1. Miejsce zerowe i monotoniczność funkcji liniowej

RB3YF2cYu1dhA

R1SZ9dRdQJJnY1

Zrzut ekranu przedstawia wykres maks.-min.-zakmknięcie. W osi X wypisano daty a w osi Y zł/akcja. Wykres ma trend rosnący. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykres ten pokazuje rozpiętość cen akcji podczas sesji (pionowy pasek od ceny minimalnej od maksymalnej) oraz cenę zamknięcia danej sesji, która oznaczona jest kropką.

R6eDgzRjva4KI1

Zrzut Zrzut ekranu przedstawia wykres maks.-min.-zakmknięcie. W osi X wypisano daty a w osi Y zł/akcja. Wykres ma trend rosnący. Poszczególne punkty na wykresie połączone są niebieską linią - linią trendu. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Na takim wykresie można umieścić linię trendu, która obrazuje kierunek zmian wartości. Linie trendu ułatwiają wyciąganie właściwych wniosków z analizy zjawisk przedstawionych na wykresach.

Językiem matematyków moglibyśmy powiedzieć, że badanie monotniczności tych linii pozwala na określenie, czy mamy doczynienia z tendencją wzrostową, spatkową czy sytuacją stabliną.

Twoje cele

Wyznaczysz liczbę miejsc zerowych funkcji liniowej.
Określisz miejsca zerowe funkcji liniowej na podstawie wykresu.
Obliczysz miejsca zerowe funkcji liniowej na podstawie definicji miejsca zerowego lub wzoru.
Określisz monotoniczność funkcji liniowej na podstawie jej wzoru
Wyznaczysz, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

miejsce zerowe

Definicja: miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

Graficznie, miejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsce zerowe funkcji interpretujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z poziomą osią $X$ .

liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Własność: liczba miejsc zerowych funkcji liniowej

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:

funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_{0}$ , gdy $a \neq 0$ i $b \in ℝ$ ,
RTDn4kdflAYfj
Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszym układzie zaznaczono wykres funkcji liniowej rosnącej oraz jej miejsce zerowe x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, wyraz wolny b znajduję się poniżej osi X. obok wykresu pojawia się nierówność a, większy niż, zero. W drugim układzie zaznaczono wykres funkcji liniowej malejącej oraz jej miejsce zerowe x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, wyraz wolny b znajduję się powyżej osi X. Obok wykresu znajduje się nierówność a, mniejszy niż, zero.
funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ ,

R1cabiziRag3W

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Zaznaczono w nim wykres funkcji liniowej nie posiadającej miejsca zerowego, jest ona poziomą prostą. Wyraz wolny b znajduję się powyżej osi X. Obok wykresu znajduje się równość a, równa się, zero.

funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b = 0$

RGQIXHcPzUsya

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Zaznaczono w nim wykres funkcji liniowej, która jest poziomą prostą położoną na osi X. Obok wykresu znajdują się równości a, równa się, zero Oraz b, równa się, zero.

Mając dany wzór funkcji, możemy bez szkicowania wykresu określić liczbę miejsc zerowych tej funkcji.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a \neq 0$ , to miejsce zerowe tej funkcji obliczamy na dwa sposoby:

Korzystamy z definicji miejsca zerowego funkcji, czyli wyznaczamy argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ . W tym celu rozwiązujemy równanie $f (x) = 0$ .
Jeżeli $f (x) = a x + b$ , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji $f$ , $g$ i $h$ .

ReQPEsH90qUYm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Zaznaczono na nim trzy proste. Pierwszą h nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, zero, drugą g nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy oraz trzecią f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x, minus, dziewięć. Pierwsza oraz druga prosta są poziome, a trzecia prosta jest ukośna. Druga oraz trzecia prosta przecinają się w punkcie nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Pierwsza oraz trzecia prosta przecinają się w punkcie nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Odczytamy miejsca zerowe tych funkcji.

Rozwiązanie

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $3$ .
Funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych.
Funkcja $h$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Przykład 2

Obliczymy miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

$f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{27}$ ,
$f (x) = \frac{5}{3} x + 10$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz $b = \sqrt{27}$ , zatem
$x_{0} = \frac{- \sqrt{27}}{- \frac{\sqrt{3}}{3}} = 9$ .
Ponieważ $a = \frac{5}{3}$ oraz $b = 10$ , zatem
$x_{0} = \frac{- 10}{\frac{5}{3}} = - 6$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , jeżeli wiemy, że miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = (- \frac{1}{2} m + 3) x + 2$ jest liczba $3$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $3$ jest miejscem zerowym, zatem zachodzi warunek $f (3) = 0$ .

