1. Odcinek w układzie współrzędnych - M_R_W21_M1 Prosta w układzie współrzędnych

R1YUZwQJ0r9U1

1. Odcinek w ukłdzie współrzędnych

Od wczesnych klas szkoły podstawowej na lekcjach matematyki rozwiązuje się tzw. zadania miarowe dotyczące geometrii. Częste polecenia związane z tym zagadnieniem to “oblicz obwód...”, “oblicz pole...”, “oblicz miarę kąta...” itp. Trudno wyobrazić sobie rozwiązywanie tego typu zadań bez umiejętności obliczania długości odcinka. W tej lekcji przypomnisz sobie, jak obliczyć długość odcinka umieszczonego w prostokątnym układzie współrzędnych.

Twoje cele

Przypomnisz sobie jak obliczać długość odcinka mając dane współrzędne jego końców.
Wyznaczysz współrzędne środka odcinka o danych końcach.
Wykorzystasz wzory na współrzędne środka odcinka do rozwiązywania zadań z parametrem.
Wykorzystasz poznane wzory do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Dane są punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ . Obliczymy długość odcinka $A B$ rozważając jego różne położenie w układzie współrzędnych. Przypomnijmy - długość odcinka oznaczamy $|A B|$ . Dwie pionowe kreski po obu stronach nazwy to ten sam symbol, który oznacza również wartość bezwzględną liczby, liczbę elementów zbioru i miarę kąta. Można powiedzieć, że symbol $|\cdot|$ oznacza szeroko pojętą miarę. Tym razem to miara długości odcinka.

Przypadek $I$

Odcinek $A B$ jest równoległy do osi $X$ oś odciętychosi $X$ .

Oznacza to, że rzędne punktów $A$ i $B$ są równe. Wówczas długość odcinka $A B$ to wartość bezwzględna różnicy odciętych tych punktów:

$|A B| = |x_{A} - x_{B}| = |x_{B} - x_{A}|$ .

RCNfzkMfjveeo

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez jednostek. Na płaszczyźnie zaznaczono poziomy odcinek AB, gdzie punkt A ma współrzędne xA,yA, natomiast punkt B ma współrzędne xB,yB. Z uwagi na fakt, iż odcinek jest poziomy, drugie współrzędne punktów są równe. Odcinek podpisano następująco: xB-xA, yA=yB.

Przypadek $II$

Odcinek $A B$ jest równoległy do osi $Y$ oś rzędnychosi $Y$ . Oznacza to, że odcięte punktów $A$ i $B$ są równe. Wówczas długość odcinka $A B$ to wartość bezwzględna różnicy rzędnych tych punktów:

$|A B| = |y_{A} - y_{B}| = |y_{B} - y_{A}|$ .

R1BUv3jXc5jRe

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez jednostek. Na płaszczyźnie zaznaczono pionowy odcinek AB, gdzie punkt A ma współrzędne xA,yA, natomiast punkt B ma współrzędne xB,yB. Z uwagi na fakt, iż odcinek jest pionowy, pierwsze współrzędne punktów są równe. Odcinek podpisano następująco: yB-yA, xA=xB.

Przypadek $III$

Odcinek $A B$ nie jest równoległy do żadnej z osi układu współrzędnych. Oznacza to, że ani rzędne, ani odcięte punktów $A$ i $B$ nie są równe. W tym przypadku w celu obliczenia długości odcinka $A B$ możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Tworzymy zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych. Z rysunku wynika następująca równość ${|A B|}^{2} = {|x_{B} - x_{A}|}^{2} + {|y_{B} - y_{A}|}^{2}$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej ${|a|}^{2} = a^{2}$ otrzymujemy

${|A B|}^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}$

i dalej

$|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

Rvkc74MgyzkvM

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez jednostek. Przedstawiono głównie pierwszą ćwiartkę układu. Na płaszczyźnie zaznaczono trójkąt prostokątny BCA. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne odpowiednio: B=xB,yB, wierzchołek C=xA,yB, czyli te dwa wierzchołki leżą na poziomej podstawie, gdyż ich druga współrzędna jest taka sama, oraz wierzchołek A=xA,yA, czyli wierzchołki C oraz A leżą na odcinku pionowym, gdyż mają identyczną pierwszą współrzędną. Boki trójkąta są podpisane odpowiednio: bok BC podpisano następująco: xA-xB. Bok CA podpisano następująco: yA-yB. Bok BA podpisano następująco: AB.

