamknij nawias okrągły for x2 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Funkcja f jest rosnąca kropka Miejsce zerowe funkcji f wynosi x podkreślnik 0 znak równości apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią X ma współrzędne otwórz nawias okrągły apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof przecinek 0 zamknij nawias okrągły kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne otwórz nawias okrągły 0 przecinek apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka Funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla x∈ otwórz nawias okrągły minus ∞ przecinek apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla x∈ otwórz nawias okrągły apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof ∞ zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 14. else dwukropek. Linia 15. if a otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 16. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Funkcja f jest malejąca kropka Miejsce zerowe funkcji f wynosi x podkreślnik 0 znak równości apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią X ma współrzędne otwórz nawias okrągły apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof przecinek 0 zamknij nawias okrągły kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne otwórz nawias okrągły 0 przecinek apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla x∈ otwórz nawias okrągły minus ∞ przecinek apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka Funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla x∈ otwórz nawias okrągły apostrof przecinek mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof ∞ zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 17. else dwukropek. Linia 18. if b zamknij nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 19. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x4 zamknij nawias okrągły for x4 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Funkcja f jest stała kropka Funkcja f nie ma miejsca zerowego kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne otwórz nawias okrągły 0 przecinek apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla x∈R kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 20. elif b otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 21. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x5 zamknij nawias okrągły for x5 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Funkcja f jest stała kropka Funkcja f nie ma miejsca zerowego kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne otwórz nawias okrągły 0 przecinek apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka Funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla x∈R kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 22. else dwukropek. Linia 23. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x6 zamknij nawias okrągły for x6 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Funkcja f jest stała kropka Funkcja f ma nieskończenie wiele miejsc zerowych kropka Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne otwórz nawias okrągły 0 przecinek apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 25. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 26. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 27. def znak otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 28. global a przecinek wynik przecinek b. Linia 29. if x otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 30. wynik znak równości apostrof minus apostrof plus str otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk x zamknij nawias okrągły. Linia 31. else dwukropek. Linia 32. wynik znak równości apostrof plus apostrof plus str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły. Linia 33. return wynik. Linia 35. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 36. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 37. def mz otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 38. global x przecinek a przecinek wynik przecinek b. Linia 39. wynik znak równości otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik a. Linia 40. return wynik. Linia 43. W podkreślnik C5 podkreślnik 82asno podkreślnik C5 podkreślnik 9Bci podkreślnik funkcji podkreślnik liniowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

x = None
a = None
wynik = None
b = None

"""Określanie miejsc zerowych funkcji liniowej f(x) = ax + b.
"""
def W_C5_82asno_C5_9Bci_funkcji_liniowej():
  global x, a, wynik, b
  a = 0
  b = 0
  if a > 0:
    print(''.join([str(x2) for x2 in ['Funkcja f jest rosnąca. Miejsce zerowe funkcji f wynosi x_0 =', mz(), '. Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią X ma współrzędne (', mz(), ', 0). Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne (0, ', b, '). Funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla x∈(-∞, ', mz(), '). Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla x∈(', mz(), ' ∞).']]))
  else:
    if a < 0:
      print(''.join([str(x3) for x3 in ['Funkcja f jest malejąca. Miejsce zerowe funkcji f wynosi x_0 =', mz(), '. Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią X ma współrzędne (', mz(), ', 0). Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne (0, ', b, '). Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla x∈(-∞, ', mz(), '). Funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla x∈(', mz(), ' ∞).']]))
    else:
      if b > 0:
        print(''.join([str(x4) for x4 in ['Funkcja f jest stała. Funkcja f nie ma miejsca zerowego. Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne (0, ', b, '). Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie dla x∈R.']]))
      elif b < 0:
        print(''.join([str(x5) for x5 in ['Funkcja f jest stała. Funkcja f nie ma miejsca zerowego. Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne (0, ', b, '). Funkcja f przyjmuje wartości ujemne dla x∈R.']]))
      else:
        print(''.join([str(x6) for x6 in ['Funkcja f jest stała. Funkcja f ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Y ma współrzędne (0, ', b, ').']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def znak(x):
  global a, wynik, b
  if x < 0:
    wynik = '-' + str(-1 * x)
  else:
    wynik = '+' + str(x)
  return wynik