Dlatego też do wyznaczenia wartości $m$ należy rozwiązać równanie:

$0 = (- \frac{1}{2} m + 3) \cdot 3 + 2$

Zatem $m = \frac{22}{3}$ - zauważmy przy tym, że dla tej liczby współczynnik stojący przy $x$ we wzorze funkcji, jest różny od zera.

Przykład 4

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa zadana wzorem $f (x) = (\frac{3}{4} m - 12) x + (m - 1)$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie

Funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = a x + b$ nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ .

Ponieważ $a = \frac{3}{4} m - 12$ i $b = m - 1$ , więc zachodzą warunki:

$\frac{3}{4} m - 12 = 0$ i $m - 1 \neq 0$

Dlatego też funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $m = 16$ i $m \neq 1$ .

Wobec tego szukana wartość parametru $m$ wynosi $16$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $f (x) = a x - 4$ , jeżeli wiadomo, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(- 3)$ .

Rozwiązanie

Ponieważ liczba $(- 3)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ należy rozwiązać równanie:

$0 = a \cdot (- 3) - 4$

Wobec tego $a = - \frac{4}{3}$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{4}{3} x - 4$ .

Przykład 6

Określimy liczbę miejsc zerowych funkcji zadanej wzorem $f (x) = (2 m + 3) x - 1$ , w zależności od wartości parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 2 m + 3$ oraz $b = - 1$ , to funkcja:

ma jedno miejsce zerowe, gdy $a \neq 0$ , zatem $2 m + 3 \neq 0$ , wobec tego $m \neq - \frac{3}{2}$ ,
nie ma miejsc zerowych, gdy $a = 0$ , zatem $2 m + 3 = 0$ , wobec tego $m = - \frac{3}{2}$ .

Ponieważ $b \neq 0$ , zatem funkcja nie może mieć nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Monotoniczność funkcji liniowej

Monotoniczność funkcji

Definicja: Monotoniczność funkcji

Funkcja jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, gdy jest rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca.

monotoniczność funkcji liniowej

Własność: monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = a x + b$ jest:

rosnąca, gdy $a > 0$ ,
RBNMH1Zh50X0T

malejąca, gdy $a < 0$ ,
RV1cMyUMI7tcM

stała, gdy $a = 0$ .
RTuuQX6pGtIh2

Jak wykazać, że funkcja jest rosnąca?

Przykład 7

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x - 2$ . Wykażemy, że funkcja ta jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wtedy $f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{1}{2} x_{2} - 2 - (\frac{1}{2} x_{1} - 2) = \frac{1}{2} x_{2} - \frac{1}{2} x_{1}$ .

Ponieważ $x_{1} < x_{2}$ , zatem $\frac{1}{2} x_{2} - \frac{1}{2} x_{1} = \frac{1}{2} (x_{2} - x_{1}) > 0$ , czyli

$f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}$ , $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.

Jak wykazać, że funkcja jest malejąca?

Przykład 8

Wykażemy, że funkcja zadana wzorem $f (x) = a x + b$ dla $a < 0$ i $b \in ℝ$ jest malejąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_{1}$ , $x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wtedy $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a x_{2} + b - (a x_{1} + b) = a x_{2} - a x_{1}$ .

Ponieważ $x_{1} < x_{2}$ , zatem $a x_{2} - a x_{1} = a (x_{2} - x_{1}) < 0$ , czyli

$f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}$ , $x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja jest malejąca.

Wiedząc o tym, od czego zależy monotoniczność funkcji liniowej, możemy wyznaczać wartości parametrów we wzorze funkcji, dla których funkcja rośnie, maleje lub jest stała.

Przykład 9

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = (- \frac{2}{3} m + \frac{1}{2}) x - 3$ jest malejąca.

Rozwiązanie

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a = - \frac{2}{3} m + \frac{1}{2}$ .

Jeżeli funkcja jest malejąca, to $a < 0$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$- \frac{2}{3} m + \frac{1}{2} < 0$

Zatem $m \in (\frac{3}{4}, \infty)$ .