Przykład 1

Obliczymy długość odcinka $A B$ o końcach w podanych punktach.

$A = (2, 3)$ , $B = (- 4, 3)$
Ponieważ rzędne obu punktów są równe, możemy zauważyć, że odcinek $A B$ jest równoległy do osi $X$ . Aby wyznaczyć długość odcinka $A B$ wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy odciętych tych punktów. Zatem
$|A B| = |x_{A} - x_{B}| = |2 - (- 4)| = 6$
$A = (1, 2)$ , $B = (1, - 5)$
Ponieważ odcięte obu punktów są równe, możemy zauważyć, że odcinek $A B$ jest równoległy do osi $Y$ . Aby wyznaczyć długość odcinka $A B$ wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy rzędnych tych punktów. Zatem
$|A B| = |y_{A} - y_{B}| = |2 - (- 5)| = 7$
$A = (2, - 3)$ , $B = (- 1, 5)$
Ponieważ ani odcięte, ani rzędne punktów $A$ , $B$ nie są równe, więc odcinek $A B$ nie jest równoległy do żadnej z osi układu współrzędnych. Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka o końcach, których współrzędne są dane.
$|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(5 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{73}$

Przykład 2

Obliczymy pole trapezu o wierzchołkach $A (0, 2)$ , $B (2, 6)$ , $C (8, 8)$ , $D (4, 0)$ .

Na podstawie rysunku możemy podejrzewać, że odcinki $A B$ i $C D$ są równoległe. Zweryfikujmy to przypuszczenie wyznaczając równania prostych zawierających te odcinki.

RM5eAwoI3UMyk

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do ośmiu. Na płaszczyźnie zaznaczono trapez ABCD. Wierzchołki trapezu mają współrzędne odpowiednio: A=0,2, wierzchołek B=2,6, wierzchołek C=8,8, wierzchołek D=4,0.

Ponieważ prosta $A B$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ , więc jej równanie ma postać
$y = a x + 2$ .
Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy, podstawimy do równania $y = a x + 2$ współrzędne punktu $B (2, 6)$ , otrzymując równanie
$6 = 2 a + 2$ .
Zatem $a = 2$ , czyli prosta $A B$ ma równanie
$y = 2 x + 2$ .
Aby wyznaczyć równanie prostej $C D$ , podstawimy współrzędne punktów $C (8, 8)$ i $D (4, 0)$ do równania $y = c x + d$ , otrzymując układ równań

$\{\begin{cases} 8 = 8 c + d \\ 0 = 4 c + d \end{cases}$ .

Odejmując równania stronami, otrzymujemy
$8 = 4 c$ ,
$c = 2$ .

Mamy więc
$\{\begin{cases} c = 2 \\ d = - 8 \end{cases}$ .

Zatem prosta $C D$ ma równanie
$y = 2 x - 8$ .
Ponieważ równania prostych $A B$ i $C D$ mają równe współczynniki kierunkowe, więc odcinki $A B$ i $C D$ są równoległe.

W celu wyznaczenia pola trapezu obliczymy długości jego podstaw.
$|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} =$
$= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$
$|C D| = \sqrt{{(x_{C} - x_{D})}^{2} + {(y_{C} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(8 - 0)}^{2}} =$
$= \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(8 - 0)}^{2}} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$

Obliczymy teraz wysokość trapezu. Wyznaczymy równanie prostej $A D$ , podstawiając do równania
$y = k x + m$
współrzędne punktów $A (0, 2)$ i $D (4, 0)$ . Ponieważ $A$ leży na osi $Y$ , więc $m = 2$ . Po podstawieniu współrzędnych punktu $D$ , otrzymujemy
$0 = 4 k + 2$ ,
czyli $k = - \frac{1}{2}$ . Stąd równanie prostej $A D$ to
$y = - \frac{1}{2} x + 2$ .
Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych prostej $A D$ i prostej $A B$ jest równy $- 1$ , więc proste te są prostopadłe. Oznacza to, że odcinek $A D$ jest wysokością trapezu.
$|A D| = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(0 - 4)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} =$
$= \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

Zatem pole trapezu jest równe $P = (2 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}) \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{2} = 30$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru $m$ , dla których długość odcinka o końcach $A = (2 m, m)$ i $B = (- 3 m, - 11 m)$ jest równa $13$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zanotować równanie $\sqrt{{(- 3 m - 2 m)}^{2} + {(- 11 m - m)}^{2}} = 13$ .

