• Rozpoznasz funkcę rosnącą, malejącą i stałą na podstawie wykresu.

• Sprawdzisz, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała.

• Uzasadnisz, że funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.

• Rozpoznacz funkcje nierosnące i niemalejące oraz uzasadnisz ten fakt.

Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją rosnącą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$, z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RiUUbGXFGglAq

Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą przypominającą parabolę, której lewe ramię skierowane jest w dół i przebiega przez punkt $\left(-2,1\right)$, a prawe ramię skierowane jest do góry i przebiega przez punkt $\left(1,4\right)$, a punkt łączący oba ramiona ma współrzędne $\left(0,3\right)$.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Rozwiązanie:

Obserwując wykres funkcji zauważamy, że wraz ze wzrostem argumentów rosną też wartości funkcji $f$.

Odczytajmy z wykresu wartości funkcji dla argumentów: $\left(-2\right)$, $1$: $f\left(-2\right)=-5$; $f\left(1\right)=4$.

Z nierówności $-2<1$ wynika nierówność $f\left(-2\right)<f\left(1\right)$.

Możemy wybrać inną parę argumentów, np. $\left(-1\right)$ i $0$ i podobnie odczytać z wykresu wartości funkcji: $f\left(-1\right)=2$; $f\left(0\right)=3$

Z nierówności $-1<0$ wynika nierówność $f\left(-1\right)<f\left(0\right)$.

Na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji możemy przypuszczać, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącąfunkcja rosnącafunkcją rosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-5, -2\right), \left(-4, -1\right), \left(-3, 0\right), \left(-2, 3\right), \left(1, 5\right), \left(2, 8\right)\right\}$

Określimy, czy funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Rozwiązanie:

Z nierówności $-5<-4$ wynika nierówność $\left(f\left(-5\right)=-2\right)<\left(f\left(-4\right)=-1\right)$.

Z nierówności $-3<2$ wynika nierówność $\left(f\left(-3\right)=0\right)<\left(f\left(2\right)=8\right)$.

Analizując zbiór par uporządkowanych zauważamy, że dla każdej pary argumentów większej wartości argumentu odpowiada większa wartość funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Określimy, czy funkcja $f$ jest funkcją rosnącąfunkcja rosnącafunkcją rosnącą.

Rozwiązanie:

Analizując tabelkę opisującą funkcję $f$ zauważamy, że im większy jest argument funkcji tym większa jest jej wartość.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=3x-5$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

Korzystając z definicji wykażemy, że funkcja $f$ jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=3x-5$, $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=3x_1-5$

$f\left(x_2\right)=3x_2-5$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(3x_1-5\right)-\left(3x_2-5\right)=3x_1-5-3x_2+5=$

$=3x_1-3x_2=3·\left(x_1-x_2\right)$

Na podstawie założeń ustalimy znak otrzymanego iloczynu.

$x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

Zatem iloczyn $3·\left(x_1-x_2\right)<0$.

Stąd $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

a) $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, gdy $x\in \left(-\infty , 0\right)$,

b) $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, gdy $x\in \left(0, \infty \right)$,

c) $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Sprawdzimy, czy funkcja jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Ad. a)

Założenie: $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, $x_1,x_2\in \left(-\infty , 0\right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=-\frac{3}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_1}-\left(-\frac{3}{x_2}\right)=-\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}=\frac{3x_1-3x_2}{x_1·x_2}=\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$,

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1<0$ oraz $x_2<0$.

Zatem $\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}<0$, stąd $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(-\infty , 0\right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$.

Ad. b)

Założenie: $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, $x_1,x_2\in \left(0, \infty \right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=-\frac{3}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_1}-\left(-\frac{3}{x_2}\right)=-\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}=\frac{3x_1-3x_2}{x_1·x_2}=\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$,

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1>0$ oraz $x_2>0$.

Zatem $\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}<0$, stąd $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(0, \infty \right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(0, \infty \right)$.

