1. Określenie ciągu. Ciąg liczbowy - Własności ciągów

R12XR1C6NGJDS

1. Określenie ciągu. Ciągi liczbowe

Pierwsze rozważania prowadzące do pojęcia ciągu, można spotkać już w egipskich papirusach.
Egipcjanie i Grecy badali tylko wybrane ciągi, pod kątem ich konkretnych zastosowań w teorii liczb, czy obliczeniach geometrycznych.

W $XIII$ wieku pojęcie ciągu liczbowego stworzył włoski matematyk Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim. Przez kilka następnych stuleci zainteresowanie ciągami było niewielkie. Dopiero w $XVII$ i $XVIII$ wieku dynamicznie zaczęła rozwijać się teoria związana z ciągami i szeregami liczbowymi.
Obecnie teoria ciągów jest częścią analizy matematycznej.

W tym materiale poznamy pojęcie i przykłady ciągów, w tym ciągów liczbowych.

Twoje cele

Podasz przykład ciągu.
Określisz ciąg liczbowy za pomocą wzoru.
Na podstawie wzoru podasz określony wyraz ciągu.
Odkryjesz zależności między kolejnymi wyrazami ciągu i opiszesz je w sposób algebraiczny.
Wyznaczysz dany wyraz ciągu, korzystając ze wzoru ogólnego lub sumy kolejnych początkowych wyrazów ciągu.

Przykład 1

Figury na rysunku tworzone są według pewnej reguły. Odkryj te regułę i narysuj według odkrytej reguły jeszcze kilka kolejnych figur.

	Figury
numer figury	$1$	$2$	$3$
figura	R16GOJ2PVFAHA	R1OL5RXHD8S9J	R5AH9EL8BEPQ6
liczba kwadratów, z których zbudowana jest figura	$7$	$10$	$13$

Kolejne figury $1$ , $2$ , $3$ , $. . .$ składają się odpowiednio z $7$ , $10$ , $13$ , $. . .$ kwadratów. Numerom figur wyrażonym przez kolejne liczby naturalne dodatnie przyporządkowane są liczby kwadratów, z których są zbudowane.

Możemy więc powiedzieć, że nadając figurom numery, ustawimy je w ciąg. Każdemu numerowi odpowiada jedna figura. Zatem utworzyliśmy w ten sposób pewną funkcję $f$ określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich taką, że:

$f (1) = 7$ , $f (2) = 10$ , $f (3) = 13$ , $. . .$

Przykład 2

Każdemu z pięciu laureatów konkursu matematycznego przypisujemy jego imię.

	Laureaci konkuru matematycznego
kolejność zdobytego miejsca	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
imię	Aleksandra	Szymon	Wojciech	Natalia	Grażyna

W ten sposób opisaliśmy funkcję określoną na podzbiorze zbioru liczb naturalnych: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Taki rodzaj funkcji to przkład ciągu, a wartości funkcji to wyrazy ciągu.

Wyrazy ciągu to w tym przypadku: Aleksandra, Szymon, Wojciech, Natalia, Grażyna.

Definicja ciągu

Definicja: Definicja ciągu

Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.
Jeżeli ciąg jest nieskończony, to jego dziedziną jest zbiór dodatnich liczb całkowitych. Dziedziną ciągu skończonego jest zbiór $\{1, 2, . . ., n\}$ , gdzie $n$ jest ustaloną dodatnią liczbą całkowitą.
Ciąg dwuwyrazowy jest parą uporządkowaną, z którą spotkamy się, np. podając współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Zwróćmy uwagę, że pary uporządkowane $(1, 3)$ i $(3, 1)$ są różne.
Ciąg opisany w przykładzie powyżej jest skończony, ponieważ jest pięciu laureatów, czyli skończona liczba osób. Dziedziną tego ciągu jest zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Jeżeli elementy jakiegoś zbioru ponumerujemy, a więc ustalimy kolejność tych elementów, to w ten sposób otrzymamy ciąg.