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne ${(- 3 m - 2 m)}^{2} + {(- 11 m - m)}^{2} = 169$ , które przekształca się kolejno:
${(- 5 m)}^{2} + {(- 12 m)}^{2} = 169$ ,
$25 m^{2} + 144 m^{2} = 169$ ,
$169 m^{2} = 169$ ,
$m^{2} = 1$ .

Zatem warunki zadania spełniają dwie liczby: $1$ oraz $- 1$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją. Następnie na jej podstawie rozwiąż zadania.

RZlDY3mmCd1CX

Polecenie 2

R31mQpIGgXwLF

Środek odcinka

Podamy najpierw, w jaki sposób współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka zależą od współrzędnych końców tego odcinka, a następnie podamy uzasadnienie tej zależności:

Współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, czyli dla odcinka $A B$ o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ współrzędne jego środka $S$ są równe $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Przykład 4

Środek $S$ odcinka o końcach $A = (3; - 2)$ i $B = (- 7; 6)$ ma współrzędne $S = (\frac{3 + (- 7)}{2}; \frac{- 2 + 6}{2}) = (\frac{- 4}{2}; \frac{4}{2}) = (- 2; 2)$ .

RCpf2iktTnzWD

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu oraz pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie wykreślony jest odcinek AB oraz zaznaczony jest na nim punkt C. Współrzędne punktu A to trzy minus dwa, punktu B to minus siedem sześć, punktu C to minus dwa dwa.

Przykład 5

Dany jest punkt $A = (- 4; 5)$ i środek $S$ odcinka $A B$ o współrzędnych $S = (2; 3)$ . Wyznaczymy współrzędne punktu $B$ .

Oznaczmy współrzędne punktu $B$ przez $(x_{B}; y_{B})$ .

Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, otrzymujemy równania

$\frac{- 4 + x_{B}}{2} = 2$ i $\frac{5 + y_{B}}{2} = 3$ .

Stąd odpowiednio $- 4 + x_{B} = 4$ i $5 + y_{B} = 6$ .

Zatem punkt $B$ ma współrzędne $(8; 1)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy teraz wartości parametrów $m$ i $n$ , dla których środkiem odcinka o końcach $A = (m + 2; 5)$ i $B = (3; 3 n)$ jest punkt o współrzędnych $(5; 4)$ .

Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców, otrzymujemy równania

$\frac{m + 2 + 3}{2} = 5$ i $\frac{5 + 3 n}{2} = 4$ .

Zatem $m = 5$ i $n = 1$ , czyli $A = (7; 5)$ i $B = (3; 3)$ .

Wektorowe uzasadnienie wzorów na współrzędne środka odcinka.

Najłatwiejszy dowód wspomnianej powyżej zależności wykorzystuje pojęcie i własności wektorów.

Rozważmy punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Jeśli $S = (x_{S}; y_{S})$ jest środkiem odcinka $A B$ , to $\vec{A S} = \vec{S B}$ , zatem $[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = [x_{B} - x_{S}; y_{B} - y_{S}]$ .

Korzystając z kryterium równości wektorów otrzymujemy równania $x_{S} - x_{A} = x_{B} - x_{S}$ oraz $y_{S} - y_{A} = y_{B} - y_{S}$ .

Po prostych przekształceniach okazuje się, że $x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ i $y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Niewektorowe uzasadnienie wzorów na współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka.

Rozważmy punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Pokażemy, że punkt $S = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ leży na prostej wyznaczonej przez punkty $A$ i $B$ oraz, że odległość punktu $B$ od punktu $A$ jest równa odległości punktu $S$ od punktu $B$ .

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ to $(x - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (y - y_{A}) (x_{A} - x_{B})$ .

Aby sprawdzić, czy punkt $S$ leży na prostej $A B$ , podstawimy najpierw za $x$ w równaniu prostej pierwszą współrzędną punktu $S$ .

Lewa strona równania przyjmuje postać:

$(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (\frac{- x_{A} + x_{B}}{2}) (y_{A} - y_{B}) = - \frac{1}{2} (x_{A} - x_{B}) (y_{A} - y_{B})$ .

Teraz za $y$ podstawimy $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Prawa strona równania przyjmuje postać:

$(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) = (\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) = (\frac{- y_{A} + y_{B}}{2}) (x_{A} - x_{B}) =$

$= - \frac{1}{2} (y_{A} - y_{B}) (x_{A} - x_{B})$ .

