R1DLDNV78EB82

1. Pierwiastek arytmetyczny stopnia drugiego i trzeciego

W czwartym wieku p.n.e Platon rozważał problem związany z podwojeniem sześcianu, czyli zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany, który sprowadzał się do konstrukcji odcinka o długości $\sqrt[3]{2}$ . Sposobami obliczania przybliżonych wartości pierwiastków stopnia trzeciego, zajmował się między innymi w III wieku grecki matematyk Heron z Aleksandrii.

Pomimo wielu analogii między pierwiastkiem drugiego stopnia i pierwiastkiem trzeciego stopnia, na które zwrócimy tutaj uwagę, jest między nimi pewna zasadnicza różnica. Podczas gdy pod pierwiastkiem kwadratowym może się znaleźć tylko i wyłącznie liczba nieujemna, pierwiastek sześcienny nie ma już takich ograniczeń. Powiemy, że dziedziną pierwiastka trzeciego stopnia jest zbiór liczb rzeczywistych.

Twoje cele

Zastosujesz definicję pierwiastka drugiego stopnia.
Zastosujesz definicję pierwiastka trzeciego stopnia.
Zastosujesz własności pierwiastkowania.
Usuniesz niewymierność z mianownika ułamka.

Pierwiastek stopnia drugiego

Na początkowym etapie edukacji matematycznej czasami pierwiastek (kwadratowy)pierwiastek kwadratowypierwiastek (kwadratowy) z liczby $a$ definiuje się jako długość boku kwadratu o polu $a$ .

RV5CSPJPHAD7A

Ilustracja przedstawia kartkę w kratkę, gdzie jedna kratka jest przyjęta jako jednostka. Na tej samej wysokości narysowano w rzędzie pięć kwadratów o różnych długościach boków. Każdy kwadrat ma podpisane dwa boki ich długościami, a w środku ma wpisaną wielkość pola. Kwadraty od lewej to kolejno: pierwszy narysowano kwadrat o boku trzy i polu P, równa się, dziewięć, drugi kwadrat ma bok o długości cztery i pole P, równa się, szesnaście, trzeci kwadrat ma bok o długości pięć i pole P, równa się, dwadzieścia pięć, czwarty kwadrat ma bok o długości pierwiastek kwadratowy z trzydzieści koniec pierwiastka i pole P, równa się, trzydzieści, piąty kwadrat ma bok o długości pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka i pole P, równa się, a.

Ta prosta i obrazowa definicja akcentuje fakt, że i liczba podpierwiastkowa i wynik pierwiastkowania są liczbami dodatnimi (wszak, pole i długość boku kwadratu są liczbami dodatnimi). Dodatkowo przyjmujemy, że pierwiastek z zera jest równy zeru.

Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia)

Definicja: Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia)

Formalna definicja pierwiastka kwadratowego (drugiego stopnia) jest następująca

\sqrt{a} = b

wtedy i tylko wtedy, gdy

a = b^{2}

, dla

a \geq 0

b \geq 0

Zatem pierwiastkiem (kwadratowym, drugiego stopnia) z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , która podniesiona do kwadratu daje liczbę $a$ .

Przykład 1

$\sqrt{- 9}$ nie jest liczbą rzeczywistą, bo $- 9$ nie jest liczbą nieujemną.

$\sqrt{4} = 2$ , bo $2 \geq 0$ i $2^{2} = 4$ .

$\sqrt{\frac{64}{81}} = \frac{8}{9}$ , bo $\frac{8}{9} \geq 0$ i ${(\frac{8}{9})}^{2} = \frac{64}{81}$ .

$\sqrt{1 \frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}$ , bo $\frac{6}{5} \geq 0$ i ${(\frac{6}{5})}^{2} = \frac{36}{25}$ .

$\sqrt{1, 21} = 1, 1$ , bo $1, 1 \geq 0$ i ${(1, 1)}^{2} = 1, 21$ .

Przykład 2

Wyrażenie $\sqrt{x}$ ma sens dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \geq 0$ .

Wyrażenie $\sqrt{x - 1}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 1 \geq 0$ , czyli dla $x \geq 1$ .

Wyrażenie $\sqrt{x + 1}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 1 \geq 0$ , czyli dla $x \geq - 1$ .

Wyrażenie $\sqrt{1 - x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $1 - x \geq 0$ , czyli dla $x \leq 1$ .

Wyrażenie $\sqrt{- x - 1}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $- x - 1 \geq 0$ , czyli dla $x \leq - 1$ .

Zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną $x$ ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia $\sqrt{x}$ jest zbiór wszystkich liczb nieujemnych.