W praktyce będziemy zajmować się najczęściej ciągami liczbowymi, czyli takimi, których wyrazy są liczbami.

Ciąg oznaczamy zazwyczaj $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(c_{n})$ itd. Natomiast $a_{n}$ oznacza $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n})$ , na przykład drugi wyraz ciągu $(a_{n})$ to $a_{2}$ .

Jeżeli ciąg z podanego wyżej przykładu oznaczymy $(a_{n})$ , to $a_{1} =$ Aleksandra,
$a_{2} =$ Szymon, $a_{3} =$ Wojciech, $a_{4} =$ Natalia, $a_{5} =$ Grażyna.

Przykład 3

$(- 8, 4, 0, 9, - 11)$ – ciąg pięciowyrazowy skończony, którego kolejnymi wyrazami są liczby: $- 8, 4, 0, 9, - 11$ ,

$0, 2, 4, 6, 8, . . .$ – nieskończony ciąg, którego wyrazami są kolejne liczby naturalne parzyste,

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, . . .$ – nieskończony ciąg, którego wyrazami są odwrotności kolejnych liczb naturalnych dodatnich.

Wypisywanie wyrazów ciągu i zauważenie regularności, według której są tworzone, nie zawsze jest wygodne i łatwe.

Najczęściej ciągi liczbowe opisywane są więc za pomocą wzoru, zwanego wzorem ogólnym ciągu. Znając wzór ogólny ciągu, można obliczyć jego dowolny wyraz.

Przykład 4

Liczby, będące sumą elementów, z których zbudowane są sześcioramienne gwiazdy, wykonane na kształt chińskich warcabów, tworzą ciąg $(g_{n})$ , zwany ciągiem liczb gwiazd.

R1KME374CENDS

Ilustracja przedstawia trzy rysunki obok siebie. Rysunek pierwszy to pomarańczowe małe koło podpisane cyfrą jeden. Druga ilustracja to sześcioramienna gwiazda składająca się z trzynastu kół – koło środkowe jest pomarańczowe, pozostałe są fioletowe. Rysunek podpisano liczbą trzynaście. Trzeci rysunek to sześcioramienna gwiazda składająca się z trzydziestu siedmiu kół – wewnętrzne koła są pomarańczowe – jest ich trzynaście. Zewnętrzne koła tworzą kontur gwiazdy i są zamalowane kolorem fioletowym. Rysunek podpisano liczbą trzydzieści siedem.

Ciąg $(g_{n})$ określony jest wzorem:

g_{n} = 6 n (n - 1) + 1

Kilka początkowych wyrazów ciągu:

1

13

37

73

121

181

253

337

433

, ...

W wielu wypadkach wzór ogólny ciągu można ustalić, na podstawie kilku wyrazów początkowych tego ciągu.

Przykład 5

Kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$	Wzór ogólny ciągu
$1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ ,...	$a_{n} = 2 n - 1$
$- 1$ , $3$ , $- 1$ , $3$ , $- 1$ , $3$ , ...	$a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot 2 + 1$
$6$ , $12$ , $20$ , $30$ , $42$ ,...	$a_{n} = (n + 1) (n + 2)$

Przykład 6

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ . Obliczymy wyrazy $a_{1}$ , $a_{10}$ , $a_{n + 1}$ .

Rozwiązanie:

Do wzoru ciągu w miejsce $n$ podstawiamy kolejno: $1$ , $10$ , $n + 1$ .