Ponieważ obie strony równości są równe, punkt $S$ leży na prostej $A B$ .

Obliczmy długości odcinków $|A S|$ i $|B S|$ :

$|A S| = \sqrt{{(x_{S} - x_{A})}^{2} + {(y_{S} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{A})}^{2} + {(\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{A})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}}$ ,

$|B S| = \sqrt{{(x_{S} - x_{B})}^{2} + {(y_{S} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{B})}^{2} + {(\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{B})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{x_{A} - x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{y_{A} - y_{B}}{2})}^{2}} = \sqrt{{(- \frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(- \frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}}$ .

Widzimy, że długości odcinków $A S$ i $B S$ są równe i punkt $S$ leży na prostej $A B$ , zatem punkt $S$ jest środkiem odcinka $A B$ .

Przykład 7

Wyznaczymy równanie symetralnej odcinka o końcach $A = (- 4; 2)$ i $B = (3; - 1)$ .

Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinkasymetralna odcinkasymetralna odcinka $A B$ jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek.

Środek $S$ odcinka $A B$ ma współrzędne $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ to $\frac{- 1 - 2}{3 - (- 4)} = \frac{- 3}{7}$ , zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka $A B$ jest równy $\frac{7}{3}$ .

Szukane równanie symetralnej ma postać $y = \frac{7}{3} x + b$ .

Po podstawieniu do niego współrzędnych punktu $S$ otrzymujemy równanie: $\frac{1}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{- 1}{2} + b$ , zatem $b = \frac{5}{3}$ .

Równanie symetralnej odcinka $A B$ to $y = \frac{7}{3} x + \frac{5}{3}$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj, w jaki sposób można wyznaczyć środek odcinka w układzie współrzędnych.

R12RaTTsJu2cG

Polecenie 4

R1UBJx1v9Qd3k

Łączenie par. Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.. nawias, minus, trzy, średnik, cztery zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Współrzędne drugiego końca odcinka o środku w punkcie S, równa się, nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i jednym z końców w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Równanie symetralnej odcinka o końcach A, równa się, nawias trzy, średnik, pięć zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu,B, równa się, nawias pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu,C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu to punkt o współrzędnych. nawias, minus, jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Współrzędne drugiego końca odcinka o środku w punkcie S, równa się, nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i jednym z końców w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Równanie symetralnej odcinka o końcach A, równa się, nawias trzy, średnik, pięć zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu,B, równa się, nawias pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu,C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu to punkt o współrzędnych. nawias trzy, średnik, minus, cztery zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: Współrzędne drugiego końca odcinka o środku w punkcie S, równa się, nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i jednym z końców w punkcie nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Równanie symetralnej odcinka o końcach A, równa się, nawias trzy, średnik, pięć zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu to, Środek okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu,B, równa się, nawias pięć, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu,C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu to punkt o współrzędnych

R1R5saqscmpUq1

Ćwiczenie 1

R1RnN68gniQdm1

Ćwiczenie 2

R1a9lowq4ovL12

Ćwiczenie 3

R14WehRqt4aT62

Ćwiczenie 4

R1VnmZqGjuZ4o2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Wyznacz równanie krzywej, która jest zbiorem wszystkich punktów odległych o $2$ od punktu $S$ o współrzędnych $(3, 4)$ .

Wiemy, że zbiór wszystkich punktów równoodległych od ustalonego punktu to okrąg. Zatem naszym celem jest wyznaczenie równania opisującego okrąg o środku w punkcie $S = (3, 4)$ i promieniu $2$ .

Wybierzmy dowolny punkt $A$ należący do tego okręgu i oznaczmy jego współrzędne przez $(x, y)$ . Z treści zadania wiemy, że jego odległość od punktu $S$ jest równa $2$ , zatem $|A S| = 2$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy napisać równanie $\sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}} = 2$ .

Ponieważ obie strony powyższego równania są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne ${(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2} = 4$ , które zwykle podaje się w postaci ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$

Ćwiczenie 7

Oblicz obwód czworokąta ograniczonego prostymi o równaniach $y = \frac{1}{2} x + 1$ , $y = \frac{1}{2} x - 2$ , $y = - 2 x - 4$ oraz $y = - x + 1$ .