"""Opisz tę funkcję...
"""
def mz():
  global x, a, wynik, b
  wynik = (-1 * b) / a
  return wynik


W_C5_82asno_C5_9Bci_funkcji_liniowej()

R1IBjP3KtTdm61

Ćwiczenie 1

R1IADyyIvpbxq1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wzór funkcji liniowej z odpowiadającym tej funkcji miejscem zerowym. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka

R1f4V4j2ZhMEe1

Ćwiczenie 3

R10M0GN7wDBvA2

Ćwiczenie 4

RCk3TfiyISdvX2

Ćwiczenie 5

R1O0jhfQcucmU2

Ćwiczenie 6

RFDhCzsXsYkz43

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Określ liczbę miejsc zerowych funkcji o wzorze $f (x) = (\frac{2}{3} m - 1) x + (\frac{1}{2} - m)$ , w zależności od wartości parametru $m$ .

Korzystając ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej, otrzymujemy:

$x_{0} = \frac{- (\frac{1}{2} - m)}{\frac{2}{3} m - 1}$

Zatem:

funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy $\frac{2}{3} m - 1 = 0$ i $\frac{1}{2} m - 1 = 0$ .

Rozwiązaniami tych równań są odpowiednio liczby $m = \frac{3}{2}$ i $m = 2$ , więc nie istnieje taka wartość parametru $m$ .

funkcja ma jedno miejsce zerowe, gdy $\frac{2}{3} m - 1 \neq 0$ , więc gdy $m \neq \frac{3}{2}$ ,
funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $\frac{2}{3} m - 1 = 0$ i $- (\frac{1}{2} - m) \neq 0$ , wobec tego, gdy $m = \frac{3}{2}$ .

R1cpTYBTGgYPQ1

Ćwiczenie 9

RTCDrULi8FAiu1

Ćwiczenie 10

R1UiVuVhbs39h1

Ćwiczenie 11

Połącz w pary wzór funkcji liniowej z odpowiadającą jej jedną własnością. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od minus, jeden, 2. miejscem zerowym funkcji jest liczba minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. miejscem zerowym funkcji jest liczba początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od minus, jeden, 2. miejscem zerowym funkcji jest liczba minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. miejscem zerowym funkcji jest liczba początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od minus, jeden, 2. miejscem zerowym funkcji jest liczba minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. miejscem zerowym funkcji jest liczba początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od minus, jeden, 2. miejscem zerowym funkcji jest liczba minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. miejscem zerowym funkcji jest liczba początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka

R1YEFxNeUISIA2

Ćwiczenie 12

R1dWvdGHeeZul21

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej.

R1ZjCtLmOWipR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 3 do sześciu oraz pionową od minus 2 do trzech. Zaznaczono prostą malejącą przechodzącą przez pierwszą, trzecią oraz czwartą ćwiartkę. wyraz wolny to minus jeden.

Rl5ZSTErafvt8

R1CAzg3Dlm61A3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Określ monotoniczność funkcji liniowej zadanej wzorem $f (x) = (\frac{1}{2} m - 2) x + 2$ , w zależności od wartości parametru $m \in ℝ$ .

Ponieważ $a = \frac{1}{2} m - 2$ , więc:

funkcja jest rosnąca, gdy $\frac{1}{2} m - 2 > 0$ , zatem $m \in (4, \infty)$ ,

funkcja jest malejąca, gdy $\frac{1}{2} m - 2 < 0$ , zatem $m \in (- \infty, 4)$ ,

funkcja jest stała, gdy $\frac{1}{2} m - 2 = 0$ , zatem $m = 4$ .

Słownik

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$

monotoniczność funkcji

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze zmianą argumentów

2. Rysowanie wykresu funkcji liniowej na podstawie jej własności

M_R_W04_M2 Własności funkcji liniowej