Ad. c)

W poprzednich podpunktach wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$ oraz w przedziale $\left(0, \infty \right)$. Sprawdzimy, czy jest rosnąca w sumie przedziałów.

Weźmy dwa argumenty funkcji $f$ należące do zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$,

$x_1=-3$ oraz $x_2=3$

i obliczmy wartości funkcji dla tych argumentów:

$f\left(-3\right)=1$ oraz $f\left(3\right)=-1$.

Okazuje się, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd funkcja $f$ nie jest rosnąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją malejącą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$, z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1OlDaZu9TqWj

Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą podobną do paraboli, której lewe ramię skierowane jest do góry i przechodzi na przykład przez punkty $\left(-2,10\right)$ i $\left(-1,3\right)$. Prawe ramię skierowane jest w dół i przebiega na przykład przez punkty $\left(1,1\right)$ i $\left(2,-6\right)$.Punkt łączący ramiona ma współrzędne $\left(0,2\right)$.

Ustalimy, czy  funkcja $f$ jest funkcją malejącąfunkcja malejącafunkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Obserwując wykres funkcji zauważamy, że wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji $f$.

Odczytajmy z wykresu (odpowiednio go przedłużając) wartości funkcji dla argumentów: $-2$, $1$.

$f\left(-2\right)=10$

$f\left(1\right)=1$

Z nierówności $-2<1$ wynika nierówność $f\left(-2\right)>f\left(1\right)$.

Możemy wybrać inną parę argumentów. Np. $-1$ i $2$ i podobnie odczytać z wykresu wartości funkcji.

$f\left(-1\right)=3$

$f\left(2\right)=-6$

Z nierówności $-1<0$ wynika nierówność $f\left(-1\right)>f\left(2\right)$.

Stąd przypuszczenie, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą. Ponieważ na rysunku jest tylko fragment wykresu funkcji, więc nie możemy jednoznacznie ustalić monotoniczności funkcji.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-5, 2\right), \left(-4, 1\right), \left(-3, 0\right), \left(-2, -3\right), \left(1, -5\right), \left(2, -8\right)\right\}$.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Z nierówności $-5<-4$ wynika nierówność $\left(f\left(-5\right)=2\right)>\left(f\left(-4\right)=1\right)$.

Z nierówności $-3<2$ wynika nierówność $\left(f\left(-3\right)=0\right)>\left(f\left(2\right)=-8\right)$.

Podobnie, analizując pozostałe pary punktów, zauważamy, że większej wartości argumentu odpowiada mniejsza wartość funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Analizując tabelkę opisującą funkcję $f$ zauważamy, że im większy jest argument funkcji tym mniejsza jest jej wartość. Np.

• z nierówności $-4<0$ wynika nierówność $\left(f\left(-4\right)=8\right)>\left(f\left(0\right)=4\right)$;

• z nierówności $1<5$ wynika nierówność $\left(f\left(1\right)=2\right)>\left(f\left(5\right)=-3\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją malejącąfunkcja malejącafunkcją malejącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru

$f\left(x\right)=-2x+3$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Korzystając z definicji wykażemy, że funkcja $f$ jest malejąca.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=-2x+3$, $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=-2x_1+3$

$f\left(x_2\right)=-2x_2+3$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(-2x_1+3\right)-\left(-2x_2+3\right)=-2x_1+3+2x_2-3=-2x_1+2x_2=$

$=-2·\left(x_1-x_2\right)$

Na podstawie założeń ustalimy znak otrzymanego iloczynu.

$x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

Zatem iloczyn $-2·\left(x_1-x_2\right)>0$.

Stąd $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

• $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in \left(-\infty , 0\right)$,

• $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in \left(0, \infty \right)$,

• $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$.

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ jest funkcją malejącą.

Rozwiązanie:

Ad. a)

Założenie: $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $x_1,x_2\in \left(-\infty , 0\right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=\frac{5}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_1}-\left(\frac{5}{x_2}\right)=\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}=\frac{-5x_1+5x_2}{x_1·x_2}=\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1<0$ oraz $x_2<0$

Zatem $\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}>0$, stąd $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(-\infty , 0\right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$.