Wyznaczymy współrzędne punktów przecięcia prostych definiujących wierzchołki trapezu. Zauważmy, że proste o równaniach $y = \frac{1}{2} x + 1$ i $y = - x + 1$ przecinają oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ , zatem jest to również ich punkt przecięcia - nazwijmy go $A$ .

Ponadto proste o równaniach $y = \frac{1}{2} x + 1$ i $y = - 2 x - 4$ przecinają oś $X$ w punkcie $(- 2, 0)$ , zatem jest to ich punkt przecięcia - nazwijmy go $B$ .

Wierzchołkiem $C$ niech będzie punkt przecięcia prostych o równaniach $y = - 2 x - 4$ i $y = \frac{1}{2} x - 2$ . Po rozwiązaniu układu równań $\{\begin{cases} y = - 2 x - 4 \\ y = \frac{1}{2} x - 2 \end{cases}$ .

Otrzymujemy punkt o współrzędnych $(- 0, 8; - 2, 4)$ . Przez D oznaczymy punkt wspólny prostych o równaniach $y = - \frac{1}{2} x - 2$ i $y = - x + 1$ , którego współrzędne $(2, - 1)$ otrzymamy rozwiązując układ równań $\{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x - 2 \\ y = - x + 1 \end{cases}$ .

Zatem:

$|A B| = \sqrt{{(- 2 - 0)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ,

$|B C| = \sqrt{{(- 2 - (- 0, 8))}^{2} + {(0 - (- 2, 4))}^{2}} = \sqrt{{(- 1, 2)}^{2} + {(2, 4)}^{2}} =$

$= \sqrt{7, 2} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ,

$|C D| = \sqrt{{(- 0, 8 - 2)}^{2} + {(- 2, 4 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{{(- 2, 8)}^{2} + {(- 1, 4)}^{2}} =$

$= \sqrt{9, 8} = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$ ,

$|A D| = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ .

Obwód trapezu to $\sqrt{5} + \frac{6 \sqrt{5}}{5} + \frac{7 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{2} = \frac{18 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 8

Oblicz pole trójkąta przedstawionego na rysunku poniżej.

RMzouPUjkyiAd

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono trójkąt ABC. Wierzchołki trójkąta mają współrzędne odpowiednio: A=2,-2, wierzchołek B=-4,4, wierzchołek C=3,3.

Aby obliczyć pole trójkąta potrzebujemy długość podstawy i wysokość. Przyjmijmy jako podstawę odcinek $A B$ , gdzie $A = (2, - 2)$ i $A = (- 4, 4)$ . Jego długość (za jednostkę przyjmujemy odległość między sąsiednimi punktami kratowymi) wynosi

$|A B| = \sqrt{{(- 4 - 2)}^{2} + {(4 - (- 2))}^{2}}$

$|A B| = \sqrt{6^{2} + 6^{2}}$

$|A B| = 6 \sqrt{2}$

Następnie obliczymy długość wysokości $h$ opuszczonej z wierzchołka $C$ stosując twierdzenie Pitagorasa. Jeśli rozważymy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej, którą jest wysokość poprowadzona na podstawę $A B$

R1GUps4d5G6Sj

to jego obie przyprostokątne są odcinkami o długości $3$ . Zatem $h = 3 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie pole trójkąta wynosi $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 18$ .

Pole trójkąta przedstawionego na rysunku wynosi $18$ .

Ćwiczenie 9

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których odcinek o końcach $A = (m, - 2 m - 2)$ i $B = (- 3 m, m + 2)$ ma długość $13$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać równanie:

$\sqrt{{(- 3 m - m)}^{2} + {(m + 2 - (- 2 m - 2))}^{2}} = 13$ .

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy równanie równoważne

${(- 3 m - m)}^{2} + {(m + 2 - (- 2 m - 2))}^{2} = 169$ ,

które przekształcamy następująco:

${(- 4 m)}^{2} + {(3 m + 4)}^{2} = 169$ ,

$16 m^{2} + 9 m^{2} + 24 m + 16 = 169$ ,

$25 m^{2} + 24 m - 153 = 0$ ,

$∆ = 24^{2} - 4 \cdot 25 \cdot (- 153) = 15876 = 126^{2}$ ,

$m_{1} = \frac{- 24 - 126}{50} = \frac{- 150}{50} = - 3$ , $m_{2} = \frac{- 24 + 126}{50} = \frac{102}{50} = \frac{51}{25}$

Warunki zadania spełniają dwie liczby: $(- 3)$ oraz $\frac{51}{25}$ .