$a_{1} = 1 \cdot 2^{1 - 1} = 1$

$a_{10} = 10 \cdot 2^{10 - 1} = 10 \cdot 2^{9} = 10 \cdot 512 = 5120$

$a_{n + 1} = (n + 1) \cdot 2^{n + 1 - 1} = n \cdot 2^{n} + 2^{n}$

Przykład 7

Dany jest ciąg nieskończony $(a_{n})$ o wzorze ogólnym $a_{n} = \frac{n + 1}{2 n - 7}$ . Wypiszmy wszystkie wyrazy ujemne tego ciągu.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że każdy wyraz ciągu to ułamek $\frac{n + 1}{2 n - 7}$ , którego licznik, czyli $n + 1$ , jest dodatni, gdyż $n \geq 1$ . Zatem ułamek jest ujemny, gdy jego mianownik jest ujemny, czyli gdy $2 n - 7 < 0$ , a więc $n < 3,5$ . Wynika stąd, że ujemnymi wyrazami są tylko trzy początkowe wyrazy:

$a_{1} = \frac{1 + 1}{2 - 7} = - \frac{2}{5}$

$a_{2} = \frac{2 + 1}{4 - 7} = - 1$

$a_{3} = \frac{3 + 1}{6 - 7} = - 4$

Przykład 8

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = (n + 3) (2 n - 5)$ .

Uzasadnimy, że żaden wyraz ciągu $(a_{n})$ nie jest równy zero. Rozwiązanie:

Przypuśćmy, że któryś z wyrazów jest równy zero, a więc $a_{n} = 0$ . Zatem $(n + 3) (2 n - 5) = 0$ , czyli $n + 3 = 0$ lub $2 n - 5 = 0$ . Stąd $n = - 3$ lub $n = 2,5$ . Żadna z tych równości nie jest prawdziwa, gdyż $n$ to numer wyrazu ciągu i jest dodatnią liczbą całkowitą. To oznacza, że żaden wyraz tego ciągu nie jest równy $0$ .

Obliczymy, który wyraz tego ciągu jest równy $6$ ?
Rozwiązanie:

Podobnie jak poprzednio, rozwiązujemy równanie $a_{n} = 6$ , czyli $(n + 3) (2 n - 5) = 6$ . Po przekształceniu tego równania otrzymujemy równanie kwadratowe $2 n^{2} + n - 21 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $n = - 3,5$ lub $n = 3$ . Tylko drugie z tych rozwiązań jest dodatnią liczbą całkowitą, więc $n = 3$ . Oznacza to, że tylko trzeci wyraz tego ciągu jest równy $6$ .

Na podstawie definicji ciągu wiemy, że ciąg jest pewną funkcją. Zatem sposoby opisywania ciągów są analogiczne, jak sposoby opisywania funkcji. Oznacza to, że ciągi możemy opisywać nie tylko za pomocą wzoru, ale też za pomocą np. tabeli, zbioru uporządkowanych par, słownie i graficznie (w postaci wykresu).

Galerie zdjęć interaktywnych

Z jednakowych sześcianów można tworzyć figury budowane według określonych reguł. Niektóre z takich figur zaprezentowane są w galerii zdjęć interaktywnych. Zastanów się, według jakich reguł budowane są te figury, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

RB8EV926A5ZZH

R1V5RMQBJBK5M

R18HFKS6RP345

R1BHAFJ3UFJSH

R1KQ3TM58SDXQ

R17LQ25J58T1K

R1BPUHTC22BF5

R13DF2VTDO5EA

Polecenie 1

Na rysunku przedstawione są kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$ . Określ, z ilu kwadratów będą zbudowane dwa następne wyrazy tego ciągu.

R18566CBT4DEV

Wyrazy ciągu przedstawiono za pomocą kwadratów. Wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego składa się z pięciu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie w drugiej kolumnie ustawiono trzy kwadraty jeden nad drugim. Wyraz a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego składa się z ośmiu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie mamy dwie kolumny, z których każda składa się z trzech ustawionych na sobie kwadratów jeden na drugim. Wyraz a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego składa się z jedenastu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie mamy trzy kolumny, z których każda składa się z trzech ustawionych na sobie kwadratów jeden na drugim. Wyraz a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego składa się z czternastu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie mamy dwie kolumny, z których każda składa się z czterech ustawionych na sobie kwadratów jeden na drugim.