Ad. b)

Założenie: $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$, $x_1,x_2\in \left(0, \infty \right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=\frac{5}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5}{x_1}-\left(\frac{5}{x_2}\right)=\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}=\frac{-5x_1+5x_2}{x_1·x_2}=\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1>0$ oraz $x_2>0$

Zatem $\frac{-5·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}>0$, stąd $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(0, \infty \right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(0, \infty \right)$.

Ad. c)

W poprzednich podpunktach wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$ oraz w przedziale $\left(0, \infty \right)$. Sprawdzimy, czy jest malejąca w sumie przedziałów.

Weźmy dwa argumenty funkcji $f$ należące do zbioru $\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$,

$x_1=-5$ oraz $x_2=5$

I obliczmy wartości funkcji dla tych argumentów:

$f\left(-5\right)=-1$ oraz $f\left(5\right)=1$.

Okazuje się, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Stąd funkcja $f$ nie jest malejąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$.

Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją stałą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych  argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$ zachodzi równość

Funkcja $f\left(x\right)=5$ opisana jest za pomocą wykresu.

R7RfnERjyDJfd

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczona została pozioma prosta, która jest równoległa do osi x i przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

Obserwując wykres funkcji zauważamy, że wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji $f$ nie zmieniają się.

Odczytajmy z wykresu wartości funkcji dla argumentów: $\left(-2\right)$, $1$.

$f\left(-2\right)=5$

$f\left(1\right)=5$

Z nierówności $-2<1$ wynika równość $f\left(-2\right)=f\left(1\right)$.

Możemy wybrać inną parę argumentów. Np. $\left(-1\right)$ i $2$ i podobnie odczytać z wykresu wartości funkcji.

$f\left(-1\right)=5$

$f\left(2\right)=5$

Z nierówności $-1<0$ wynika równość $f\left(-1\right)=f\left(2\right)$.

Przypuszczamy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Na podstawie wzoru funkcji wnioskujemy, że dla każdych dwóch różnych argumentów, wartości funkcji są takie same. Zatem istotnie, funkcja jest stała.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-5, 2\right), \left(-4, 2\right), \left(-3, 2\right), \left(-2, 2\right), \left(1, 2\right), \left(2, 2\right)\right\}$.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

Z nierówności $-5<-4$ wynika równość $\left(f\left(-5\right)=2\right)=\left(f\left(-4\right)=2\right)$.

Z nierówności $-3<2$ wynika równość $\left(f\left(-3\right)=2\right)=\left(f\left(2\right)=2\right)$.

Analizując zbiór par uporządkowanych zauważamy, że również w pozostałych przypadkach  wraz ze wzrostem argumentów nie zmienia się wartość funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałąfunkcja stałafunkcją stałą.

Rozwiązanie:

Analizując tabelkę opisującą funkcję $f$ zauważamy, że wzrost argumentu nie powoduje zmiany wartości funkcji. Np.

• z nierówności $-4<0$ wynika równość $\left(f\left(-4\right)=8\right)=\left(f\left(0\right)=8\right)$;

• z nierówności $1<5$ wynika równość $\left(f\left(1\right)=8\right)>\left(f\left(5\right)=8\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left|2x-6\right|-\left|2x+8\right|$, gdy $x\in ⟨4, 10⟩$.

Korzystając z definicji wykażemy, że funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

Sprawdzimy, jaki znak mają wyrażenia, znajdujące się pod znakiem wartości bezwzględnej, gdy $x\in ⟨4, 10⟩$.

$2x-6\ge 0$ oraz $2x+8\ge 0$

$2x\ge 6$ oraz $2x\ge -8$

$x\ge 3$ oraz $x\ge -4$

Dla $x\in ⟨4, 10⟩$ oba wyrażenia są nieujemne.

Przekształcimy wzór funkcji $f$.