Przykład 3

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ma sens dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x > 0$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 1 > 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru), czyli dla $x > 1$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 1 > 0$ , czyli dla $x > - 1$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $1 - x > 0$ , czyli dla $x < 1$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt{- x - 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $- x - 1 > 0$ , czyli dla $x < - 1$ .

Przykład 4

$\sqrt{3^{2}} = 3$

$\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$\sqrt{5^{2}} = 5$

$\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Przykład 5

Zwróć uwagę, że liczby $π - 2$ i $2 - π$ są liczbami przeciwnymi $π - 2 = - (- π + 2) = - (2 - π)$ .

Zatem $\sqrt{{(π - 2)}^{2}} = π - 2$ , bo $π - 2 > 0$ .

Zauważmy, że liczba $2 - π$ jest ujemna, więc, aby obliczyć $\sqrt{{(2 - π)}^{2}}$ , wykonamy przekształcenia

$\sqrt{{(2 - π)}^{2}} = \sqrt{{[- (- 2 + π)]}^{2}} = \sqrt{{[- (π - 2)]}^{2}} = \sqrt{{(π - 2)}^{2}} = π - 2$ .

Ważne!

Uważaj na wyrażenia postaci $\sqrt{x^{2}}$ . Często popełnianym błędem jest uznawanie, że pierwiastek i kwadrat wzajemnie się znoszą (redukują) i rozważane wyrażenie jest równe $x$ . Powyższe przykłady pokazują, że to nieprawda. W rzeczywistości rozważane wyrażenie jest równe wartości bezwzględnej z $x$ , czyli $\sqrt{x^{2}} = |x|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Natomiast ${(\sqrt{x})}^{2} = x$ , ale ta równość zachodzi tylko i wyłącznia dla $x \geq 0$ .

Własności pierwiastkowania

Własność: Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ zachodzą równości

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

, o ile

b \neq 0

Przykład 6

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6$

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$

Przykład 7

Aby dodać pierwiastki $\sqrt{75} + \sqrt{48}$ , możemy postąpić następująco

$\sqrt{75} + \sqrt{48} = \sqrt{25 \cdot 3} + \sqrt{16 \cdot 3} = 5 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3}$ .

Ważne!

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}}$ .

Rozważmy $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ .

Poprawne obliczenie wygląda następująco $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . Ponadto $\sqrt{3^{2}} + \sqrt{4^{2}} = 3 + 4 = 7$ , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości wyrażenia $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ , czyli liczbie $5$ .

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Wiemy już, że iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą wymierną lub niewymierną. Chcąc więc usunąć niewymierność z mianownika ułamka, należy rozszerzyć ułamek przez takie wyrażenie, aby w wyniku otrzymać liczbę wymierną.

Przykład 8

Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

b) $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{9}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

W przypadku, gdy w mianowniku ułamka jest suma arytmetyczna postępowanie jest inne. Należy pomnożyć licznik i mianownik ułamka tak, aby w mianowniku otrzymać iloczyn sumy przez różnicę tych samych wyrażeń i zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówwzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Przykład 9

Stosując wzór skróconego mnożenia, usuniemy niewymierność z mianowników podanych ułamków.

Rozszerzamy ułamek przez $2 + \sqrt{5}$ , aby zastosować wzór skróconego mnożenia.

\frac{1}{2 - \sqrt{5}} = \frac{1}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 + \sqrt{5}}{- 1} = - 2 - \sqrt{5}

W mianowniku ułamka znajduje się suma, zatem rozszerzmy ułamek przez $9 - 3 \sqrt{7}$ , czyli przez różnicę.

\frac{\sqrt{7}}{9 + 3 \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{9 + 3 \sqrt{7}} \cdot \frac{9 - 3 \sqrt{7}}{9 - 3 \sqrt{7}} = \frac{9 \sqrt{7} - 21}{81 - 63} = \frac{9 \sqrt{7} - 21}{18}

Pierwiastek stopnia trzeciego

Pomimo wielu analogii między pierwiastkiem drugiego stopnia i pierwiastkiem trzeciego stopnia, na które zwrócimy uwagę w tej lekcji, jest między nimi pewna zasadnicza różnica. Podczas gdy pod pierwiastkiem kwadratowym może się znaleźć tylko i wyłącznie liczba nieujemna, pierwiastek sześcienny nie ma już takich ograniczeń. Powiemy, że dziedziną pierwiastka trzeciego stopnia jest zbiór liczb rzeczywistych.

Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny)Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny) z dodatniej liczby $a$ można zinterpretować jako krawędź sześcianu o objętości $a$ .

R1UB43ZEDZVMU

Ilustracja przedstawia trzy sześciany na tle w kratkę. Sześciany ustawione są w jednym rzędzie, każdy z nich jest podpisany. Pierwszy od lewej jest sześcian o krawędzi o długości 1. Poniżej bryły umieszczono następujący opis jej objętości: V, równa się, jeden, razy, jeden, razy, jeden, równa się, jeden. Kolejny od lewej jest sześcian o krawędzi o długości 2. Poniżej bryły umieszczono następujący opis jej objętości: pierwiastek sześcienny z osiem koniec pierwiastka, równa się, dwa, bo V, równa się, dwa, razy, dwa, razy, dwa, równa się, osiem. Ostatni jest sześcian o krawędzi o długości 3. Poniżej bryły umieszczono następujący opis jej objętości: pierwiastek sześcienny z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, równa się, trzy, bo V, równa się, trzy, razy, trzy, razy, trzy, równa się, dwadzieścia siedem.

Ta prosta i obrazowa interpretacja ma jeden defekt: uwzględnia jedynie pierwiastek sześcienny z liczby dodatniej - rzeczywiście: i krawędź, i objętość mają dodatnie miary. W praktyce okazuje się, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby zdefiniować pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej: $\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{3}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ .

Zatem pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z dowolnej liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do sześcianu daje liczbę $a$ .

Przykład 10

$\sqrt[3]{64} = 4$ , bo $4^{3} = 64$

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , bo ${(- 2)}^{3} = - 8$

$\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$ , bo ${(\frac{3}{5})}^{3} = \frac{27}{125}$

$\sqrt[3]{- 3 \frac{3}{8}} = \sqrt[3]{- \frac{27}{8}} = - \frac{3}{2} = - 1 \frac{1}{2}$ , bo ${(- \frac{3}{2})}^{3} = - \frac{27}{8}$

$\sqrt[3]{- 0, 125} = - 0, 5$ , bo ${(- 0, 5)}^{3} = - 0, 125$

$\sqrt[3]{0} = 0$ , bo $0^{3} = 0$

Przykład 11

Wyrażenie $\sqrt[3]{x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \in ℝ$ .

Zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną $x$ ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznego dziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia $\sqrt[3]{x}$ jest zbiór wszystkich liczba rzeczywistych.

Przykład 12

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera.

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 1 \neq 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru, zaś pierwiastek sześcienny jest zerem tylko wówczas, gdy zerem jest liczba podpierwiastkowa), czyli dla $x \neq 1$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x + 2}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 2 \neq 0$ , czyli dla $x \neq - 2$ . Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x^{2} - 4 \neq 0$ , czyli dla $x^{2} \neq 4$ . Oznacza to, że $x$ nie może być równe ani $2$ , ani $(- 2)$ , co możemy zapisać jako $x \in ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ .

Przykład 13

$\sqrt[3]{3^{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{{(- 3)}^{3}} = \sqrt[3]{- 27} = - 3$

$\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

$\sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} = \sqrt[3]{- 125} = - 5$

Zwróć uwagę, że niezależnie od tego, jaką liczbą jest $x$ , prawdziwe są równości $\sqrt[3]{x^{3}} = x$ oraz ${(\sqrt[3]{x})}^{3} = x$ . Przy okazji odnotujmy, że równość, która jest prawdziwa dla każdego elementu dziedziny, nazywamy tożsamościątożsamośćtożsamością.

Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ zachodzą równości:

\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}

\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}

, o ile

b \neq 0

Przykład 14

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$

$\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{81}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \sqrt[3]{3}$

Przykład 15

Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

b) $\frac{1}{\sqrt[3]{25}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{5}$

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu $\sqrt[3]{a^{3} + b^{3}}$ . Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu $\sqrt[3]{a^{3}} + \sqrt[3]{b^{3}}$ . Rozważmy $\sqrt[3]{2^{3} + 1^{3}}$ .

Poprawne obliczenie wygląda następująco $\sqrt[3]{2^{3} + 1^{3}} = \sqrt[3]{8 + 1} = \sqrt[3]{9}$ .

Ponadto $\sqrt[3]{2^{3}} + \sqrt[3]{1^{3}} = 2 + 1 = 3$ , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości wyrażenia $\sqrt[3]{2^{3} + 1^{3}}$ , czyli liczbie $\sqrt[3]{9}$ .

Przykład 16

Aby dodać pierwiastki $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16}$ , możemy postąpić następująco:

$\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} + \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} =$ $= 3 \sqrt[3]{2} + 2 \sqrt[3]{2} = 5 \sqrt[3]{2}$ .

Przypomnijmy jeszcze, że dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ .

Testy interaktywne

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

1Pierwiastek arytmetyczny15855Brawo! Potrafisz korzystać z własności pierwiastków.Niestety, nie udało się. Ponownie przeanalizuj lekcję.

Test

Pierwiastek arytmetyczny

Sprawdzisz:

swoją wiedzę na temat pierwiastka i pojęć z nim związanych;
swoją wiedzę na temat zawiązku potęgowania z pierwiastkami.

Liczba pytań:

Limit czasu:

8 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Pierwiastek arytmetyczny

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

R5RTE39SCJVKF

RTXQSA38RV9PS

RTHH41RQZ4LUQ

R1ZFQ1O61ZCM9

RXVZ1268V4BNN

R1MT4S9QZKF1Q

R1RD2L9U4RPLP

RHHN8EDAVE7J5

R1BD1MMJEX3DU

R2JMZM31JTVP4

Polecenie 1

Ułóż test złożony z pięciu pytań, każde z trzema odpowiedziami. Ułożony test daj do rozwiązania koledze lub koleżance z klasy.

Rozwiąż kolejny test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

1Pierwiastek sześcienny151060Brawo! Potrafisz korzystać z własności pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia.Niestety, nie udało się. Ponownie przeanalizuj lekcję.

Test

Pierwiastek sześcienny

Sprawdzisz:

czy rozumiesz definicję pierwiastka sześciennego,
czy potrafisz wykonywać przekształcenia na pierwiastkach sześciennych,
czy potrafisz wyznaczyć dziedzinę wyrażenia algebraicznego.

Liczba pytań:

Limit czasu:

10 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Pierwiastek sześcienny

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

RB8VBJQVV1MO2

RVM46VOKNCEPA

R7N56475JX5UQ

R1174ZN8LQ9QE

R3EXVH2AA2L8A

R142FFPRQDP2U

RL3GTC7FSXTT8

R1C6BRJZBT4A6

R1PDU94MFEBOD

RTR27MU1N7MKN

Polecenie 2

Ułóż test złożony z pięciu pytań, każde z trzema odpowiedziami. Ułożony test daj do rozwiązania koledze lub koleżance z klasy

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1DCON6MM8NNL1

Ćwiczenie 1

R1VNEXEK8L8491

Ćwiczenie 2

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek kwadratowy z dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z dwa początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z trzy początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z jeden początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z dwa początek ułamka, czternaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek kwadratowy z trzy początek ułamka, sześć, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka

R1ODE7LDZJTX42

Ćwiczenie 3

RNKG7S3ZSE4HA2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z czterdzieści pięć koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt pięć koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z pięćdziesiąt cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z sto osiem koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. dwa pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 5. trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 9. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 11. sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 12. dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka

R1ZSRKQ5MN5CQ2

Ćwiczenie 5

RTEND4EZ1NFAK3

Ćwiczenie 6

Usuń niewymierność z mianownika ułamka. Połącz w pary liczby równe. początek ułamka, sześć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, sześć, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka

Ćwiczenie 7

Sprowadź do najprostszej postaci.

a) $\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{32}}{\sqrt{98} - \sqrt{50}}$

b) $\frac{\sqrt{48} + \sqrt{12} - \sqrt{27}}{\sqrt{108} - \sqrt{75}}$

a) $\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{32}}{\sqrt{98} - \sqrt{50}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{9 \cdot 2} - \sqrt{16 \cdot 2}}{\sqrt{49 \cdot 2} - \sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{7 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

b) $\frac{\sqrt{48} + \sqrt{12} - \sqrt{27}}{\sqrt{108} - \sqrt{75}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3}}{\sqrt{36 \cdot 3} - \sqrt{25 \cdot 3}} = \frac{4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$

R4HSFOABMQQCC3

Ćwiczenie 8

R148KUM7V6L1H1

Ćwiczenie 9

Oblicz wartości podanych pierwiastków. Wyniki wstaw w wyznaczonych miejscach. pierwiastek sześcienny z zero koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z minus, jeden koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero zero jeden koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z minus, zero przecinek zero zero osiem koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z zero przecinek zero dwa siedem koniec pierwiastka 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z minus, zero przecinek jeden dwa pięć koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z sześćdziesiąt cztery koniec pierwiastka 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z minus, pięćset dwanaście koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć
pierwiastek sześcienny z minus, dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, równa się 1. sześć, 2. zero przecinek jeden, 3. minus, trzy, 4. minus, jeden, 5. cztery, 6. minus, zero przecinek dwa, 7. zero przecinek trzy, 8. minus, osiem, 9. zero, 10. minus, zero przecinek pięć