Ćwiczenie 10

Wiadomo, że punkty $A$ i $B$ mają współrzędne całkowite. Jaka jest odległość między punktami przedstawionymi na poniższym rysunku?

RX5B9bv20VfeY

R1DYQ3ZIgGwgx

RiNgnNIdSK9JX

R1dAoh47fNzCn1

Ćwiczenie 11

RUU9siALpHtCa2

Ćwiczenie 12

R1518ITunsOAT2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Na rysunku zaznaczone są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Połącz w pary nazwy łamanych i ich długości.

RInIuwuQMg0li

Układ współrzednych oznaczone punkty: a równa się minus dwa i minus trzy, be równa się zero i jeden, ce równa się cztery i jeden, de równa się dwa i minus jeden.

Na układzie współrzędnych zaznaczono punkty: $A = (- 2; - 3)$ , $B = (0; 1)$ , $C = (4; 1)$ oraz $D = (2; - 1)$ . Połącz w pary nazwy łamanych i ich długości.

R1G6kZR6oRxDa

R1IK5FuVIzVoX21

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Uporządkuj poniższe wypowiedzi tak, aby otrzymać rozwiązanie następującego zadania.

Na prostej o równaniu $y = \frac{3}{2} x + 1$ wyznacz punkt, który leży najbliżej punktu $A = (2; 1)$ .

R10bDzoa6EkiR

Ćwiczenie 17

Wyznacz współrzędne punktu $X$ , który leży na prostej o równaniu $y = \frac{2}{1} x - 1$ i jego odległość od punktu $A = (2; 1)$ jest najmniejsza z możliwych.

Niech szukany punkt ma współrzędne $X = (x_{0}; y_{0})$ .

Ponieważ punkt leży na prostej o równaniu $y = \frac{2}{1} x - 1$ , więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej, zatem $X = (x_{0}; \frac{1}{2} x_{0} - 1)$ .

Ze wzoru na odległość dwóch punktów zastosowanego do punktów $A$ i $X$ otrzymujemy:

$d (A; X) = \sqrt{{(x_{0} - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} x_{0} - 1 - 2)}^{2}} =$

$= \sqrt{{(x_{0} - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} x_{0} - 3)}^{2}} = \sqrt{\frac{5}{4} x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 10}$ .

Zauważmy teraz, że odległość między $A$ i $X$ będzie najmniejsza, gdy wartość funkcji $f (x) = \frac{5}{4} {x_{0}}^{2} - 5 x_{0} + 10$ będzie najmniejsza.

Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli opisanej powyższym równaniem: $x_{w} = \frac{5}{2 \cdot \frac{5}{4}} = 2$ .

Wynika stąd, że pierwsza współrzędna szukanego punktu to $x_{0} = 2$ , zaś druga to $y_{0} = \frac{1}{2} \cdot 2 - 1 = 0$ .

Zatem współrzędne szukanego punktu $X$ są równe $(2; 0)$ .

RKlx2ZSN771lK1

Ćwiczenie 18

R11TzDUwNH2My1

Ćwiczenie 19

RmQOewGD8hbHs2

Ćwiczenie 20

R3mO20HbHJ7Ct2

Ćwiczenie 21

RqAt7EuQAZTUH2

Ćwiczenie 22

RKqREInlVTZDx2

Ćwiczenie 23

R1PPhxTZbCKVw3

Ćwiczenie 24

R14K8sD4I5xYg3

Ćwiczenie 25

Słownik

oś odciętych

jedna z osi liczbowych tworzących układ współrzędnych, zwykle pozioma, oznaczana przez $X$ ; podając współrzędne punktów jako pierwszą podajemy współrzędną odczytaną z osi odciętych

oś rzędnych

jedna z osi liczbowych tworzących układ współrzędnych, zwykle pionowa, oznaczana przez $Y$ ; podając współrzędne punktów jako drugą podajemy współrzędną odczytaną z osi rzędnych

współrzędne środka odcinka

współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka; współrzędne środka odcinka o końcach $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ są równe $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

symetralna odcinka

prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek

2. Równanie kierunkowe prostej

M_R_W21_M1 Prosta w układzie współrzędnych

1. Odcinek w ukłdzie współrzędnych

Długość odcinka w układzie współrzędnych

Środek odcinka

Słownik