$f\left(x\right)=(2x-6)-(2x+8)=2x-6-2x-8=-14$

Dla każdego $x\in ⟨4, 10⟩$ wartość funkcji jest stała i równa $\left(-14\right)$.

Pokazaliśmy więc, że funkcja $f$ jest funkcją stałąfunkcja stałafunkcją stałą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

1. $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, gdy $x\in \left(-\infty , 4\right)$,

2. $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, gdy $x\in \left(4, \infty \right)$,

3. $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$.

Sprawdzimy, czy funkcja $f$ jest funkcją stałą.

Rozwiązanie:

1. Założenie: $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, $x_1,x_2\in \left(-\infty , 4\right)$ oraz $x_1<x_2$
   Teza: $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$
   Dowód:
   Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.
   $f\left(x_1\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}$
   $f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}$
   Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$.
   Możemy zauważyć, że $x-4<0$ dla $x\in \left(-\infty , 4\right)$.
   $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\left(\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}=$
   $=\frac{-\left(x_1-4\right)}{x_1-4}-\frac{-\left(x_2-4\right)}{x_2-4}=-1+1=0$
   Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(-\infty , 4\right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika równość $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.
   Zatem funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(-\infty , 4\right)$.

2. Założenie: $f\left(x\right)=\frac{\left|x-4\right|}{x-4}$, $x_1,x_2\in \left(4, \infty \right)$ oraz $x_1<x_2$
   Teza: $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$
   Dowód:
   Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.
   $f\left(x_1\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}$
   $f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}$
   Obliczamy różnicę wartości funkcji:
   $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$.
   Możemy zauważyć, że $x-4>0$ dla $x\in \left(4, \infty \right)$.
   $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\left(\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}\right)=\frac{\left|x_1-4\right|}{x_1-4}-\frac{\left|x_2-4\right|}{x_2-4}=$
   $=\frac{\left(x_1-4\right)}{x_1-4}-\frac{\left(x_2-4\right)}{x_2-4}=1-1=0$
   Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(4, \infty \right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika równość $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$.
   Zatem funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(4, \infty \right)$.

3. W poprzednich podpunktach wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest stała w przedziale $\left(-\infty , 4\right)$ oraz w przedziale $\left(4, \infty \right)$. Sprawdzimy, czy jest stała w sumie przedziałów.
   Weźmy dwa argumenty funkcji $f$ należące do zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$,
   $x_1=-5$ oraz $x_2=5$.
   I obliczmy wartości funkcji dla tych argumentów:
   $f\left(-5\right)=-1$ oraz $f\left(5\right)=1$.
   Okazuje się, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$.
   Stąd funkcja $f$ nie jest stała w zbiorze $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$.

Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją nierosnącą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$, z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność:

Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją niemalejącą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$, z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych. Wykażemy, że jest to funkcja niemalejąca.

$\left\{\left(-3, -5\right), \left(-2, -3\right), \left(-1, 0\right), \left(1, 0\right), \left(2, 3\right), \left(4, 5\right)\right\}$

Rozwiązanie:

Argumenty funkcji należą do zbioru $\left\{-3, -2, -1, 1, 2, 4\right\}$.

Zauważmy, że: $-3<-2<-1<1<2<4$

Odpowiadające tym argumentom wartości funkcji spełniają zależności:

$f\left(-3\right)<f\left(-2\right)<f\left(-1\right)=f\left(1\right)<f\left(2\right)<f\left(4\right)$

Analizując zbiór par uporządkowanych zauważamy, że dla każdej pary argumentów zachodzi następująca zależność:

$x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)⩽f\left(x_2\right)$

Zatem funkcja $f$ jest funkcją niemalejącąfunkcja niemalejącafunkcją niemalejącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki. Wykażemy, że jest to funkcja nierosnąca.

Rozwiązanie:

Argumenty funkcji należą do zbioru $\left\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\right\}$.

Zauważmy, że: $-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5$

Odpowiadające tym argumentom wartości funkcji spełniają zależności:

$f\left(-3\right)>f\left(-2\right)>f\left(-1\right)>f\left(0\right)>f\left(1\right)=f\left(2\right)>f\left(3\right)>f\left(4\right)>f\left(5\right)$

Okazuje się, że dla każdej pary argumentów zachodzi następująca zależność:

$x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)⩾f\left(x_2\right)$

Zatem funkcja $f$ jest funkcją nierosnącą.

Udowodnimy, że funkcja określona wzorem: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x+2; x\in \left(-\infty ; 1\right)\\ 5; x\in ⟨1; 6⟩\end{array}\right.$ jest funkcją niemalejącą.

Rozwiązanie:

Niech $x_1; x_2\in \left(-\infty ;6\right.⟩$. Zatem: $x_1- x_2<0$ $\left(1\right)$.

Jeśli: $x_1\in \left(-\infty ; 1\right)$ i $x_2\in \left(-\infty ; 1\right)$, to: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3x_1+2-\left(3x_2+2\right)=3x_1-3x_2=3\left(x_1-x_2\right)$

Z $\left(1\right)$ wynika, że: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ $\left(2\right)$.

Jeśli $x_1\in \left(-\infty ; 1\right)$ i $x_2\in ⟨1; 6⟩$, to: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3x_1+2-5=3x_1-3=3\left(x_1-1\right)$.

Dla $x_1\in \left(-\infty ; 1\right)$: $x_1-1<0$, zatem: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ $\left(3\right)$.

Jeśli $x_1\in ⟨1; 6⟩$ i $x_2\in ⟨1; 6⟩$, to $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ $\left(4\right)$.

Z $\left(2\right)$, $\left(3\right)$, $\left(4\right)$ wynika, że prawdziwa jest implikacja:

${\forall }_{x_1,x_2\in D_f}\left[x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)⩽f\left(x_2\right)\right]$

Zatem funkcja $f$ jest funkcją niemalejącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RkLqCn5eb30Of

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do trzech. W  zadanym układzie współrzędnych zaznaczono ciągły wykres funkcji w postaci krzywej składającej sie z trzech fragmentów. Wartości funkcji dla dalszych argumentów zaczynają się w plus nieskończoności a następnie wykres przechodzi przez punkty nawias, minus, cztery przecinek pięć zamknięcie nawiasu, nawias, minus, trzy przecinek zero zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu. Następnie podany punkt łączy się z punktem nawias dwa, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu. Ostatni fragment wykresu przechodzi przez punkt nawias trzy, przecinek, minus, sześć zamknięcie nawiasu a dalej wartości funkcji dążą do minus nieskończoności. Nad wykresem znajduje się jego nazwa y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu. Pod wykresem znajduje się pole, w którym umieszczone są możliwości poznawcze apletu. Po lewej stronie znajdują się dwie opcje do zaznaczenia: argumenty oraz wartości. Po kliknięciu znajdujących się obok nich kwadratów podane elementy funkcji będą uwzględnione w animacji. Po prawej stronie znajduje się suwak dotyczący argumentów wyświetlanych w aplecie z zakresu od minus czterech do czterech z krokiem o zero przecinek jeden . Pod spodem znajduje się przycisk "pauzy" oraz "play". W momencie początkowym animacji zaznaczony jest w układzie współrzędnych punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego oraz wychodząca z tego punktu przerywana linia prowadząca do wykresu funkcji na którym zaznaczony jest punkt podpisany jako f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Wartość argumentu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego jest związana z wartością argumentu na suwaku. Po kliknięciu przycisku "play" punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego przesuwa się w prawą stronę i zatrzymuje się dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery a punkt f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu przesuwa się po wykresie funkcji. Na koniec pojawia się strzałka nad rozważanymi argumentami z napisem "rosną". Nad fragmentami wykresu funkcji pojawiają się trzy strzałki z napisem kolejno maleją, są stałe, maleją które opisują zachowanie wartości funkcji. Po odznaczeniu opcji: argumenty oraz wartości na animacji nie pojawią się strzałki z komentarzem.

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do trzech. W  zadanym układzie współrzędnych zaznaczono ciągły wykres funkcji w postaci krzywej składającej sie z trzech fragmentów. Wartości funkcji dla dalszych argumentów zaczynają się w plus nieskończoności a następnie wykres przechodzi przez punkty nawias, minus, cztery przecinek pięć zamknięcie nawiasu, nawias, minus, trzy przecinek zero zamknięcie nawiasu oraz nawias, minus, dwa, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu. Następnie podany punkt łączy się z punktem nawias dwa, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu. Ostatni fragment wykresu przechodzi przez punkt nawias trzy, przecinek, minus, sześć zamknięcie nawiasu a dalej wartości funkcji dążą do minus nieskończoności. Nad wykresem znajduje się jego nazwa y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu. Pod wykresem znajduje się pole, w którym umieszczone są możliwości poznawcze apletu. Po lewej stronie znajdują się dwie opcje do zaznaczenia: argumenty oraz wartości. Po kliknięciu znajdujących się obok nich kwadratów podane elementy funkcji będą uwzględnione w animacji. Po prawej stronie znajduje się suwak dotyczący argumentów wyświetlanych w aplecie z zakresu od minus czterech do czterech z krokiem o zero przecinek jeden . Pod spodem znajduje się przycisk "pauzy" oraz "play". W momencie początkowym animacji zaznaczony jest w układzie współrzędnych punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego oraz wychodząca z tego punktu przerywana linia prowadząca do wykresu funkcji na którym zaznaczony jest punkt podpisany jako f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Wartość argumentu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego jest związana z wartością argumentu na suwaku. Po kliknięciu przycisku "play" punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego przesuwa się w prawą stronę i zatrzymuje się dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery a punkt f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu przesuwa się po wykresie funkcji. Na koniec pojawia się strzałka nad rozważanymi argumentami z napisem "rosną". Nad fragmentami wykresu funkcji pojawiają się trzy strzałki z napisem kolejno maleją, są stałe, maleją które opisują zachowanie wartości funkcji. Po odznaczeniu opcji: argumenty oraz wartości na animacji nie pojawią się strzałki z komentarzem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1E8BKBNM

Funkcja $f$ jest funkcją nierosnącą.

Rozwiązanie:

Analizując wykres funkcji $f$ możemy zauważyć, że funkcja jest malejąca w przedziale $\left(-\infty , -2\right)$ oraz w przedziale $\left(2, \infty \right)$, jest stała w przedziale $⟨-2, 2⟩$.

Stąd prawdziwa jest implikacja

${\forall }_{x_1,x_2\in D_f}\left[x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)⩾f\left(x_2\right)\right]$

Zatem funkcja $f$ jest funkcją nierosnącąfunkcja nierosnącafunkcją nierosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RA6n7XiVWjtye

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do sześciu. W  zadanym układzie współrzędnych zaznaczono ciągły wykres funkcji w postaci krzywej składającej się z trzech fragmentów. Wartości funkcji dla dalszych argumentów zaczynają się w minus nieskończoności a następnie wykres przechodzi przez punkty nawias, minus, dwa, przecinek, minus, dziewięć zamknięcie nawiasu, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu oraz nawias zero przecinek jeden zamknięcie nawiasu. Następnie podany punkt łączy się z punktem nawias trzy przecinek jeden zamknięcie nawiasu. Ostatni fragment wykresu przechodzi przez punkt nawias cztery przecinek pięć zamknięcie nawiasu a dalej wartości funkcji dążą do plus nieskończoności. Nad wykresem znajduje się jego nazwa y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu. Pod wykresem znajduje się pole, w którym umieszczone są możliwości poznawcze apletu. Po lewej stronie znajdują się dwie opcje do zaznaczenia: argumenty oraz wartości. Po kliknięciu znajdujących się obok nich kwadratów podane elementy funkcji będą uwzględnione w animacji. Po prawej stronie znajduje się suwak dotyczący argumentów wyświetlanych w aplecie z zakresu od minus dwóch do pięciu z krokiem o zero przecinek jeden . Pod spodem znajduje się przycisk "pauzy" oraz "play". W momencie początkowym animacji zaznaczony jest w układzie współrzędnych punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego oraz wychodząca z tego punktu przerywana linia prowadząca do wykresu funkcji na którym zaznaczony jest punkt podpisany jako f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Wartość argumentu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego jest związana z wartością argumentu na suwaku. Po kliknięciu przycisku "play" punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego przesuwa się w prawą stronę i zatrzymuje się dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć a punkt f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu przesuwa się po wykresie funkcji. Na koniec pojawia się strzałka nad rozważanymi argumentami z napisem "rosną". Nad fragmentami wykresu funkcji pojawiają się trzy strzałki z napisem kolejno rosną, są stałe, rosną które opisują zachowanie wartości funkcji. Po odznaczeniu opcji: argumenty oraz wartości na animacji nie pojawią się strzałki z komentarzem.

W aplecie przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do sześciu. W  zadanym układzie współrzędnych zaznaczono ciągły wykres funkcji w postaci krzywej składającej się z trzech fragmentów. Wartości funkcji dla dalszych argumentów zaczynają się w minus nieskończoności a następnie wykres przechodzi przez punkty nawias, minus, dwa, przecinek, minus, dziewięć zamknięcie nawiasu, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu oraz nawias zero przecinek jeden zamknięcie nawiasu. Następnie podany punkt łączy się z punktem nawias trzy przecinek jeden zamknięcie nawiasu. Ostatni fragment wykresu przechodzi przez punkt nawias cztery przecinek pięć zamknięcie nawiasu a dalej wartości funkcji dążą do plus nieskończoności. Nad wykresem znajduje się jego nazwa y, równa się, f nawias x zamknięcie nawiasu. Pod wykresem znajduje się pole, w którym umieszczone są możliwości poznawcze apletu. Po lewej stronie znajdują się dwie opcje do zaznaczenia: argumenty oraz wartości. Po kliknięciu znajdujących się obok nich kwadratów podane elementy funkcji będą uwzględnione w animacji. Po prawej stronie znajduje się suwak dotyczący argumentów wyświetlanych w aplecie z zakresu od minus dwóch do pięciu z krokiem o zero przecinek jeden . Pod spodem znajduje się przycisk "pauzy" oraz "play". W momencie początkowym animacji zaznaczony jest w układzie współrzędnych punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego oraz wychodząca z tego punktu przerywana linia prowadząca do wykresu funkcji na którym zaznaczony jest punkt podpisany jako f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Wartość argumentu x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego jest związana z wartością argumentu na suwaku. Po kliknięciu przycisku "play" punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego przesuwa się w prawą stronę i zatrzymuje się dla x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć a punkt f nawias x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu przesuwa się po wykresie funkcji. Na koniec pojawia się strzałka nad rozważanymi argumentami z napisem "rosną". Nad fragmentami wykresu funkcji pojawiają się trzy strzałki z napisem kolejno rosną, są stałe, rosną które opisują zachowanie wartości funkcji. Po odznaczeniu opcji: argumenty oraz wartości na animacji nie pojawią się strzałki z komentarzem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1E8BKBNM

Funkcja $f$ jest funkcją niemalejącąfunkcja niemalejącafunkcją niemalejącą.

Rozwiązanie:

Analizując wykres funkcji $f$ możemy zauważyć, że funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$ oraz w przedziale $\left(3, \infty \right)$, jest stała w przedziale $⟨0, 3⟩$.

Stąd prawdziwa jest implikacja

${\forall }_{x_1,x_2\in D_f}\left[x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)⩽f\left(x_2\right)\right]$

Zatem funkcja $f$ jest funkcją niemalejącą.