R1LX4HX9Z5BG31

Ćwiczenie 10

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek sześcienny z trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z piętnaście początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z cztery początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z jeden początek ułamka, dziewięćdziesiąt jeden, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z czterdzieści dwa początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z dwa początek ułamka, dziewięćdziesiąt trzy, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z dwanaście początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z jeden początek ułamka, sto dwadzieścia siedem, mianownik, dwieście szesnaście, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka pierwiastek sześcienny z cztery początek ułamka, dwanaście, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka

Ćwiczenie 11

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R1ZLTHFC431L7

R14CX8S9TDCJX

R13NNR4XVRODL

RJV9BQNEGU3CD

R11F3UALHNHPJ

RA9O1L553O2AO2

Ćwiczenie 12

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek sześcienny z szesnaście koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z trzydzieści dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z pięćdziesiąt cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dwadzieścia cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z czterdzieści koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z sto osiem koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z sto trzydzieści pięć koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dwieście pięćdziesiąt koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z siedemdziesiąt dwa koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dwieście czterdzieści trzy koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z pięćset koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 3. pięć pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 6. trzy pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 7. pięć pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 8. trzy pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 9. dwa pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, 11. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 12. trzy pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka

R1E57GCPPFKG42

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Sprowadź do najprostszej postaci.

a) $\frac{\sqrt[3]{250} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{2}}$

b) $\sqrt[3]{10 \sqrt{8} \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt[3]{250 \cdot 4}} + \sqrt[3]{- 2}$

c) $\sqrt[3]{15 \cdot 27 + 27 \cdot 3 + 9 \cdot 27}$

a) $\frac{\sqrt[3]{250} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{125 \cdot 2} - \sqrt[3]{8 \cdot 2} + \sqrt[3]{27 \cdot 2}}{\sqrt[3]{64 \cdot 2} - \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}} =$

$= \frac{5 \sqrt[3]{2} - 2 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{2}}{4 \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}} = \frac{6 \sqrt[3]{2}}{3 \sqrt[3]{2}} = 2$

b) $\sqrt[3]{10 \sqrt{8} \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt[3]{250 \cdot 4}} + \sqrt[3]{- 2} = \sqrt[3]{10 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{1000}} + \sqrt[3]{- 2} =$

$= \sqrt[3]{20 \sqrt{2} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot 10} + \sqrt[3]{- 2} =$

$= \sqrt[3]{1000 \sqrt{4}} - \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{1000 \cdot 2} - \sqrt[3]{2} = 10 \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} = 9 \sqrt[3]{2}$

c) $\sqrt[3]{15 \cdot 27 + 27 \cdot 3 + 9 \cdot 27} = \sqrt[3]{27 (15 + 3 + 9)} =$

$= \sqrt[3]{27 \cdot 27} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{27} = 3 \cdot 3 = 9$

R1QM7S2T2O6UT3

Ćwiczenie 15

Usuń niewymierność z mianownika ułamka. Połącz w pary liczby równe. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, pięć, mianownik, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, pięć, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, sześć, mianownik, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, sześć, mianownik, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, 5. pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 6. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. pierwiastek sześcienny z sześć koniec pierwiastka, 9. pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, 10. pierwiastek sześcienny z pięć koniec pierwiastka, 11. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 12. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z trzydzieści sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka

RLM6XV41RMDMH3

Ćwiczenie 16

Ćwiczenie 17

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź. Przypomnijmy, że tożsamością nazywamy równość prawdziwą dla każdego elementu dziedziny.

R1BGLN4SESEFS

RR8TBQ7H6ZT3T

Ćwiczenie 18

Znajdź liczbę $a$ , dla której liczba $K = a \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ jest równa $15$ .

K = a \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = a \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{5}}{4 - 5} \cdot (2 - \sqrt{5}) = a \sqrt{5} + 15 - 6 \sqrt{5}

Jeśli $a = 6$ to $K = 15$ .

Słownik

pierwiastek kwadratowy

pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której kwadrat jest równy $a$ , czyli $\sqrt{a} = b \Leftrightarrow a = b^{2}$ , dla $a \geq 0$ , $b \geq 0$

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens

pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny)

pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , której sześcian jest równy $a$ , czyli $\sqrt[3]{a} = b \Leftrightarrow a = b^{3}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$

tożsamość

równość prawdziwa dla każdego elementu dziedziny

2. Pierwiastek stopnia parzystego i nieparzystego

Pierwiastki

1. Pierwiastek arytmetyczny stopnia drugiego i trzeciego

Pierwiastek stopnia drugiego

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Pierwiastek stopnia trzeciego

Własności pierwiastkowania

Testy interaktywne

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastek sześcienny

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik