1. Określenie ciągu. Ciąg liczbowy. - M_R_W16_M1 Własności ciągów

RtiUX57QKXx6m

1. Określenie ciągu. Ciągi liczbowe

Pierwsze rozważania prowadzące do pojęcia ciągu, można spotkać już w egipskich papirusach.
Egipcjanie i Grecy badali tylko wybrane ciągi, pod kątem ich konkretnych zastosowań w teorii liczb, czy obliczeniach geometrycznych.

W $XIII$ wieku pojęcie ciągu liczbowego stworzył włoski matematyk Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim. Przez kilka następnych stuleci zainteresowanie ciągami było niewielkie. Dopiero w $XVII$ i $XVIII$ wieku dynamicznie zaczęła rozwijać się teoria związana z ciągami i szeregami liczbowymi.
Obecnie teoria ciągów jest częścią analizy matematycznej.

W tym materiale poznamy pojęcie i przykłady ciągów, w tym ciągów liczbowych.

Twoje cele

Podasz przykład ciągu.
Określisz ciąg liczbowy za pomocą wzoru.
Na podstawie wzoru podasz określony wyraz ciągu.
Odkryjesz zależności między kolejnymi wyrazami ciągu i opiszesz je w sposób algebraiczny.
Wyznaczysz dany wyraz ciągu, korzystając ze wzoru ogólnego lub sumy kolejnych początkowych wyrazów ciągu.

Przykład 1

Figury na rysunku tworzone są według pewnej reguły. Odkryj te regułę i narysuj według odkrytej reguły jeszcze kilka kolejnych figur.

	Figury
numer figury	$1$	$2$	$3$
figura	RwMHmAKIldJSR	R1Z87DISbXRd1	R1aso5YlVSVPW
liczba kwadratów, z których zbudowana jest figura	$7$	$10$	$13$

Kolejne figury $1$ , $2$ , $3$ , $. . .$ składają się odpowiednio z $7$ , $10$ , $13$ , $. . .$ kwadratów. Numerom figur wyrażonym przez kolejne liczby naturalne dodatnie przyporządkowane są liczby kwadratów, z których są zbudowane.

Możemy więc powiedzieć, że nadając figurom numery, ustawimy je w ciąg. Każdemu numerowi odpowiada jedna figura. Zatem utworzyliśmy w ten sposób pewną funkcję $f$ określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich taką, że:

$f (1) = 7$ , $f (2) = 10$ , $f (3) = 13$ , $. . .$

Przykład 2

Każdemu z pięciu laureatów konkursu matematycznego przypisujemy jego imię.

	Laureaci konkuru matematycznego
kolejność zdobytego miejsca	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
imię	Aleksandra	Szymon	Wojciech	Natalia	Grażyna

W ten sposób opisaliśmy funkcję określoną na podzbiorze zbioru liczb naturalnych: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Taki rodzaj funkcji to przkład ciągu, a wartości funkcji to wyrazy ciągu.

Wyrazy ciągu to w tym przypadku: Aleksandra, Szymon, Wojciech, Natalia, Grażyna.

Przykład 3

W tabelce przedstawiono prognozowane szanse opadów w miejscowości Kalino w dniach 1 – 6 października.

	Prognozowane opady
dzień października	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
szansa opadów w $%$	$63$	$17$	$21$	$30$	$9$	$42$

Tabelka opisuje funkcję $p$ określoną na podzbiorze zbioru liczb naturalnych: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Wiemy już, że jest to pewien ciąg.

Przyjmijmy za wyrazy ciągu, liczby określające poszczególne procenty ( dla np. 63% przyjmijmy 63). Zatem wyrazy ciągu to w tym przypadku:

$p (1) = 63$

$p (2) = 17$

$p (3) = 21$

$p (4) = 30$

$p (5) = 9$

$p (6) = 42$

Dla ciągów przyjęto trochę inne oznaczenia niż dla funkcji.