Przykład 10

Określimy monotoniczność funkcji zadanej wzorem $f (x) = (6 - 2 m) x + 2$ w zależności od wartości parametru $m \in ℝ$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $a = 6 - 2 m$ , wobec tego:

funkcja jest rosnąca, gdy $6 - 2 m > 0$ , zatem $m \in (- \infty, 3)$ ,

funkcja jest malejąca, gdy $6 - 2 m < 0$ , zatem $m \in (3, \infty)$ ,

funkcja jest stała, gdy $6 - 2 m = 0$ , zatem $m = 3$ .

Wartości dodatnie i wartości ujemne funkcji liniowej

Monotonicznośćmonotoniczność funkcjiMonotoniczność oraz istnienie miejsca zerowegomiejsce zerowe funkcjimiejsca zerowego funkcji liniowej decyduje o tym, w jakim przedziale funkcja przyjmuje wartości ujemne, a w jakim wartości dodatnie.

Niech $x_{0}$ będzie miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem
$f (x) = a x + b$ .

Jeżeli $a > 0$ , to:

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- \infty, x_{0})$ ,

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (x_{0}, \infty)$ .

Jeżeli $a < 0$ , to

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (- \infty, x_{0})$ ,

funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (x_{0}, \infty)$ .

Jeżeli $a = 0$ , to:

dla $b > 0$ funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie,

dla $b < 0$ funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne.

Punkty szczególne, które należą do wykresu funkcji liniowej:

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $X$ ma współrzędne $(- \frac{b}{a}, 0)$ , dla $a \neq 0$ ,

punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, b)$ .

R1PVrvOWuZqt6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią X i Y. Prosta rosnąca przechodzi przez osie tworząc punkty przecięcia w pierwszej drugiej oraz trzeciej ćwiartce.

Przykład 11

Na podstawie wykresu funkcji liniowej, odczytamy:

a) punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych,

b) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne, a dla jakich dodatnie.

RugcxMJ8tdW2n

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 3 do sześciu oraz pionową osią od minus 4 do dwóch. Zaznaczono prostą rosnącą mającą miejsce zerowe równe cztery i wyraz wolny równy minus trzy.

Rozwiązanie

a) Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $X$ : $(4, 0)$ .

Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 3)$ .

b) Z wykresu funkcji odczytujemy, że miejscem zerowym jest liczba $4$ .

Zauważmy, że funkcja jest rosnąca, zatem $a > 0$ .

Zatem funkcja przyjmuje wartości:

ujemne dla argumentów $x \in (- \infty, 4)$ ,

dodatnie dla argumentów $x \in (4, \infty)$ .

Przykład 12

Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = 3 m x + \frac{3}{4}$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, 2)$ . Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie

Ponieważ punkt o współrzędnych $(- 1, 2)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

$2 = 3 \cdot m \cdot (- 1) + \frac{3}{4}$ , zatem $m = - \frac{5}{12}$

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = - \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}$ .

Ze wzoru funkcji odczytujemy, że $a = - \frac{5}{4}$ .

Obliczamy miejsce zerowe tej funkcji.

$- \frac{5}{4} x + \frac{3}{4} = 0$ , zatem $x = \frac{3}{5}$

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów $x \in (- \infty, \frac{3}{5})$ .

Schematy interaktywne

Przeanalizuj schemat interaktywny, a następnie wykonaj polecenie 1.

RGpuTVt5Nv2xi

Polecenie 1

Oblicz miejsca zerowe funkcji liniowych określonych wzorami:

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 2$
$f (x) = \frac{3}{5} x + 3$
$f (x) = - \sqrt{5} x - 2$
$f (x) = (\sqrt{2} - 1) x + 3$

$x_{0} = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}} = 4$
$x_{0} = \frac{- 3}{\frac{3}{5}} = - 5$
$x_{0} = \frac{2}{- \sqrt{5}} = \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$
$x_{0} = \frac{- 3}{\sqrt{2} - 1} = \frac{- 3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = - 3 \sqrt{2} - 3$

Przeanalizuj schemat interaktywny, a następnie wykonaj polecenie 2.

R1Oe3G2D5LJFm

Polecenie 2

Określ monotoniczność, miejsca zerowe oraz wyznacz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne, jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem:

a) $f (x) = - \frac{1}{5} x + 2$

b) $f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{8}{9}$

a) monotoniczność: funkcja malejąca

miejsce zerowe: $10$ ,

$f (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, 10)$

$f (x) < 0$ dla $x \in (10, \infty)$

b) monotoniczność: funkcja rosnąca

miejsce zerowe: $\frac{8}{3}$

$f (x) < 0$ dla $x \in (- \infty, \frac{8}{3})$

$f (x) > 0$ dla $x \in (\frac{8}{3}, \infty)$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1IBjP3KtTdm61

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1IADyyIvpbxq1

Połącz w pary wzór funkcji liniowej z odpowiadającym tej funkcji miejscem zerowym. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 2. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. x indeks dolny, zero, równa się, minus, trzy, 4. x indeks dolny, zero, równa się, początek ułamka, osiem, mianownik, trzy, koniec ułamka

Wykorzystaj wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej: $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Ćwiczenie 3

R1f4V4j2ZhMEe1

Sprawdź, czy dla podanego argumentu $f (x) = 0$ .

Ćwiczenie 4

R10M0GN7wDBvA2

Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ . W tym celu rozwiąż równanie $f (x) = 0$ .

Ćwiczenie 5

RCk3TfiyISdvX

Wyznacz wartość parametru $m$ , dla którego wykres funkcji będzie równoległy do osi $OX$ .

R15XXVZAU1HXS2

Ćwiczenie 6

RFDhCzsXsYkz42

Ćwiczenie 7

RAjXrq926lZwg2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8013AScWphwV1

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RXbc5NCWxEky82

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby funkcja liniowa była funkcją malejącą, współczynnik kierunkowy musi być mniejszy od $0$ .

Ćwiczenie 11

R1ToGzOJ11VxB2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby funkcja liniowa była funkcją stałą, współczynnik kierunkowy musi być równy $0$ .

RJWb487lSVxuI2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhAizTX1v5yBH2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Określ liczbę miejsc zerowych funkcji o wzorze $f (x) = (\frac{2}{3} m - 1) x + (\frac{1}{2} - m)$ , w zależności od wartości parametru $m$ .

Korzystając ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej, otrzymujemy:

$x_{0} = \frac{- (\frac{1}{2} - m)}{\frac{2}{3} m - 1}$

Zatem:

funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy $\frac{2}{3} m - 1 = 0$ i $\frac{1}{2} m - 1 = 0$ .

Rozwiązaniami tych równań są odpowiednio liczby $m = \frac{3}{2}$ i $m = 2$ , więc nie istnieje taka wartość parametru $m$ .

funkcja ma jedno miejsce zerowe, gdy $\frac{2}{3} m - 1 \neq 0$ , więc gdy $m \neq \frac{3}{2}$ ,
funkcja nie ma miejsc zerowych, gdy $\frac{2}{3} m - 1 = 0$ i $- (\frac{1}{2} - m) \neq 0$ , wobec tego, gdy $m = \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 15

R15s3rJBr9FMP2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że funkcja liniowa jest:

malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest mniejszy od $0$ ,
stała, gdy współczynnik kierunkowy jest równy $0$ ,
rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest większy od $0$ .

RVl4h7sY9G1Lo2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eIAEjlMlAJ72

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Dana jest funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3 k) x + 2$ .

Wykaż, że:

jeżeli $k = - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest stała,
jeżeli $k > - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest rosnąca,
jeżeli $k < - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest malejąca.

RkEnApUU0AB2C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształć równanie $k = - \frac{2}{3} m$ , przenosząc wszystkie składniki na jedną stronę. Aby funkcja liniowa była stała, to $2 m + 3 k = 0$ . Porównaj dwa równania.
Przekształć nierówność $k > - \frac{2}{3} m$ , przenosząc wszystkie składniki na jedną stronę. Aby funkcja liniowa była rosnąca, to $2 m + 3 k > 0$ . Porównaj dwie nierówności.
Przekształć nierówność $k < - \frac{2}{3} m$ , przenosząc wszystkie składniki na jedną stronę. Aby funkcja liniowa była malejąca, to $2 m + 3 k < 0$ . Porównaj dwie nierówności.

Jeżeli $k = - \frac{2}{3} m$ , to $3 k = - 2 m$ i $2 m + 3 k = 0$ , czyli funkcja $f$ jest stała.
Jeżeli $k > - \frac{2}{3} m$ , to $3 k > - 2 m$ i $2 m + 3 k > 0$ , czyli funkcja $f$ jest rosnąca.
Jeżeli $k < - \frac{2}{3} m$ , to $3 k < - 2 m$ i $2 m + 3 k < 0$ , czyli funkcja $f$ jest malejąca.

Słownik

monotoniczność funkcji

własność funkcji, która określa zmianę wartości tej funkcji wraz ze wzrostem argumentów

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$

2. Wyznaczanie wzoru i wykresu funkcji liniowej na podstawie jej własności

Własności funkcji liniowej