RbaZff51x0QjC

1. Podsumowanie wiadomości o potęgach i pierwiastkach

Czy wiesz, że w notacji angielskiej symbol pierwiastka występuje bez kreski poziomej?

Dokładnie nie wiadomo kto i kiedy po raz pierwszy użył symbolu pierwiastka kwadratowego. Niektóre źródła historyczne podają, że symbol ten znali już Arabowie w XV wieku. Inni zaś twierdzą, że dopiero na przełomie XVI i XVII wieku zaczęto używać symbolu podobnego do stosowanego współcześnie.

Każdy pierwiastek kwadratowy można zapisać za pomocą ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone.

\sqrt{11} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + ⋱}}}}}

W czwartym wieku p.n.e Platon rozważał problem związany z podwojeniem sześcianu, czyli zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany, który sprowadzał się do konstrukcji odcinka o długości $\sqrt[3]{2}$ . Sposobami obliczania przybliżonych wartości pierwiastków stopnia trzeciego, zajmował się między innymi w III wieku grecki matematyk Heron z Aleksandrii.

Przez wiele wieków ludziom wydawało się, że nasz świat jest co prawda duży, ale i tak wszelkie w nim odległości - nawet te do gwiazd - nie są dużo większe od tych, jakie spotykamy na Ziemi. Okazało się jednak, że żyjemy we Wszechświecie, którego wielkość i budowa musi być opisywana z użyciem naprawdę wielkich liczb.

RzhkKbgqTXOAX

Na ilustracji przedstawiono nocne bezchmurne niebo, wypełnione gwiazdami. — W naszej Galaktyce jest około 100 miliardów gwiazd
Źródło: dostępny w internecie: freepik.com.

RuHuc3ubTwi3w

Na ilustracji przedstawiono kobietę trzymającą w dłoniach szklankę z wodą. — W szklance wody znajduje się około 10 000 000 000 000 000 000 000 000 cząsteczek
Źródło: dostępny w internecie: freepik.com.

RCv5YMOt0DpHX

Na ilustracji przedstawiono przestrzeń kosmiczną z planetami i blaskiem światła. — We Wszechświecie jest około 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 protonów
Źródło: dostępny w internecie: freepik.com.

Jak widzimy, zapisywanie wielkich liczb w tradycyjnej notacji dziesiętnej jest uciążliwe. Szybko bowiem możemy stracić rozeznanie w ich wielkości i, chcąc się przekonać jak są one duże, skłonni bylibyśmy liczyć w nich zera.

W takich przypadkach wygodniej jest posługiwać się liczbami zapisanymi w postaci potęgi - zazwyczaj używamy w tym celu potęgi liczby $10$ .

Twoje cele

Rozwiniesz umiejętności związane z wykonywaniem działań na potęgach i pierwiastkach.
Dokonasz samooceny własnej pracy.

Poniżej zostały przedstawione najważniejsze pojęcia, które warto sobie przypomnieć, przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań.

Definicja pierwiastka

Definicja: Definicja pierwiastka

Jeśli $n \geq 2$ i $a \geq 0$ to $\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a$ .

Jeśli $m \geq 2$ , $m$ – jest liczbą nieparzystą i $a < 0$ to $\sqrt[n]{a} = - \sqrt[n]{|a|}$ .

Prawa działań na pierwiastkach, gdy $a, b \geq 0$ , $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ .

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}, b \neq 0

{(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

Definicja potęgi

Definicja: Definicja potęgi

$a^{0} = 1$ , gdy $a \neq 0$

$a^{- 1} = \frac{1}{a}$ , gdy $a \neq 0$

$a^{1} = a$

$a^{n} = a \cdot \underset{n - czynników}{\underset{⏟}{. . . . . . . . . .}} \cdot a$ , $n \in ℕ_{+}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ , gdy $a \geq 0$ , $n$ , $m \in ℕ_{+}$ , $n > 1$

$a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ , gdy $a > 0$ , $m$ , $n \in ℕ_{+}$ , $n > 1$

Działania na potęgach, gdy $a, b \in ℝ_{+} - \{0\}$ , $m, n \in ℝ$

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{n - m}$

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

${(a^{m})}^{n} = a^{n m}$

Polecenie 1

Zapoznaj się z filmem edukacyjnym, a następnie odpowiedz na pytanie z Polecenia 2 i 3.

Re545Hb94hDay

Polecenie 2

Co waży więcej: $6$ tysięcy kotów o wadze $4, 3 kg$ czy $8$ słoni o wadze $3, 7 \cdot 10^{3} kg$ ?

Koty: $25800$ . Słonie: $29600$ . Więcej ważą słonie.

Polecenie 3

Odległość z Ziemi do Księżyca nie jest stała, wynosi bowiem od $365000 km$ do $406000 km$ . W pewnym dniu wynosiła $384000 km$ . Ile to metrów? Wynik podaj w notacji wykładniczej.

$3, 84 \cdot 10^{8} m$

Przykład 1

Zapiszemy w postaci jednej potęgi wyrażenie $\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}}$ .

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}} = {[5 \cdot {(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${[5 \cdot {(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}} = {[5 \cdot {(5^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności potęgowania potęgi:

${[5 \cdot {(5^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}} = {(5 \cdot 5^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${(5 \cdot 5^{\frac{3}{4}})}^{\frac{1}{2}} = {(5^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Z własności potęgowania potęgi:

${(5^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{7}{8}}$ .

Polecenie zostało wykonane, ale uzyskane wyrażenie ponownie można byłoby zapisać przy pomocy pierwiastka korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym $5^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5^{7}}$ .

Przykład 2

Uprościmy wyrażenie $\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}}$ .

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$\sqrt[4]{2 \sqrt[3]{2}} = {[2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{1}{4}}$ .

Z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

${[2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}]}^{\frac{1}{4}} = {[2^{\frac{4}{3}}]}^{\frac{1}{4}}$ .

Z własności potęgowania potęgi:

${[2^{\frac{4}{3}}]}^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{3}}$ .

Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:

$2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ .

Przykład 3

Uprościmy wyrażenie $\frac{2^{32} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot \sqrt[3]{2}}$ .

Zamienimy najpierw pierwiastki na potęgi

$\frac{2^{32} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Liczbę $4^{15}$ możemy przedstawić jako potęgę o podstawie $2$ : $4^{15} = {(2^{2})}^{15} = 2^{2 \cdot 15} = 2^{30}$ . Zatem:

$\frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{4^{15} \cdot 2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{30} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ .

Możemy teraz, korzystając z własności ilorazu potęg o tych samych podstawach, uprościć iloraz liczb $2^{32}$ i $2^{30}$ , otrzymując $2^{2}$ :

$\frac{2^{32} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{30} \cdot 2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}}$

Do licznika powyższego ułamka zastosujemy własność iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{2 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{2 + \frac{3}{6} - \frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{1 \frac{4}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{1 \frac{2}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}$

Pozostaje już tylko zastosować własność ilorazu potęg o tych samych podstawach

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = 2^{\frac{5}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{16} = 2 \sqrt[3]{2}$

Zatem rozważane wyrażenie ma wartość równą $2 \sqrt[3]{2}$ .

Przykład 4

Rozważymy wyrażenie nieskończone $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 . . .}}}$ . Zauważmy, że jego wartość jest liczbą dodatnią i oznaczmy jego wartość przez $x$ :

$x = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 . . .}}}$

Ponieważ wyrażenie po prawej stronie jest liczbą dodatnią, więc możemy obie strony powyższej równości podnieść do kwadratu otrzymując

$x^{2} = 2 \sqrt{2 \sqrt{2 . . .}} (*)$

Zauważmy teraz, że po prawej stronie ponownie pojawiło się początkowe wyrażenie $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 . . .}}}$ , które oznaczyliśmy przez $x$ . Zatem równość $(*)$ przyjmuje postać

$x^{2} = 2 x$ , co przekształca się jak następuje:

$x^{2} - 2 x = 0$

$x (x - 2) = 0$

Korzystając z własności iloczynu równego zeru otrzymujemy, że $x = 0$ lub $x - 2 = 0$ , czyli $x = 2$ .

Ponieważ $x > 0$ , więc $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 . . .}}} = x = 2$ .

W powyższym przykładzie mamy do czynienia z wyrażeniem, które można zdefiniować rekurencyjnierekurencjarekurencyjnie.

Zauważmy, że wyrażenie nieskończone $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 . . .}}}$ to nic innego jak nieskończona sekwencja (ciągciągciąg) liczb: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{2 \sqrt{2}}$ , $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}$ , $\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}$ , $. . .$

Wprowadźmy oznaczenia $a_{1} = \sqrt{2}$ , $a_{2} = \sqrt{2 \sqrt{2}}$ , $a_{3} = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}$ , $a_{4} = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}$ , $. . .$

Przy takich oznaczeniach możemy zauważyć, że dla dowolnej naturalnej dodatniej liczby $n$ prawdziwa jest zależność $a_{n + 1} = \sqrt{2 a_{n}}$ oraz $a_{1} = \sqrt{2}$ .

Ogólnie mówiąc wzór rekurencyjny to taki, w którym każdy wyraz, poza pierwszym, jest uzależniony od poprzednich.

Przykład 5

Rozważmy liczbę $x = \sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 . . .}}}}$ .

Po podniesieniu każdej ze stron do kwadratu otrzymujemy równość $x^{2} = 2 \sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 . . .}}}$ , w której ponownie za wyrażenie $\sqrt{2 \sqrt{3 \sqrt{2 \sqrt{3 . . .}}}}$ możemy podstawić $x$ otrzymując równość $x^{2} = 2 \sqrt{3 x}$ .

Po podniesieniu obu stron do kwadratu, otrzymujemy $x^{4} = 4 \cdot 3 x$ , czyli $x^{4} - 12 x = 0$ , co jest równoważne $x (x^{3} - 12) = 0$ .

Ponieważ $x$ jest liczbą dodatnią, więc $x^{3} = 12$ , czyli $x = \sqrt[3]{12}$ .

Wyrażenie z powyższego przykładu również można zdefiniować rekurencyjnie. W tym przypadku zależność wygląda następująco:

$a_{1} = \sqrt{2 \sqrt{3}}$ , $a_{n + 1} = \sqrt{2 \sqrt{3 a_{n}}}$ .

Przykład 6

Wykażemy, że jeśli $x = 3^{4 \sqrt{2} + 2}$ i $y = 3^{2 \sqrt{2} + 3}$ , to $y = 9 \sqrt{x}$ .

Założenia: $x = 3^{4 \sqrt{2} + 2}$ i $y = 3^{2 \sqrt{2} + 3}$ .

Teza: $y = 9 \sqrt{x}$ .

Dowód

Rozważmy prawą stronę tezy. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym mamy $9 \sqrt{x} = 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

Po podstawieniu danej wartości $x$ , otrzymujemy $9 x^{\frac{1}{2}} = 9 \cdot {(3^{4 \sqrt{2} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Możemy teraz skorzystać z własności potęgowania potęgi $9 \cdot {(3^{4 \sqrt{2} + 2})}^{\frac{1}{2}} = 9 \cdot 3^{(4 \sqrt{2} + 2) \cdot \frac{1}{2}} = 9 \cdot 3^{2 \sqrt{2} + 1}$ .

Zamienimy liczbę $9$ na potęgę o podstawie $3$ i skorzystamy z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach:

$9 \cdot 3^{2 \sqrt{2} + 1} = 3^{2} \cdot 3^{2 \sqrt{2} + 1} = 3^{2 + 2 \sqrt{2} + 1} = 3^{3 + 2 \sqrt{2}} = y$ , co kończy dowód.

Poniżej zastosujemy wzór $\sqrt[k \cdot m]{a^{m \cdot n}} = \sqrt[k]{a^{n}}$ , który jest prawdziwy dla liczb $a \geq 0$ , $k, m, n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ .

Przykład 7

Korzystając ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + {2 a b + b}^{2}$ , przekształcimy wyrażenie ${(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}^{2}$ .

${(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}^{2} = {(\sqrt[3]{2})}^{2} + 2 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} + {(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{4} + 2 \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25}$ .

Korzystając ze wzoru ${(a - b)}^{2} = a^{2} - {2 a b + b}^{2}$ , przekształcimy wyrażenie ${(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{5})}^{2}$ .

${(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{5})}^{2} = {(\sqrt[4]{2})}^{2} - 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5} + {(\sqrt[4]{5})}^{2} = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2} - 2 \sqrt[4]{10} + {(5^{\frac{1}{4}})}^{2} =$

$= 2^{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt[4]{10} + 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} - 2 \sqrt[4]{10} + \sqrt{5}$ .

Przykład 8

Korzystając ze wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + {2 a b + b}^{2}$ , uprościmy wyrażenie $\sqrt{\sqrt{5} + 2 \sqrt[4]{15} + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{\sqrt{5} + 2 \sqrt[4]{15} + \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt[4]{5})}^{2} + 2 \sqrt[4]{15} + {(\sqrt[4]{3})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{3})}^{2}} =$ $= \sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{3}$ .

Polecenie 4

Sprawdź swoją wiedzę. Rozwiąż quiz.

1Sprawdź swoją wiedzę5470Brawo!Niestety, spróbuj jeszcze raz.1

Test

Sprawdź swoją wiedzę

Liczba pytań:

Limit czasu:

4 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Sprawdź swoją wiedzę

Pytanie 1/5

Twój ostatni wynik -

Rng2QIimpJjRA1

R6ANyCj9hwW9s1

R1IqqDoJeolkf1

RgAXloMacnD9L1

RiLYIEdZNLTjq1

R179vjsH9Jqaq2

R11WV07V1rAFM2

R1CQsctvsuZui2

RNlTLSJRASa4r2

R1Ot15kSyusZz2

Rgtrlnj1yIqBt3

R1eMrimwl20LU3

Polecenie 5

Przeanalizuj informacje zawarte w filmie samouczku.

R1D6yWErVw3KE

Polecenie 6

R1R1ULTpjEW9s

Na podstawie informacji zawartych w filmie rozwiąż test. W każdym pytaniu może być jedna lub więcej poprawnych odpowiedzi.

R1bj4bTkfJW6a

Rfx4tEYC4y6Xa

RGmTJ9eaRTdIy

RgJTGmjQKfRUp

Polecenie 7

Zagraj w grę sprawdzającą, czy potrafisz stosować własności potęg i pierwiastków do rozwiązywania zadań z różnych dziedzin życia i nauki. Na pierwszym poziomie otrzymasz pytania z zakresu własności potęgowania i pierwiastkowania oraz stosowania potęg i pierwiastów w geometrii. Na drugim poziomie otrzymasz pytania z zakresu wykorzystania potęg i pierwiastówk w obliczeniach bankowych oraz w chemii i biologii. Powodzenia!

Rozwiąż quiz składający się z ośmiu pytań jednokrotnego wyboru.

R14Uyo4aqgpIs

R1COdMGEQUHcF

RUpuf6sHJAS65

R17D9E7CgmdUv

R1MjbRZmFaedJ

RMswSPLL1Gl4F

R1QgZxz44nyjg

R14NtArn0PN3x

RBKb5XYsGu0Ue1

Polecenie 8

Ułóż cztery pytania związane z zagadnieniami omawianymi w tej lekcji. Zadaj je koledze z klasy. Odpowiedz na pytania ułożone przez niego. Kto odpowiedział na więcej pytań?

RbNX0mKInr5J81

Ćwiczenie 1

RekHKfJLS9yFx1

Ćwiczenie 2

Jeden hektar to pole kwadratu o boku sto m. Zapisz pole tego kwadratu w:
1. dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 6. dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 7. dziesięć indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 8. dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego
1. dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 6. dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 7. dziesięć indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 8. dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego
1. dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 6. dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 7. dziesięć indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 8. dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego dm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego
1. dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 2. dziesięć indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, 3. dziesięć indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 4. dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. dziesięć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 6. dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, 7. dziesięć indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 8. dziesięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego mm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

R1PeWjkmlCg8m1

Ćwiczenie 3

Dopasuj długość krawędzi sześcianu do odpowiadającej jej objętości sześcianu. pięć cm Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. osiem, razy, dziesięć indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. dwadzieścia siedem, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. sześćdziesiąt cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego cztery dm Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. osiem, razy, dziesięć indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. dwadzieścia siedem, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. sześćdziesiąt cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego trzy m Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. osiem, razy, dziesięć indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. dwadzieścia siedem, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. sześćdziesiąt cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego dwa km Możliwe odpowiedzi: 1. sto dwadzieścia pięć, razy, dziesięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 2. osiem, razy, dziesięć indeks górny, osiemnaście, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 3. dwadzieścia siedem, razy, dziesięć indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. sześćdziesiąt cztery, razy, dziesięć indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mm indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego

RM96sD09rfHCm1

Ćwiczenie 4

R1UG4UXqozWeR1

Ćwiczenie 5

Połącz w pary odpowiedzi. dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, razy, dwa indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego nawias, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego cztery indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego sześćdziesiąt cztery indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego trzydzieści dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, 2. dwa indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, 3. dwa indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, szesnaście, koniec indeksu górnego, 5. dwa indeks górny, dwadzieścia, koniec indeksu górnego, 6. dwa indeks górny, dwadzieścia pięć, koniec indeksu górnego

R1YqRLBzmMsT11

Ćwiczenie 6

R4EyVffMaC8ul2

Ćwiczenie 7

RFOtI7fNq1UFv2

Ćwiczenie 8

RaS8TFZ7WT9sn3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ suma $5^{n} + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} + 5^{n + 3} + 5^{n + 4} + 5^{n + 5} + 5^{n + 6} + 5^{n + 7}$ dzieli się przez iloczyn $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ .

Zauważmy najpierw, że
$(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4}) = 1 + 5^{2} + 5^{4} \cdot (1 + 5^{2}) = 1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}$ .

W podanej sumie wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a następnie wyrazy w nawiasie grupujemy - odpowiednio - po cztery:
$5^{n} + 5^{n + 1} + 5^{n + 2} + 5^{n + 3} + 5^{n + 4} + 5^{n + 5} + 5^{n + 6} + 5^{n + 7} =$
$= 5^{n} \cdot (1 + 5^{1} + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6} + 5^{7}) =$
$= 5^{n} \cdot ((1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}) + (5^{1} + 5^{3} + 5^{5} + 5^{7}))$ .

Wobec tego dana suma da się zapisać w postaci
$= 5^{n} \cdot ((1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}) + 5 \cdot (1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6})) =$
$= 5^{n} \cdot (1 + 5^{2} + 5^{4} + 5^{6}) (1 + 5) =$
$= 5^{n} \cdot (1 + 5^{2}) (1 + 5^{4}) \cdot 6$ , zatem jest podzielna przez iloczyn $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ .

Dana liczba jest iloczynem $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ przez liczbę naturalną $5^{n} \cdot 6$ , czyli jest podzielna przez $(1 + 5^{2}) \cdot (1 + 5^{4})$ .

RtH73ibYjrZgn3

Ćwiczenie 11

RByPpwwIJKov11

Ćwiczenie 12

RpQGEws9XuzUZ1

Ćwiczenie 13

RmGxEqMa4Y9Sh2

Ćwiczenie 14

R1QVIhVmQrhrB2

Ćwiczenie 15

R16Uis0SUiH0X2

Ćwiczenie 16

RhBWNUdJgiD8x2

Ćwiczenie 17

RkaHoyvJBrXTl3

Ćwiczenie 18

R1DfHb23JUpl63

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

R5DdFZPJPD03t

Połącz w pary wyrażenia, które mają równe wartości. pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, razy, pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 5. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 7. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 8. trzy indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

R1CxkYEtNNFne

pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek sześcienny z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. trzy indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 2. trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. trzy indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 4. trzy indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego

R3miXoVhYjYNs1

Ćwiczenie 21

Ćwiczenie 22

Zapisz wyrażenie $\frac{81 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{81 \sqrt{3}}}$ w postaci potęgi liczby $3$ .

$\frac{81 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{81 \sqrt{3}}} = \frac{3^{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot {(3^{4} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{4} \cdot 3^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot {(3^{4 \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}} = \frac{3^{4 \frac{3}{4}}}{3^{2}} = 3^{2 \frac{3}{4}}$ .

R1HYw6PEWbGGA2

Ćwiczenie 23

Zapisz wyrażenie pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa . . . koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka w najprostszej postaci.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. W powyższej równości za wyrażenie pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z trzy . . . koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka możemy podstawić x otrzymując równość x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa x koniec pierwiastka., 2. Zauważmy najpierw, że wyrażenie pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa . . . koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka ma dodatnią wartość., 3. Wynika stąd, że x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, osiemnaście, czyli x, równa się, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka., 4. Po przeniesieniu wyrażenia po prawej stronie równości na jej lewą stronę, otrzymujemy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiemnaście x, równa się, zero., 5. Możemy obie strony powyższej równości podnieść do kwadratu otrzymując równość x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa . . . koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka., 6. Ponownie możemy obie strony otrzymanej równości podnieść do kwadratu otrzymując równość x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, osiemnaście x, gdzie x, większy niż, zero., 7. Oznaczmy rozważane wyrażenie przez x:
x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa pierwiastek kwadratowy z trzy pierwiastek kwadratowy z dwa . . . koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka koniec pierwiastka., 8. Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymujemy x nawias, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiemnaście, zamknięcie nawiasu, równa się, zero., 9. Ponieważ iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, kiedy przynajmniej jeden z czynników jest zerem oraz x, większy niż, zero, więc x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiemnaście, równa się, zero.

Ćwiczenie 24

Zapisz wyrażenie $\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}}$ w najprostszej postaci.

Oznaczmy rozważane wyrażenie przez $x$ .

Otrzymamy wówczas równość $x = \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}}$ .

Po podniesieniu obu stron do drugiej potęgi mamy $x^{2} = 3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}$ .

W ostatniej równości możemy dokonać podstawienia $x$ za $\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3 . . .}}}}$ , co daje równość $x^{2} = 3 x$ .

Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy kolejno:

$x^{2} - 3 x = 0$

$x (x - 3) = 0$

Ponieważ $x$ jest liczbą dodatnią, więc $x - 3 = 0$ , czyli $x = 3$ .

Ćwiczenie 25

RXNzOFzjenqBa

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego oraz nawias, a, minus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wyrażenie nawias, pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, sześć, plus, pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, plus, dwa pierwiastek sześcienny z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z osiemdziesiąt jeden koniec pierwiastka

Wyrażenie dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, cztery pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, cztery jest równe:
nawias, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, plus, pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Wyrażenie nawias, pierwiastek stopnia cztery z pięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
pierwiastek stopnia cztery z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dziewięć koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek stopnia cztery z piętnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka

Wyrażenie dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka jest równe:
nawias, pierwiastek stopnia cztery z dwanaście koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z osiemnaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka pierwiastek stopnia cztery z sto czterdzieści cztery koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z dwieście szesnaście koniec pierwiastka, plus, pierwiastek stopnia cztery z trzysta dwadzieścia cztery koniec pierwiastka

Rozwiąż test składający się z czterech pytań. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Możesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ oraz ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

RvgzQ96kw2GbJ

R1HUygg0KrsOW

RT7b4UFZeGj8A

R1OPkG5mJ7TfP

Ćwiczenie 26

RRXlbVoKw3r83

Wyrażenie $\sqrt{\sqrt[3]{6} + 2 \sqrt[6]{60} + \sqrt[3]{10}}$ zostało uproszczone w pięciu krokach. Przyporządkuj przekształceniom własności, na podstawie których ich dokonano.

RwIgBGdq90bPq

R2RRZFUDYsmw1

RqkNF577G9ywG

RpEuqgZmrdr7F

Rso3fdZTMFfVh

Ćwiczenie 27

Rozważmy zbiór wszystkich liczb postaci $a + b \sqrt{2}$ , gdzie $a$ , $b$ są liczbami wymiernymi.

a) Udowodnij, że suma, różnica i iloczyn liczb postaci $a + b \sqrt{2}$ , gdzie $a, b \in ℚ$ , również jest tej postaci.

b) Wskaż elementy neutralne mnożenia i dodawania w tym zbiorze.

c) Udowodnij, że każdy element tego zbioru ma element przeciwny.

d) Czy każdy element tego zbioru ma element odwrotny?

a) Niech $x$ i $y$ będą elementami tego zbioru.

Wówczas $x = a + b \sqrt{2}$ i $y = c + d \sqrt{2}$ dla pewnych liczb wymiernych $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Rozważmy sumę liczb $x$ i $y$ :

$x + y = (a + b \sqrt{2}) + (c + d \sqrt{2}) = a + b \sqrt{2} + c + d \sqrt{2} = a + c + (b + d) \sqrt{2}$ .

Ponieważ suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc $a + c$ i $b + d$ są wymierne, czyli $a + c + (b + d) \sqrt{2} = x + y$ należy do rozważanego zbioru.

Rozważmy różnicę liczb $x$ i $y$ :

$x - y = (a + b \sqrt{2}) - (c + d \sqrt{2}) = a + b \sqrt{2} - c - d \sqrt{2} = a - c + (b - d) \sqrt{2}$ .

Ponieważ różnica liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc $a - c$ i $b - d$ są wymierne, czyli $a - c + (b - d) \sqrt{2} = x - y$ należy do rozważanego zbioru.

Rozważmy iloczyn liczb $x$ i $y$ :

$x \cdot y = (a + b \sqrt{2}) \cdot (c + d \sqrt{2}) = a c + b c \sqrt{2} + a d \sqrt{2} + 2 b d = a c + 2 b d + (b c + a d) \sqrt{2}$ .

Ponieważ iloczyn i suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc $a c + 2 b d$ i $b c + a d$ są wymierne, czyli $a c + 2 b d + (b c + a d) \sqrt{2} = x \cdot y$ należy do rozważanego zbioru.

b) Elementem neutralnym dodawania jest zero, bo $0 = 0 + 0 \cdot \sqrt{2}$ i $0$ jest liczbą wymierną.

Elementem neutralnym mnożenia jest jedynka, bo $1 = 1 + 0 \cdot \sqrt{2}$ , $0$ i $1$ są liczbami wymiernymi.

c) Elementem przeciwnym do elementu $x = a + b \sqrt{2}$ jest $- x = - a - b \sqrt{2}$ , bo $x + (- x) = a + b \sqrt{2} + (- a - b \sqrt{2}) = 0$ i jeśli $a$ , $b$ są wymierne, to $- a$ i $- b$ również są wymierne.

d) Jeśli $x = a + b \sqrt{2}$ nie jest zerem (a dzieje się to tylko wówczas, gdy $a = b = 0$ ), wówczas elementem odwrotnym jest $\frac{1}{a + b \sqrt{2}}$ .

Pozostaje sprawdzić, czy $\frac{1}{a + b \sqrt{2}}$ należy do rozważanego zbioru.

Wykonamy przekształcenia korzystając ze wzoru $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ :

$\frac{1}{a + b \sqrt{2}} = \frac{1}{a + b \sqrt{2}} \cdot \frac{a - b \sqrt{2}}{a - b \sqrt{2}} = \frac{a - b \sqrt{2}}{(a + b \sqrt{2}) (a - b \sqrt{2})} = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - {(b \sqrt{2})}^{2}} =$

$= \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}} = \frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}} \sqrt{2}$

Ponieważ suma, różnica, iloczyn i iloraz (poza dzieleniem przez zero) liczb wymiernych są liczbami wymiernymi, więc również $\frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}}$ i $\frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}}$ są liczbami wymiernymi.

Stąd $\frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}} \sqrt{2}$ należy do rozważanego zbioru, czyli każdy niezerowy element tego zbioru posiada element odwrotny.

RFOY95q3AjiFW1

Ćwiczenie 28

Ćwiczenie 29

Czas połowicznego rozpadu izotopu jodu $^{131} I$ jest równy $8$ dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których z $1 g$ pozostanie nie więcej niż $0, 125 g$ tego pierwiastka.

Po ośmiu dniach z $1 g$ pozostanie $0, 5 g$ tego izotopu jodu.

Po kolejnych ośmiu będzie już tylko $0, 25 g$ , zaś po następnych ośmiu $0, 125 g$ .

Zatem po $24$ dniach z $1 g$ pozostanie nie więcej niż $0, 125 g$ izotopu jodu $^{131} I$ .

Ćwiczenie 30

Bez użycia kalkulatora zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}$ .

Oznaczmy wyrażenie $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}$ przez $S_{6}$ oraz wyrażenie $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + 3^{7}$ przez $S_{7}$ .

Zauważmy teraz, że $S_{7} = S_{6} + 3^{7}$ oraz $S_{7} = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + 3^{7} =$

$= 1 + 3 \cdot (1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}) = 1 + 3 S_{6}$ .

Zatem mamy równania $S_{7} = S_{6} + 3^{7}$ i $S_{7} = 1 + 3 S_{6}$ .

Po porównaniu prawych stron obu równości otrzymujemy $S_{6} + 3^{7} = 1 + 3 S_{6}$ , z czego wynika $3^{7} - 1 = 2 S_{6}$ , czyli $S_{6} = \frac{3^{7} - 1}{2} = 1093$ .

Ćwiczenie 31

Rozwiąż test.

RMdPde6FoKBvr

R4rRZJomSt0Uy

RWBf6427IWcjQ

R1BrUHRWHXvsN

RikPhpFdKIzgI2

Ćwiczenie 32

R1SqwCI2NbjEg2

Ćwiczenie 33

RRaBSgU30RmgO3

Ćwiczenie 34

Ćwiczenie 35

Rozwiąż zadania:

a) Pan Janusz znalazł bardzo korzystny sposób inwestowania z oprocentowaniem rocznym w wysokości $10 %$ i roczną kapitalizacją odsetek. Zainwestował więc pewną kwotę i po pięciu latach wraz z odsetkami otrzymał $4831, 53 zł$ . Jaką kwotę zainwestował pan Stefan?

b) Pani Grażyna założyła lokatę z oprocentowaniem $4 %$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Kwota, którą zainwestowała to $5000 zł$ . Po kilku latach zamknęła lokatę i otrzymała z tego tytułu kwotę $6842, 85 zł$ . Ile lat pieniądze znajdowały się na lokacie?

a) Jeśli zainwestowaną przez pana Janusza kwotę oznaczymy przez $x$ , to zgodnie ze wzorem na procent składany, otrzymujemy równanie $x {(1 + \frac{10}{100})}^{5} = 4831, 53$ . Stąd wynika, że $x = 3000 zł$ .

b) Po podstawieniu danych z treści zadania do wzoru na procent składany, otrzymujemy równość $5000 \cdot {(1 + \frac{4}{100})}^{n} = 6842, 84$ , czyli $1, 04^{n} = 1, 368568$ , gdzie $n$ to liczba lat trwania lokaty. Stąd wynika, że $n = 8$ .

Słownik

ciąg

przyporządkowanie pewnych obiektów kolejnym liczbom naturalnym dodatnim

rekurencja

odwoływanie się definicji do samej siebie

M_R_W02_M5 Potęgi i pierwiastki

1. Podsumowanie wiadomości o potęgach i pierwiastkach

Sprawdź swoją wiedzę

Słownik