$a_{1} = 2 + 3$

$a_{2} = 2 + 3 \cdot 2$

$a_{3} = 2 + 3 \cdot 3$

$a_{4} = 2 + 3 \cdot 4$

$a_{5} = 2 + 3 \cdot 5 = 17$

$a_{6} = 2 + 3 \cdot 6 = 20$

Zapoznaj się z galerią pokazującą sposoby opisywania ciągów. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać proponowane tam zadania, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

Slajd 1 z 6

Re4cULi9lAt4D

RfWRWgMxuisMM

R14KadmCXytOF

R17mHsQAmbV29

R16SY8zlXCrO1

RKJnngO3vr5Ha

$- 7$

Polecenie 2

Ciąg $(a_{n})$ opisany jest za pomocą tabelki. Opisz ten ciąg wzorem i wypisując jego wyrazy.

Kolejne wyrazy ciągu
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$- 3$	$- 9$	$- 27$	$- 81$	$- 243$

$a_{n} = - 3^{n}, n \in {1, 2, 3, 4, 5}$

$a_{n} = (- 3, - 9, - 27, - 81, - 243)$

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją pokazującą sposoby badania niektórych własności ciągów liczbowych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać proponowane tam zadania, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

R14TU55ML9XX1

Polecenie 3

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = - (n + 4) (n - 10)$ dla $n \geq 1$ . Określ:

a) ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich,

b) które wyrazy są ujemne,

c) który wyraz ciągu jest równy $0$ .

a) $a_{n} > 0$ , gdy $- (n + 4) (n - 10) > 0 \Rightarrow n \in (- 4, 10)$ .

Wiemy jednak, że $n \in ℕ_{+}$ , zatem $n \in \{1, 2, 3, . . ., 9\}$ .

Odpowiedź: $9$ wyrazów ciągu jest dodatnich.

b) $a_{n} < 0$ , gdy $- (n + 4) (n - 10) < 0 \Rightarrow n \in (- \infty, - 4) \cup (10, \infty)$ .

Wiemy jednak, że $n \in ℕ_{+}$ , zatem $n \in \{11, 12, 13, . . .\}$ .

Odpowiedź: Jest nieskończenie wiele ujemnych wyrazów tego ciągu. Są to wszystkie wyrazy $a_{k}$ takie, że $k > 10$ .

c) $a_{n} = 0$ , gdy $- (n + 4) (n - 10) = 0 \Rightarrow n = 10$ .

Odpowiedź: $a_{10} = 0$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

R1T97QS5C6P4K1

Ćwiczenie 1

Rp83y1tFwyBvC1

Ćwiczenie 2

RRNqGIG7ltUeN2

Ćwiczenie 3

RGH88PL8LH1M31

Ćwiczenie 4

R1R6M5DZJVBVP2

Ćwiczenie 5

RLB4ZH4M68PC72

Ćwiczenie 6

R1R3LUQHLFQ2G2

Ćwiczenie 7

R1VXHRS75OKGV1

Ćwiczenie 8

R33F2D9SP99HA2

Ćwiczenie 9

RyxTnUHo3um6a2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono trzy początkowe wyrazy ciągu figur $(a_{n})$ tworzonych według pewnej reguły. Odkryj te regułę i określ $10$ początkowych wyrazów ciągu $(b_{n})$ , którego wyrazami są liczby kwadratów, z których składają się kolejne figury.

RGO2J9N96DCPD

Ilustracja przedstawia trzy początkowe wyrazy ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Wyrazy ciągu przedstawiono za pomocą kwadratów. Wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego składa się z czterech kwadratów ustawionych w kształt plusa, czyli jeden środkowy i cztery układające się w cztery ramiona plusa. Wyraz a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego składa się z ośmiu kwadratów ustawionych w czterech kolumnach mających po trzy wiersze. Kolumna pierwsza składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu, dwie kolejne kolumny są pełne - składają z trzech kwadratów każda, czwarta kolumna składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu. Wyraz a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego składa się z jedenastu kwadratów ustawionych w pięciu kolumnach mających po trzy wiersze. Kolumna pierwsza składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu, trzy kolejne kolumny są pełne - składają z trzech kwadratów każda, czwarta kolumna składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu.