Zatem

$p (1)$ oznaczamy $p_{1}$ i zapisujemy $p_{1} = 63$

$p (2)$ oznaczamy $p_{2}$ i zapisujemy $p_{2} = 17$

$p (3)$ oznaczamy $p_{3}$ i zapisujemy $p_{3} = 21$

$p (4)$ oznaczamy $p_{4}$ i zapisujemy $p_{4} = 30$

$p (5)$ oznaczamy $p_{5}$ i zapisujemy $p_{5} = 9$

$p (6)$ oznaczamy $p_{6}$ i zapisujemy $p_{6} = 42$

Utworzony ciąg oznaczamy: $(p_{n})$ .

Zapisujemy:

$(p_{n}) = (63, 17, 21, 30, 9, 42)$ .

Ciąg nieskończony

Definicja: Ciąg nieskończony

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.

Ciąg skończony

Definicja: Ciąg skończony

Ciągiem skończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór $n$ liczb naturalnych $\{1, 2, 3, . . ., n\}$ .

Ciąg jest to zatem pewna funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych lub na określonym podzbiorze zbioru liczb naturalnych.

Ciąg $a : ℕ_{+} \to ℝ$ oznaczamy $(a_{n})$ .

Kolejne wyrazy ciągu oznaczamy: $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , $. . .$

Liczba na dole litery w wyrazie ciągu to wskaźnik (indeks), określa numer wyrazu ciągu.

Zatem $a_{k}$ oznacza $k$ –ty wyraz ciągu $(a_{n})$ .

Ciąg $(a_{n})$ możemy zapisywać też w postaci: $(a_{1}, a_{2,}, a_{3}, a_{4}, . . .)$ .

Przykład 4

Przyporządkowujemy każdej liczbie naturalnej dodatniej jej odwrotność.

Liczbie $1$ przyporządkowujemy $1$ .

Liczbie $2$ przyporządkowujemy $\frac{1}{2}$ .

Liczbie $3$ przyporządkowujemy $\frac{1}{3}$ .

Liczbie $4$ przyporządkowujemy $\frac{1}{4}$ .

$. . .$

Zbudowany w ten sposób ciąg ma postać:

$(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, . . ., \frac{1}{n}, . . .)$

Pierwszy wyraz tego ciągu to $1$ , a $n$ –ty wyraz to $\frac{1}{n}$ .

Jest to przykład ciągu nieskończonegociąg nieskończonyciągu nieskończonego. Taki ciąg ma pierwszy wyraz, ale nie ma wyrazu ostatniego.

Przykład 5

Tworzymy ciąg $(a_{n})$ , którego wyrazami są liczby przeciwne do kolejnych liczb naturalnych dodatnich parzystych mniejszych od $12$ .

$(a_{n}) = (- 2, - 4, - 6, - 8, - 10)$

Jest to przykład ciągu skończonego, pięciowyrazowego.

W ciągu istotne są nie tylko jego wyrazy, ale też ich kolejność. Ciąg skończonyciąg skończonyCiąg skończony ma pierwszy wyraz (w tym przypadku jest to $(- 2)$ ) i ostatni wyraz (w tym przypadku jest to $(- 10)$ ).

Polecenie 1

Z jednakowych sześcianów można tworzyć figury budowane według określonych reguł. Niektóre z takich figur zaprezentowane są w galerii zdjęć interaktywnych. Zastanów się, według jakich reguł budowane są te figury, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

R1QX76FJ57BQp

R1TJ9jrUBMvBx

Rop3y3PZV2M7R

R13RtQCWgHSPh

R18jhiLvpM7Jd

R5yYU6jBsyMIK

RT6aIE4p4ACLx

RhcrGHqsHw0R4

Polecenie 2

Na rysunku przedstawione są kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$ . Określ, z ilu kwadratów będą zbudowane dwa następne wyrazy tego ciągu.

R1WklQUVbVeLD

Wyrazy ciągu przedstawiono za pomocą kwadratów. Wyraz a1 składa się z pięciu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie w drugiej kolumnie ustawiono trzy kwadraty jeden nad drugim. Wyraz a2 składa się z ośmiu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie mamy dwie kolumny, z których każda składa się z trzech ustawionych na sobie kwadratów jeden na drugim. Wyraz a3 składa się z jedenastu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie mamy trzy kolumny, z których każda składa się z trzech ustawionych na sobie kwadratów jeden na drugim. Wyraz a4 składa się z czternastu kwadratów. Od lewej mamy dwa kwadraty ustawione jeden na drugim, a po prawej stronie mamy dwie kolumny, z których każda składa się z czterech ustawionych na sobie kwadratów jeden na drugim.

$a_{1} = 2 + 3$

$a_{2} = 2 + 3 \cdot 2$

$a_{3} = 2 + 3 \cdot 3$

$a_{4} = 2 + 3 \cdot 4$

$a_{5} = 2 + 3 \cdot 5 = 17$

$a_{6} = 2 + 3 \cdot 6 = 20$

Ciąg liczbowy

Definicja: Ciąg liczbowy

Ciąg, w którym wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym.

Jednym ze sposobów określania ciągu liczbowego jest podanie wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu. Wzór ten nazywamy wyrazem ogólnym ciągu.

W wielu wypadkach wzór ogólny ciągu można ustalić, na podstawie kilku wyrazów początkowych tego ciągu.

Przykład 6

Kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$	Wzór ogólny ciągu
$1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ ,...	$a_{n} = 2 n - 1$
$- 1$ , $3$ , $- 1$ , $3$ , $- 1$ , $3$ , ...	$a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot 2 + 1$
$6$ , $12$ , $20$ , $30$ , $42$ ,...	$a_{n} = (n + 1) (n + 2)$

Przykład 7

R14HJI9h71PVZ

Rysunek przedstawia kolejne wyrazy ciągu zilustrowane kostkami składającymi się z małych sześcianów. Każda kostka składa się z odpowiedniej liczby sześcianów równej wielkości danego wyrazu ciągu. Wyrazy ciągu: 20=1 kostka składa się z jednego sześcianu, 21=2 kostka składa się z dwóch sześcianów, 22=4 kostka składa się z czterech sześcianów, 23=8 kostka składa się z ośmiu sześcianów, 24=16 kostka składa się z szesnastu sześcianów, 25=32 kostka składa się z trzydziestu dwóch sześcianów, 26=64 kostka składa się z sześćdziesięciu czterech sześcianów, 27=128 kostka składa się z stu dwudziestu ośmiu sześcianów, 28=256 kostka składa się z dwustu pięćdziesięciu sześciu sześcianów, 29=512 kostka składa się z pięciuset dwunastu sześcianów, 210=1024 kostka składa się z tysiąca dwudziestu czterech sześcianów.

Liczba dwa jest podstawą binarnego systemu liczenia. Ciąg kolejnych naturalnych potęg liczby dwa $(d_{n})$ ma więc duże znaczenie w informatyce. Zapisane w systemie dwójkowym potęgi liczby $2$ składają się tylko z zer i jedynki:

1

10

100

1000

10000

, ...

W systemie dziesiętnym kolejne wyrazy ciągu $(d_{n})$ to:

1

2

4

8

16

32

64

, ...

Wyraz ogólny ciągu $(d_{n})$ dany jest zatem wzorem:

d_{n} = 2^{n}

gdzie $n \in ℕ$ .

Przykład 8

Liczby Mersenne’a to liczby postaci $M_{n} = 2^{n} - 1$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Liczby Mersenne’a zostały tak nazwane na cześć siedemnastowiecznego francuskiego matematyka Marina Mersenne’a, który uważał, że za pomocą tego wzoru można znaleźć dowolną liczbę pierwszą.

Niestety, pomylił się.

Liczby Mersenne’a są liczbami pierwszymi, gdy $n$ jest liczbą pierwszą (ale nie dowolną!). Nie wiadomo, czy ciąg $(M_{n})$ , utworzony z takich liczb jest nieskończony.

Początkowe kolejne liczby pierwsze ciągu $(M_{n})$ .

$n$	$M_{n}$
$2$	$3$
$3$	$7$
$5$	$31$
$7$	$127$
$13$	$8191$
$17$	$131071$

Przykład 9

Liczby Fermata to liczby naturalne postaci:

F_{n} = 2^{2^{n}} + 1

dla

n \geq 0 .

Liczby te zostały tak nazwane na cześć francuskiego siedemnastowiecznego matematyka Pierra Fermata.

Kilka początkowych liczb tworzących ciąg Fermata:

3

5

17

257

65537

, ...

Początkowe liczby Fermata to liczby pierwsze. Fermat uważał, że wszystkie liczby postaci $2^{2^{n}} + 1$ są pierwsze. Jednak okazało się, że już $F_{5}$ jest liczbą złożoną.

Przykład 10

Liczby, będące sumą elementów, z których zbudowane są sześcioramienne gwiazdy, wykonane na kształt chińskich warcabów, tworzą ciąg $(g_{n})$ , zwany ciągiem liczb gwiazd.

R1DRFhMdIZgZR

Ilustracja przedstawia trzy rysunki obok siebie. Rysunek pierwszy to pomarańczowe małe koło podpisane cyfrą jeden. Druga ilustracja to sześcioramienna gwiazda składająca się z trzynastu kół – koło środkowe jest pomarańczowe, pozostałe są fioletowe. Rysunek podpisano liczbą trzynaście. Trzeci rysunek to sześcioramienna gwiazda składająca się z trzydziestu siedmiu kół – wewnętrzne koła są pomarańczowe – jest ich trzynaście. Zewnętrzne koła tworzą kontur gwiazdy i są zamalowane kolorem fioletowym. Rysunek podpisano liczbą trzydzieści siedem.

Ciąg $(g_{n})$ określony jest wzorem:

g_{n} = 6 n (n - 1) + 1

Kilka początkowych wyrazów ciągu:

1

13

37

73

121

181

253

337

433

, ...

Przykład 11

Liczby prostokątne, to liczby, którymi zajmowali się uczeni już w czasach Arystotelesa. Są to liczby będące iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych. Są one kolejnymi wyrazami ciągu $(p_{n})$ :

2

6

12

20

30

42

56

, ...

R6mY6rBbhYy6D

Ilustracja składa się z czterech rysunków, na których znajdują się koła układające się w prostokąty. Rysunek pierwszy to dwa ułożone obok siebie koła, podpisane jako 1 razy dwa. Rysunek drugi to sześć kół ułożonych w dwóch rzędach po trzy. Podpis: 2 razy trzy. Rysunek trzeci to 12 kół ułożonych w trzech rzędach po cztery. Podpis: 3 razy cztery. Rysunek czwarty to 20 kół ułożonych w czterech rzędach po pięć. Podpis: 4 razy pięć.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją pokazującą sposoby badania niektórych własności ciągów liczbowych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać proponowane tam zadania, a następnie porównaj z rozwiązaniami.

R5EF9w5kkObDK

Polecenie 4

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = - (n + 4) (n - 10)$ dla $n \geq 1$ . Określ:

a) ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich,

b) które wyrazy są ujemne,

c) który wyraz ciągu jest równy $0$ .

a) $a_{n} > 0$ , gdy $- (n + 4) (n - 10) > 0 \Rightarrow n \in (- 4, 10)$ .

Wiemy jednak, że $n \in ℕ_{+}$ , zatem $n \in \{1, 2, 3, . . ., 9\}$ .

Odpowiedź: $9$ wyrazów ciągu jest dodatnich.

b) $a_{n} < 0$ , gdy $- (n + 4) (n - 10) < 0 \Rightarrow n \in (- \infty, - 4) \cup (10, \infty)$ .

Wiemy jednak, że $n \in ℕ_{+}$ , zatem $n \in \{11, 12, 13, . . .\}$ .

Odpowiedź: Jest nieskończenie wiele ujemnych wyrazów tego ciągu. Są to wszystkie wyrazy $a_{k}$ takie, że $k > 10$ .

c) $a_{n} = 0$ , gdy $- (n + 4) (n - 10) = 0 \Rightarrow n = 10$ .

Odpowiedź: $a_{10} = 0$

Przykład 12

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem ogólnym $a_{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ . Obliczymy wyrazy $a_{1}$ , $a_{10}$ , $a_{n + 1}$ .

Do wzoru ciągu w miejsce $n$ podstawiamy kolejno: $1$ , $10$ , $n + 1$ .

$a_{1} = 1 \cdot 2^{1 - 1} = 1$

$a_{10} = 10 \cdot 2^{10 - 1} = 10 \cdot 2^{9} = 10 \cdot 512 = 5120$

$a_{n + 1} = (n + 1) \cdot 2^{n + 1 - 1} = n \cdot 2^{n} + 2^{n}$

Przykład 13

Wyznaczmy te wyrazy ciągu $(b_{n})$ określonego wzorem ogólnym $b_{n} = n^{2} (n - 11) + 36 (n - 1)$ , które są równe $0$ .

Przekształcamy wzór ogólny ciągu, wykonując wskazane działania.

$b_{n} = n^{2} (n - 11) + 36 (n - 1)$

$b_{n} = n^{3} - 11 n^{2} + 36 n - 36$

Chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie po prawej stronie znaku równości. Zapisujemy więc prawą stronę równości tak, aby można było pogrupować odpowiednio wyrazy i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

$b_{n} = n^{3} - 9 n^{2} - 2 n^{2} + 18 n + 18 n - 36$

$b_{n} = (n^{3} - 2 n^{2}) - (9 n^{2} - 18 n) + (18 n - 36)$

$b_{n} = n^{2} (n - 2) - 9 n (n - 2) + 18 (n - 2)$

$b_{n} = (n - 2) (n^{2} - 9 n + 18)$

Pozostaje jeszcze rozłożyć na czynniki wyrażenie w nawiasie.

$b_{n} = (n - 2) (n^{2} - 6 n - 3 n + 18)$

$b_{n} = (n - 2) [n (n - 6) - 3 (n - 6)]$

$b_{n} = (n - 2) (n - 3) (n - 6)$

Szukamy wyrazów ciągu, które są równe $0$ .

$0 = (n - 2) (n - 3) (n - 6)$

$n - 2 = 0 \Rightarrow n = 2$

$n - 3 = 0 \Rightarrow n = 3$

$n - 6 = 0 \Rightarrow n = 6$

Wszystkie otrzymane liczby są naturalne, zatem równe $0$ są wyrazy $b_{2}$ , $b_{3}$ , $b_{6}$ .

Przykład 14

Określimy, ile wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{5 n - 10}{n}$ to liczby całkowite.

Przekształcamy wzór ciągu tak, aby wyrażenie po prawej stronie zapisać w postaci sumy liczby całkowitej i ułamka algebraicznego.

$a_{n} = \frac{5 n - 10}{n} = \frac{5 n}{n} - \frac{10}{n}$

$a_{n} = 5 - \frac{10}{n}$

Aby wyrażenie $5 - \frac{10}{n}$ przyjmowało wartości całkowite, liczba $n$ musi być dzielnikiem liczby $10$ .

Zatem $n \in \{1, 2, 5, 10\}$ . Cztery wyrazy ciągu to liczby całkowite.

Przykład 15

Znajdziemy najmniejszy wyraz ciągu $(b_{n})$ określonego wzorem ogólnym $b_{n} = n^{2} - 17 n - 29$ .

Wykres ciągu $(b_{n})$ składa się z punktów leżących na paraboli, będącej wykresem funkcji $f (x) = x^{2} - 17 x - 29$ . Ramiona paraboli skierowane są ku górze, więc najmniejsza wartość funkcji $f$ znajduje się w wierzchołku paraboli.

Znajdujemy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_{w} = \frac{17}{2} = 8, 5$

Interesujące nas argumenty muszą być liczbami całkowitymi. Zatem $x = 8$ lub $x = 9$ .

Czyli $n = 8$ lub $n = 9$ . Obliczamy i porównujemy wartości wyrazów $b_{8}$ i $b_{9}$ .

$b_{8} = 8^{2} - 17 \cdot 8 - 29 = 64 - 136 - 29 = - 101$

$b_{9} = 9^{2} - 17 \cdot 9 - 29 = 81 - 153 - 29 = - 101$

$b_{8} = b_{9}$

Dwa najmniejsze wyrazy ciągu to $b_{8}$ i $b_{9}$ .

Suma ciągu

Definicja: Suma ciągu

Sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ nazywamy wyrażenie

S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n},

gdzie $n \in ℕ_{+}$ .

Przykład 16

Obliczymy wyrazy $a_{1}$ i $a_{6}$ ciągu $(a_{n})$ , w którym sumasuma ciągusuma $n$ początkowych wyrazów określona jest wzorem

$S_{n} = (n + 1) (n - 2)$

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a_{1} = S_{1} = 2 \cdot (- 1) = - 2$

Zauważmy, że

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$

Obliczamy szósty wyraz ciągu.

$a_{6} = S_{6} - S_{5}$

$a_{6} = 7 \cdot 4 - 6 \cdot 3 = 28 - 18 = 10$

Polecenie 5

Przeanalizuj przykłady zamieszczone w prezentacji multimedialnej. Staraj się najpierw samodzielnie znaleźć rozwiązania, a następnie porównaj z zamieszczonymi.

R1GM34rT26Zx9

Przykład pierwszy. Znajdziemy wzór ogólny ciągu $(a_{n})$ takiego, że $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{4}{(n + 3) (n + 2)}$ oraz $a_{n + 1} + a_{n} = \frac{2 (n^{2} + n - 4)}{(n + 3) (n + 2)}$ . Dodajemy stronami zapisane równości. $a_{n + 1} - a_{n} + a_{n + 1} + a_{n} = \frac{4}{(n + 3) (n + 2)} + \frac{2 (n^{2} + n - 4)}{(n + 3) (n + 2)}$ . Po dodaniu otrzymujemy następującą równość: $2 a_{n + 1} = \frac{2 (n^{2} + n - 4) + 4}{(n + 3) (n + 2)}$ . Następnie wyznaczamy $a_{n + 1}$ , dzieląc obie strony na dwa. Otrzymujemy: $a_{n + 1} = \frac{n^{2} + n - 2}{(n + 3) (n + 2)}$ . Rozkładamy na czynniki licznik zapisanego ułamka. $a_{n + 1} = \frac{(n + 2) (n - 1)}{(n + 3) (n + 2)}$ Skracamy ułamek. $a_{n + 1} = \frac{n - 1}{n + 3}$ Wyznaczamy wyraz ogólny ciągu. W miejsce n podstawiamy n minus jeden. $a_{n - 1 + 1} = \frac{n - 1 - 1}{n - 1 + 3}$ Upraszczamy postać ułamka, otrzymując $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2}$ .

Przykład drugi. Ustalimy, ile wyrazów ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2}$ to liczby całkowite. Rozwiązanie. Przekształcamy wzór ciągu w następujący sposób $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} = 1 - \frac{4}{n + 2}$ . Tylko dla liczby naturalnej n równej dwa wartość wyrażenia 4 przez n plus dwa jest liczbą całkowitą. $a_{2} = 1 - \frac{4}{2 + 2} = 0$ Tylko jeden wyraz ciągu wyraża się liczbą całkowitą. Jest to wyraz $a_{2} = 0$ .

Przykład trzeci. Sprawdzimy, czy liczba $\frac{12}{13}$ jest wyrazem ciągu $(a_{n})$ określonego wyrazem ogólnym $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2}$ . W miejsce $a_{n}$ podstawiamy $\frac{12}{13}$ . Mamy więc: $\frac{12}{13} = \frac{n - 2}{n + 2}$ . Wyznaczamy n. Najpierw wymnażamy na krzyż. $13 (n - 2) = 12 (n + 2)$ Wymnażamy nawiasy. $13 n - 26 = 12 n + 24$ Redukujemy wyrazy podobne, otrzymując rozwiązanie. $n = 50$ Wyznaczona liczba 50 jest liczbą naturalną dodatnią, zatem liczba $\frac{12}{13}$ jest pięćdziesiątym wyrazem ciągu: $a_{50} = \frac{12}{13}$ .

Polecenie 6

Sprawdź, którym wyrazem ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{n^{2} - 2}{n^{2} + 2}$ jest $\frac{49}{51}$ .

$\frac{49}{51} = \frac{n^{2} - 2}{n^{2} + 2}$

$51 n^{2} - 102 = 49 n^{2} + 98$

$2 n^{2} = 200$

$n = - 10$ – nie spełnia warunków zadania

$n = 10$

Odpowiedź:

Liczba $\frac{49}{51}$ jest dziesiątym wyrazem ciągu $(a_{n})$ .

R1FGoSaAnhiFL1

Ćwiczenie 1

R1I3zX2NVySHA1

Ćwiczenie 2

RIWKHAgdhiEDL2

Ćwiczenie 3

R1Q7qIxAJcI4d2

Ćwiczenie 4

R34Fl3zdcxdJ82

Ćwiczenie 5

Rcwh1cSRVLx3J2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono trzy początkowe wyrazy ciągu figur $(a_{n})$ tworzonych według pewnej reguły. Odkryj te regułę i określ $10$ początkowych wyrazów ciągu $(b_{n})$ , którego wyrazami są liczby kwadratów, z których składają się kolejne figury.

R5GqMX5USXUzo

Ilustracja przedstawia trzy początkowe wyrazy ciągu an. Wyrazy ciągu przedstawiono za pomocą kwadratów. Wyraz a1 składa się z czterech kwadratów ustawionych w kształt plusa, czyli jeden środkowy i cztery układające się w cztery ramiona plusa. Wyraz a2 składa się z ośmiu kwadratów ustawionych w czterech kolumnach mających po trzy wiersze. Kolumna pierwsza składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu, dwie kolejne kolumny są pełne - składają z trzech kwadratów każda, czwarta kolumna składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu. Wyraz a3 składa się z jedenastu kwadratów ustawionych w pięciu kolumnach mających po trzy wiersze. Kolumna pierwsza składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu, trzy kolejne kolumny są pełne - składają z trzech kwadratów każda, czwarta kolumna składa się z jednego kwadratu w środkowym wierszu.

$b_{1} = 5 = 3 \cdot 1 + 2$

$b_{2} = 8 = 3 \cdot 2 + 2$

$b_{3} = 11 = 3 \cdot 3 + 2$

$b_{4} = 14 = 3 \cdot 4 + 2$

$b_{5} = 17 = 3 \cdot 5 + 2$

$b_{6} = 20 = 3 \cdot 6 + 2$

$b_{7} = 23 = 3 \cdot 7 + 2$

$b_{8} = 26 = 3 \cdot 8 + 2$

$b_{9} = 29 = 3 \cdot 9 + 2$

$b_{10} = 32 = 3 \cdot 10 + 2$

Ćwiczenie 8

Ciąg liczb $50$ , $49$ , $46$ , $41$ , $34$ , $. . .$ został utworzony według pewnej reguły. Odkryj tę regułę.

a) Zapisz szósty wyraz tego ciągu.

b) Określ, ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu.

c) Podaj największy ujemny wyraz ciągu.

d) Ile wyrazów tego ciągu to kwadraty liczb naturalnych?

a) Dany wyraz ciągu powstaje poprzez odjęcie od poprzedniego wyrazu kolejnej liczby nieparzystej. Szósty wyraz tego ciągu to $25$ .

b) Jest osiem dodatnich wyrazów ciągu.

c) Największy ujemny wyraz ciągu to $(- 14)$ .

d) Są trzy wyrazy, będące kwadratami liczb naturalnych: $49$ , $25$ , $1$ .

Pokaż ćwiczenia:

R15QnZA2epqTR1

Ćwiczenie 9

R1DwQiL66MtNQ1

Ćwiczenie 10

R1q3ulaDWmtwF1

Ćwiczenie 11

RyjGP8DhMfLZW2

Ćwiczenie 12

R1EJZOP2TwNCn2

Ćwiczenie 13

R140dV1DRS8Hl2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że suma iloczynu liczby $100$ i liczby prostokątnej oraz liczby $25$ jest kwadratem liczby naturalnej.

$100 n (n + 1) + 25 = 100 n^{2} + 100 n + 25 = {(10 n + 5)}^{2}$

Ćwiczenie 16

Wykaż, że ciąg Catalana $(C_{n})$ można określić wzorem ogólnym

C_{n} = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 n \\ n + 1 \end{matrix})

Mamy udowodnić, że:

$(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 n \\ n + 1 \end{matrix}) = \frac{1}{n + 1} \cdot (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})$

Przekształcamy otrzymane wyrażenie.

Korzystamy ze wzoru:

$(\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot \frac{n - k}{k + 1}$

$L = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 n \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) \cdot \frac{2 n - n}{n + 1} = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) [1 - \frac{n}{n + 1}]$

$L = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) \cdot \frac{1}{n + 1} = P$

c.n.d.

R6dKS7iyfPau91

Ćwiczenie 17

ROJTH0iMbMuqB1

Ćwiczenie 18

R1CSH4WcjYP8A2

Ćwiczenie 19

R1Qg1behy2JVk2

Ćwiczenie 20

R15KdicX6pcJn2

Ćwiczenie 21

RZlSxCnr87gLl2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Wykaż, że każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym $a_{n} = 2 {(n - 1)}^{2} - (n + 1) (n - 4)$ jest dodatni.

Przekształcamy wzór ciągu.

$a_{n} = 2 {(n - 1)}^{2} - (n + 1) (n - 4)$

$a_{n} = 2 (n^{2} - 2 n + 1) - (n^{2} - 4 n + n - 4)$

$a_{n} = n^{2} - n + 6$

Wykres ciągu leży na paraboli $y = x^{2} - x + 6$ .

Ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Określimy współrzędne wierzchołka paraboli.

$x_{0} = \frac{1}{2}$ , $y_{0} = 5 \frac{3}{4} > 0$

Druga współrzędna wierzchołka paraboli jest dodatnia, zatem parabola leży nad osią $X$ .

Czyli wykres ciągu utworzony w układzie współrzędnych, również znajduje się nad osią $X$ , czyli wszystkie jego wyrazy są dodatnie, co należało wykazać.

Ćwiczenie 24

Wyznacz wzór ogólny ciągu $(a_{n})$ wiedząc, że $a_{n + 1} + a_{n + 2} = 8 n + 6$ i $a_{n + 1} - a_{n + 2} = - 4$ .

Dodajemy oba równania stronami.

$+ \begin{matrix} a_{n + 1} + a_{n + 2} = 8 n + 6 \\ a_{n + 1} - a_{n + 2} = - 4 \\ 2 a_{n + 1} = 8 n + 2 / : 2 \end{matrix}$

$a_{n + 1} = 4 n + 1$

Obliczamy wyraz ogólny ciągu.

$a_{n} = 4 (n - 1) + 1 = 4 n - 3$

Słownik

ciąg nieskończony

ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich

ciąg skończony

ciągiem skończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór $n$ liczb naturalnych $\{1, 2, 3, . . ., n\}$

ciąg liczbowy

ciąg, w którym wyrazy są liczbami

suma ciągu

sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ nazywamy wyrażenie

S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n},

gdzie $n \in ℕ_{+}$

2. Monotoniczność ciągu

M_R_W16_M1 Własności ciągów

1. Określenie ciągu. Ciągi liczbowe

Słownik