Zauważ, że każda kolejna figura powstaje poprzez dodatnie $3$ kwaratów do poprzedniej. Stąd kolejne wyrazy ciągu $(b_{n})$ muszą być większe o $3$ .

$b_{1} = 5 = 3 \cdot 1 + 2$

$b_{2} = 8 = 3 \cdot 2 + 2$

$b_{3} = 11 = 3 \cdot 3 + 2$

$b_{4} = 14 = 3 \cdot 4 + 2$

$b_{5} = 17 = 3 \cdot 5 + 2$

$b_{6} = 20 = 3 \cdot 6 + 2$

$b_{7} = 23 = 3 \cdot 7 + 2$

$b_{8} = 26 = 3 \cdot 8 + 2$

$b_{9} = 29 = 3 \cdot 9 + 2$

$b_{10} = 32 = 3 \cdot 10 + 2$

Wzór ogólny ciągu można zapisać na kilka sposobów np: $b_{n} = 3 \cdot n + 2 lub b_{n} = 5 + 3 (n - 1)$

RPZKUQVJAFRV92

Ćwiczenie 12

RB3XKUJP6VA282

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Ciąg liczb $50$ , $49$ , $46$ , $41$ , $34$ , $. . .$ został utworzony według pewnej reguły. Odkryj tę regułę.

a) Zapisz szósty wyraz tego ciągu.

b) Określ, ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu.

c) Podaj największy ujemny wyraz ciągu.

d) Ile wyrazów tego ciągu to kwadraty liczb naturalnych?

a) Dany wyraz ciągu powstaje poprzez odjęcie od poprzedniego wyrazu kolejnej liczby nieparzystej. Szósty wyraz tego ciągu to $25$ .

b) Jest osiem dodatnich wyrazów ciągu.

c) Największy ujemny wyraz ciągu to $(- 14)$ .

d) Są trzy wyrazy, będące kwadratami liczb naturalnych: $49$ , $25$ , $1$ .

Ćwiczenie 15

Wykaż, że każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = 2 {(n - 1)}^{2} - (n + 1) (n - 4)$ jest dodatni.

Przekształcamy wzór ciągu.

$a_{n} = 2 {(n - 1)}^{2} - (n + 1) (n - 4)$

$a_{n} = 2 (n^{2} - 2 n + 1) - (n^{2} - 4 n + n - 4)$

$a_{n} = n^{2} - n + 6$

Wykres ciągu leży na paraboli $y = x^{2} - x + 6$ .

Ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Określimy współrzędne wierzchołka paraboli.

$x_{0} = \frac{1}{2}$ , $y_{0} = 5 \frac{3}{4} > 0$

Druga współrzędna wierzchołka paraboli jest dodatnia, zatem parabola leży nad osią $X$ .

Czyli wykres ciągu utworzony w układzie współrzędnych, również znajduje się nad osią $X$ , czyli wszystkie jego wyrazy są dodatnie, co należało wykazać.

Słownik

ciąg nieskończony

ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich

ciąg skończony

ciągiem skończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór $n$ liczb naturalnych $\{1, 2, 3, . . ., n\}$

ciąg liczbowy

ciąg, w którym wyrazy są liczbami

suma ciągu

sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ nazywamy wyrażenie

S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n},

gdzie $n \in ℕ_{+}$

2. Suma n początkowych wyrazów ciągu

Własności ciągów

1. Określenie ciągu. Ciągi liczbowe

Galerie zdjęć interaktywnych

Animacja multimedialna

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik